Zweite Variation eines Funktionals

Die Regel, die funktionale Ableitungen definiert, ist

$$\frac{\delta \rho(\mathbf{r})}{\delta \rho(\mathbf{r}')} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').$$ Beachten Sie, dass die rechte Seite die Dirac-Delta-Funktion ist. Das und Dinge wie das Befolgen der Produktregel, der Kettenregel usw., denen gewöhnliche Derivate gehorchen.

Eine Sache, die Ihnen das Leben schwer macht, ist also, dass Sie Dummy-Variablen innerhalb des Integrals denselben Namen gegeben haben wie Variablen außerhalb des Integrals in Ihren Variationsableitungen. Sie können die Dinge klarer machen, indem Sie die Integrationsvariablen auf etwas anderes umstellen (z$\mathbf{x}$Und$\mathbf{x}'$), So

$$\begin{align} \dfrac {\delta^2 E_{H}}{\delta \rho (\mathbf{r})\delta \rho (\mathbf{r}')} &=\dfrac {\delta^2}{\delta \rho (\mathbf{r})\delta \rho (\mathbf{r}')}\iint \dfrac{\rho (\mathbf{x})\rho (\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\operatorname{d}^3x\operatorname{d}^3x'\\ & = \dfrac {\delta}{\delta \rho (\mathbf{r})}\iint \dfrac{\delta (\mathbf{x} - \mathbf{r}')\rho (\mathbf{x}') + \rho(\mathbf{x})\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{r}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\operatorname{d}^3x\operatorname{d}^3x' \\ & = \iint \dfrac{\delta (\mathbf{x} - \mathbf{r}')\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{r}) + \delta(\mathbf{x}-\mathbf{r})\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{r}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\operatorname{d}^3x\operatorname{d}^3x'\\ &\mathrm{etc.} \end{align}$$