Zeitveränderliches Potential führt zu "Kraft"?

Sie sollten verstehen, wie Potenziale funktionieren und wie sie sich auf Kräfte beziehen. Es ist nicht so einfach zu sagen, dass sich Informationen mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Wie ich weiter unten zeigen werde, kann sich das Potenzial überall augenblicklich ändern (aber das bedeutet nicht, dass sich Informationen schneller als das Licht ausbreiten.

Beginnen wir mit den Maxwell-Gleichungen:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho(\mathbf{x},t)}{\epsilon_o} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_o \mathbf{J} + \mu_o \epsilon_o \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

Seit$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$wir können schreiben$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$Wo$\mathbf{A}$ist ein Vektorfeld, das wir Vektorpotential nennen. Wenn wir dies in der dritten Maxwell-Gleichung verwenden, können wir schreiben:

$$\nabla \times \left(\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=0$$

da wir die Locke und die partielle Ableitung im Laufe der Zeit frei austauschen können, da sie unabhängig sind. Unter Verwendung der Tatsache, dass die Kräuselung eines Gradienten 0 ist, definieren wir das Skalarpotential V als:

$$\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\nabla V \\ or\\ \mathbf{E} =-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\nabla V$$

Sie werden feststellen, dass wir bisher nur die zweite und dritte Maxwell-Gleichung verwendet haben. Und wir haben das Skalar- und Vektorpotential, das das elektrische und magnetische Feld ergeben kann. Aber die Ausdrücke für die gewonnenen Potentiale setzen Vorkenntnisse der zu bewertenden Felder voraus. Um dies zu umgehen, verwenden wir jetzt die verbleibende erste und vierte der Max-Gleichungen. Durch die Substitutionen für$\mathbf{E}$Und$\mathbf{B}$bezüglich$\mathbf{A}$und V in diesen Gleichungen erhalten wir:

$$-\nabla^2 V -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{A}) = \frac{\rho}{\epsilon_o}\\ and\\ \left(\nabla^2 \mathbf{A} - \mu_o \epsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}\right)-\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A} + \mu_o \epsilon_o \frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_o \mathbf{J}$$

Wir haben also diese beiden PDEs, die alle Informationen von Max' Gleichungen enthalten. Ich schätze, man könnte sagen, dass sie die integrale Form von Max' Gleichungen sind. Du wirst jetzt vielleicht müde. Aber keine Sorge, wir kommen ans Ziel. Um diese fiesen PDEs zu lösen, müssen wir einige Messgeräte auswählen.

Bevor ich Ihnen also zeigen kann, wie Sie über das Potenzial aufgrund sich ändernder Ladungsverteilungen nachdenken sollten, muss ich über Messgeräte sprechen. Es gibt etwas, das als Eichfreiheit bezeichnet wird, was im Grunde bedeutet, dass diese PDEs die Potenziale nicht eindeutig spezifizieren. Tatsächlich können Sie den Gradienten jeder skalaren Funktion zum Vektorpotential addieren und ihre partielle Zeitableitung vom skalaren Potential subtrahieren, ohne die Felder zu ändern. Das bedeutet, dass Sie den Wert von wählen können$\nabla \cdot \mathbf{A}$gleich 0 sein (Coulomb-Eichung) oder$-\mu_o\epsilon_o \frac{\partial V}{\partial t}$(Lorentz-Spur) unter anderem (andere Spurweiten).

Lassen Sie uns also mit dem Coulomb-Messgerät arbeiten, da dies meinen Standpunkt veranschaulichen wird. Einstellen der$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$in der ersten PDE erhalten wir:

$$\nabla^2 V = -\frac{\rho(\mathbf{x}', t)}{\epsilon_o}$$

die Sie mit den Funktionen von Green lösen können, um Folgendes zu erhalten:

$$V(\mathbf{x},t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \frac{\rho(\mathbf{x}', t)}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|} d^3 \mathbf{x}'$$

Sie sehen also das Potenzial an$\mathbf{x}$zum Zeitpunkt$t$hängt von der Ladungsdichte ab$\mathbf{x}'$zum Zeitpunkt$t$. Eine Änderung in der Ladungsverteilung wird also das skalare Potential überall sofort aktualisieren. Nun, Sie könnten besorgt sein, dass dies die Kausalität brechen wird. Aber das wird nicht passieren, weil das Vektorpotential anders als das skalare zeitabhängig ist und um das Feld (das die einzige messbare Größe ist) zu berechnen, braucht man das Vektorpotential. Obwohl eine sich ändernde Ladungsdichte auf der Oberfläche ein sich bewegendes geladenes Teilchen in einem Faraday-Käfig beeinflussen kann (es blockiert keine Magnetfelder), kann man aufgrund der Zeitabhängigkeit nicht wirklich über Gradienten im Skalarpotential sprechen, wie Sie implizieren ( zumindest in Coulomb-Eichung).