zeitabhängige Hartree-Fock für Zweikomponentenbosonen

Für den Fall, dass die Anzahl der Teilchen jedes Geschmacks beibehalten wird. Vorausgesetzt${\Psi_{a/b}^{\dagger}(p/q)}$bezeichnen eine Reihe von Erzeugungsoperatoren zum Erzeugen von Bosonen der Geschmacksrichtungen a/b, um sie im Zustand p/q zu erzeugen. Die Dimensionalität der Basis für jeden Boson-Flavour-Einzelpartikelraum wird angenommen$M_{a/b}$. Vorausgesetzt es gibt$N_{a/b}$Anzahl der Bosonen des Flavors a/b im betrachteten System. Zeitabhängige Hartree-Fock-Ansatz-Wellenfunktion (bestmögliche "Slater-Permanent") in zweiter quantisierter Form kann ausgedrückt werden als:

$$|\Psi(t)\rangle=\prod_{k_a=1}^{N_a}\prod_{k_b=1}^{N_b}\sum_{m_{k_a}=1}^{M_a}\sum_{n_{k_b}=1}^{M_b}U_{m,k_a}(t)V_{n,k_b}(t)\Psi_{a}^{\dagger}(m_{k_a})\Psi_{b}^{\dagger}(n_{k_b})|\text{vac}\rangle$$ wo $|\text{vac}\rangle$ist der Referenzvakuumzustand.

Die Bewegungsgleichung für die Matrixelemente$U_{m,k_a}(t)$und$V_{n,k_b}(t)$kann durch Anwendung des Dirac-Frenkel-Variationsprinzips abgeleitet werden, nämlich:

$$\mathop{\text{Extremize}}_{{{U_{m,k_a}(t)},{V_{n,k_b}(t)}}}\langle\Psi(t)|i\hbar\frac{d}{dt}-H_\text{system}^{}|\Psi(t)\rangle.$$ Um den obigen Erwartungswert zu vereinfachen, müssen Sie den Satz von Wick vor der Extremisierung verwenden.

Für den Fall, dass Bosonen unterschiedlichen Flavors nicht konserviert sind, ist es überflüssig, die Bosonen zweier Arten und den Ansatz zu beschreiben:

$$|\Psi(t)\rangle=\prod_{k=1}^{N_\text{tot}}\sum_{m_{k}=1}^{M_\text{tot}}U_{m,k}(t)\Psi_{}^{\dagger}(m_{k})|\text{vac}\rangle$$ sollte die Antwort sein.