Zentrales Potential vs. nicht zentrales Potential (Teilchen in einer Box)

Da ich Erfahrung in der Modellierung von Quantenvorticity in einem Kondensat habe, werde ich hier einige allgemeine Prinzipien vorstellen und Beispiele geben. Normalerweise verwenden wir ein rotierendes Koordinatensystem und untersuchen dort das Problem, zum Beispiel finden wir Eigenfunktionen. Anschließend können die Randbedingungen festgelegt werden. Betrachten Sie das Problem der Bestimmung der Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödinger-Gleichung in einem rotierenden Würfel mit null Randbedingungen auf der Oberfläche des Würfels. Die Schrödinger-Gleichung in einem rotierenden Koordinatensystem hat die Form (siehe https://arxiv.org/abs/1611.07570v1 und https://arxiv.org/abs/quant-ph/0305081 ):

$$i\hbar \partial _t \psi=\frac {1}{2m}(-i\hbar \nabla -m\vec {A})^2\psi -\frac {m}{2}(\vec {A})^2\psi$$ Hier$\vec {A}=R\dot {R}^T\vec {r}$,$R$Es gibt eine Rotationsmatrix. Bei Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit haben wir$\vec {A}=\vec {\Omega}\times \vec{r}$. Dann bekommen wir $$i\hbar \partial _t \psi=-\frac {\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi+i\hbar (\vec {\Omega}\times \vec{r}).\nabla \psi$$ Wenn wir schließlich die z-Achse in Richtung der Rotationsachse wählen, finden wir $$i\hbar \partial _t \psi=-\frac {\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi+i\hbar \Omega(x\partial _y-y\partial _x )\psi$$ Wir verwenden diese Gleichung, um Eigenwerte und Eigenfunktionen zu finden. Es ist notwendig, die Ausrichtung des Würfels relativ zur Rotationsachse zu wählen. Am einfachsten ist es, wenn die Rotationsachse mit der Symmetrieachse des Würfels zusammenfällt, die durch gegenüberliegende Flächen verläuft. Setzen$\hbar=1$und Würfelgröße$L=2$dann haben die ersten acht Eigenwerte die Form (der Betrag der Wellenfunktion ist dargestellt, die Eigenwerte sind oben angegeben)

Der Drehimpuls ist eine nützliche Größe, wenn er erhalten bleibt. Wenn der Drehimpuls nicht erhalten bleibt, hilft es nicht viel, Drehimpuls-Eigenzustände zu identifizieren.

Es kommt alles auf die Symmetrien des Systems an, ala Noethers Theorem . Der Drehimpuls hängt mit der Rotationssymmetrie zusammen. Ein Kasten ist nicht rotationssymmetrisch. Daher ist der Drehimpuls nicht erhalten. Dies bedeutet, dass der Rotationsoperator nicht mit dem Hamilton-Operator kommutieren würde und daher diese beiden Operatoren nicht dieselben Eigenzustände teilen.

In einem physikalischen System ohne Rotationssymmetrie würden die Felder innerhalb des Systems Drehimpuls mit den Grenzen austauschen. Wenn beispielsweise Licht von einer Grenze reflektiert wird, findet ein Impulsaustausch zwischen dem Licht und der Grenze statt. Wenn der von der Grenze aufgenommene Impuls nicht parallel zum Positionsvektor ist, dann wäre ihr Kreuzprodukt ungleich Null, was zu einem von der Grenze erfassten Drehimpuls ungleich Null führen würde. Aus diesem Grund wäre der Drehimpuls des Feldes innerhalb der Grenze nicht erhalten.