Zeitdilatation auf Satelliten aufgrund von GR

Ich versuche, die Zeitdilatation an Bord eines Satelliten (z. B. GPS bei 20.000 km) gegenüber einem Beobachter auf der Erde zu bestimmen. Ich habe bereits die spezielle Relativitätskomponente bestimmt mit:

T ' = T 1 − v 2 C 2

Und ich habe die richtige Antwort für die Zeitdilatation einfach aufgrund der Relativbewegung erhalten (7 Mikrosekunden nach 24 Stunden). Ich bin mir nicht sicher, ob die Bestimmung der Komponente aufgrund von GR so einfach ist, aber mein erster Versuch bestand darin, sie mit der Gleichung zur Bestimmung der Gravitationszeitdilatation außerhalb einer nicht rotierenden Kugel in einer kreisförmigen Umlaufbahn unter Verwendung der Schwarzschild-Metrik auszuwerten.

T ' = T 1 − 3 G M R C 2

Ich scheine nicht die richtige Antwort zu bekommen (45 Mikrosekunden nach 24 Stunden). Irgendwelche Ideen?

Antworten (1)

Die Gleichung, die Sie zitieren:

(1) T ' = T 1 − 3 G M R C 2

gibt die Zeit relativ zu einem Beobachter im Unendlichen an. Sie möchten die Zeit relativ zu einem Beobachter auf der Erdoberfläche. Sie müssen rechnen:

T Satellit = T 1 − 3 G M R Satellit C 2

Und:

T Erde = T 1 − 2 G M R Erde C 2

Wo R Erde ist der Radius der Erde und R Satellit ist der Radius der Umlaufbahn des Satelliten (gemessen vom Erdmittelpunkt). Die relative Zeitdilatation ist dann das Verhältnis dieser beiden Zeiten.

Beachten Sie, dass Gleichung (1) die Beiträge der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zur Zeitdilatation kombiniert, dh sie beinhaltet sowohl die gravitative Zeitdilatation als auch den Effekt der Orbitalgeschwindigkeit. Der Beobachter auf der Erdoberfläche befindet sich nicht in einer kreisförmigen Umlaufbahn, daher ist die Gleichung etwas anders (ein Faktor von 2 in der Quadratwurzel statt 3).

Übrigens, wenn das Gravitationsfeld schwach ist (wie das der Erde), können wir die schwache Feldnäherung für die Zeitdilatation verwenden:

(1) D T B D T A = 1 − 2 ( Φ A − Φ B ) C 2

Die Quantität Φ A − Φ B ist der Unterschied in der Newtonschen Gravitationspotentialenergie zwischen A Und B , Und D T B / D T A ist die Zeitdilatation von B 's Uhr relativ zu A 's Uhr.

Der Beobachter auf der Erde befindet sich auf verschiedenen Umlaufbahnen - einmal um die Sonne und einmal alle 24 Stunden um den Erdmittelpunkt. Die erste Umlaufbahn wird vom Satelliten "geteilt", während die letztere "sehr langsam" ist. Lohnt es sich, die für letztere erforderliche Korrektur zu berechnen (die vom Breitengrad abhängt)?
@ Floris: nein :-)
Siehe auch Sagnac-Verzerrung . Dies führt zu einem Fehler "in der Größenordnung von Hunderten von Nanosekunden oder Dutzenden von Metern in der Position".
@Floris Nein (na ja, es hängt natürlich von Ihrer Anwendung ab): Schauen Sie sich Johns Gleichung (1) an: Wenn die Newtonsche Näherung leicht von einem Effekt beeinflusst wird, wird der Fehler in einer Newtonschen Potenzialdifferenz zu diesem Fehler geteilt durch C 2 im schwachen Feldzeitdilatationsfaktor.
@Floris: Wenn jemand dies als Frage posten möchte, gebe ich gerne eine detaillierte Antwort. Es ist ziemlich einfach, da Sie einfach die Metrik für Konstante integrieren R Und θ Und ϕ = ω T R Sünde ⁡ θ . Aber ich denke, die Berechnung ist hier unnötig.
Danke für die schnelle Antwort. Enthält Gleichung 4 auch die spezielle Relativitätstheorie? IT scheint von 1 abgeleitet zu sein
@Kafros: Wenn Sie wirklich den Effekt der Erdrotation einbeziehen möchten, wie Floris vorschlägt, dann beantworten Sie eine neue Frage und ich erkläre es Ihnen gerne. Ich bin mir aber nicht sicher, ob es das wert ist.
Ok, ich habe es mit konstanten Werten bis zu 2 sf ausgearbeitet und erhalte eine Dilatation von 58 Mikrosekunden über einen Tag. Wenn Gleichung 4 die spezielle Relativitätstheorie enthält, ist das ein Fehler von 20 Mikrosekunden, wenn nicht, ein Fehler von 27 Mikrosekunden. Wie auch immer, werde ich nicht das richtige Ergebnis (bis zu 2 sf) erhalten, ohne die Erdrotation zu berücksichtigen?
Korrektur: Der Fehler beträgt 13 Mikrosekunden, wenn die Relativitätstheorie nicht berücksichtigt wird. Sie haben auch erwähnt, dass es sich um eine Annäherung handelt. Sollte die Annäherung einen Fehler von 20% ergeben?
@Kafros: Ich habe gerade die Berechnung zur Überprüfung durchgeführt und ich bekomme 38 us pro Tag, was genau richtig ist. Für die Erde erhalte ich t'/t = 0,999999999305 und für den Satelliten erhalte ich t'/t = 0,999999999975. Das Verhältnis dieser beiden beträgt 1,000000000445. Subtrahieren Sie davon 1 und multiplizieren Sie dies mit den 86400 Sekunden eines Tages und Sie erhalten 38us.
Zeitdilatation auf Satelliten aufgrund von GR
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