Berechnung der funktionalen Ableitung des Austauschkorrelationsfunktionals

Question

Berechnung der funktionalen Ableitung des Austauschkorrelationsfunktionals

Physik
Vielkörper
Quantenmechanik
Variationsrechnung
funktionale Ableitungen
Dichtefunktionaltheorie

Lukas Brito

Das Kapitel von Sakurai und Napolitano über die Dichtefunktionaltheorie behauptet, es sei "einfach" zu finden $\delta U_{\text{xc}}/\delta n$ für

\begin{matrix} (2.33) & U_{xc} [N] = \int D^{3} X N (X) ϵ (N) \end{matrix}

$U_{\text{xc}}[n]=\int d^3 x n(\mathbf{x})\epsilon(n)\tag{2.33}$ und eine gegeben

ϵ (n)

$\epsilon(n)$ , aber ich weiß nicht, wo ich mit dieser Berechnung anfangen soll. Mein Wissen über die Variationsrechnung, wie sie in der Lagrange-Mechanik erscheint, lässt mich rechnen

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial [N (X) ϵ (X)]}{\partial N} D^{3} X

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial[n(x)\epsilon(x)]}{\partial n} d^3 x$ aber die Integration mit Mathematica führte zu einem Rekursionsfehler, daher bin ich etwas verwirrt, zumal diese ¹ These dies behauptet

\begin{matrix} (2.34) & \frac{δ U_{xc}}{δ N (X)} = \frac{\partial [N (X) ϵ (N (X))]}{\partial N (X)} . \end{matrix}

$\frac{\delta U_{\text{xc}}}{\delta n(x)}= \frac{\partial[n(x)\epsilon(n(x))]}{\partial n(x)}.\tag{2.34}$ Dh frei von dem Integral bzgl

d^{3} x

$d^3 x$ . Welcher Ansatz ist richtig? Wenn letzteres richtig ist, wie kommt man zu dieser Formel für

δ U_{x c} / δ n (x)

$\delta U_{xc} /\delta n(x)$ ?

¹ PR Tulip, dielektrische und gitterdynamische Eigenschaften von molekularen Kristallen über dichtefunktionale Störungstheorie: Implementierung in einem First-Principles-Code .

Tobias Fünke

Sollte es sein

ϵ (r)

$\epsilon(r)$ oder

ϵ (n (r))

$\epsilon(n(r))$ ? Sonst macht die Notation für mich keinen Sinn.

Lukas Brito

@JasonFunderberker Der Text ist wie oben geschrieben, obwohl ich zuversichtlich bin, dass es so sein soll

ϵ (n (r))

$\epsilon(n(r))$ . Unabhängig davon sehe ich, dass Ihre Antwort letzteres verwendet.

Tobias Fünke

Ja, aber so etwas wie

ϵ (n)

$\epsilon (n)$ ist nicht wirklich gut definiert. Wenn es funktional sein soll, dann

E [n] = N ϵ [n]

$E[n] = N \epsilon[n]$ und ob es sich um eine Skalarfunktion handelt

ϵ (x)

$\epsilon(x)$ Dann

E [n]

$E[n]$ ist linear und somit ist ihre funktionale Ableitung trivial. Daher habe ich den nicht-trivialen Fall angenommen, also eine Funktionskomposition (was auch im Bereich der LDA-Approximation sinnvoll ist). Wie auch immer, ich denke, das ist nur die übliche schlampige Notation in diesem Bereich.

Antworten (1)

Berechnung der funktionalen Ableitung des Austauschkorrelationsfunktionals

Sollte es sein $\epsilon(r)$ oder $\epsilon(n(r))$ ? Sonst macht die Notation für mich keinen Sinn.
@JasonFunderberker Der Text ist wie oben geschrieben, obwohl ich zuversichtlich bin, dass es so sein soll $\epsilon(n(r))$ . Unabhängig davon sehe ich, dass Ihre Antwort letzteres verwendet.
Ja, aber so etwas wie $\epsilon (n)$ ist nicht wirklich gut definiert. Wenn es funktional sein soll, dann $E[n] = N \epsilon[n]$ und ob es sich um eine Skalarfunktion handelt $\epsilon(x)$ Dann $E[n]$ ist linear und somit ist ihre funktionale Ableitung trivial. Daher habe ich den nicht-trivialen Fall angenommen, also eine Funktionskomposition (was auch im Bereich der LDA-Approximation sinnvoll ist). Wie auch immer, ich denke, das ist nur die übliche schlampige Notation in diesem Bereich.

Tobias Fünke · Answer 1

Die Schreibweise ist meiner Meinung nach etwas seltsam. Lassen Sie uns also zuerst definieren

ϵ_{N} := ϵ \circ N : X \mapsto ϵ (N (X))

$\epsilon_n := \epsilon \circ n :x \mapsto \epsilon(n(x))$ für irgendeine Funktion

ϵ

$\epsilon$ Und

E [N] := \int D X N (X) ϵ_{N} (X) .

$E[n] := \int \mathrm dx\, n(x) \, \epsilon_n(x)\quad.$

Wir wollen rechnen

δ E [N] [φ] := lim_{H \to 0} \frac{E [N + H φ] - E [N]}{H},

$\delta E[n][\varphi] := \lim\limits_{h \to 0} \frac{E[n+h\varphi]-E[n]}{h} \quad ,$

Wo $\varphi$ bezeichnet eine geeignete Testfunktion. Wir finden

\begin{matrix} (1) & δ E [N] [φ] = lim_{H \to 0} \int D X N (X) \frac{ϵ_{N + H φ} (X) - ϵ_{N} (X)}{H} + ϵ_{N + H φ} (X) φ (X) . \end{matrix}

$\delta E[n][\varphi] = \lim\limits_{h\to 0}\int \mathrm d x\, n(x) \frac{\epsilon_{n+h\varphi}(x)-\epsilon_n(x)}{h}+ \epsilon_{n+h\varphi}(x)\, \varphi(x) \quad . \tag{1}$

Um fortzufahren, berechnen wir

\begin{matrix} (2) & lim_{H \to 0} \frac{ϵ_{N + H φ} (X) - ϵ_{N} (X)}{H} = lim_{H \to 0} \frac{ϵ (N (X) + H φ (X)) - ϵ (N (X))}{H} = ϵ^{'} (N (X)) φ (X), \end{matrix}

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{\epsilon_{n+h\varphi}(x)-\epsilon_n(x)}{h} = \lim\limits_{h\to 0}\frac{\epsilon(n(x)+h\varphi(x))-\epsilon(n(x))}{h}\quad = \epsilon^\prime (n(x)) \, \varphi(x) \quad , \tag{2}$

unter Verwendung der Kettenregel. Das ergibt schließlich

\begin{matrix} (3) & δ E [N] [φ] = \int D X (ϵ (N (X)) + N (X) ϵ^{'} (N (X))) φ (X) . \end{matrix}

$\delta E[n][\varphi] = \int \mathrm d x\, \left(\epsilon(n(x)) + n(x)\, \epsilon^\prime (n(x)) \right)\varphi (x) \quad . \tag{3}$ Schließlich sehen wir das per Definition

\frac{δ E}{δ N} [N] (X) = ϵ (N (X)) + N (X) ϵ^{'} (N (X)),

$\frac{\delta E}{\delta n}[n](x) = \epsilon(n(x)) + n(x) \epsilon^\prime (n(x)) \quad,$

was mit der Form des üblichen LDA-Austauschkorrelationspotentials übereinstimmt .

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Lukas Brito

Tobias Fünke

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Tobias Fünke

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Tobias Fünke

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