Zwillingsparadoxon - Beobachter umkreisen die Erde

Interessante Frage ... mit den von Ihnen angegebenen Annahmen haben die Beobachter B und C offensichtlich die gleiche Zeit auf ihren Uhren, wenn sie sich wieder treffen, weil ihre Situationen identisch sind. Beobachter A hingegen muss sich mit einer Rakete oder so an Ort und Stelle halten, sodass er sich nicht in einem Trägheitsbezugssystem befindet. Basierend darauf wird A eine andere Zeit auf seiner Uhr haben, wenn die drei sich wieder treffen.

Mal sehen, was die Mathematik sagt. Bei einer kugelförmigen, nicht rotierenden Erde können wir die Schwarzschild-Metrik verwenden, um die Raumzeit außerhalb zu beschreiben.

Für die Raumzeitbahnen der drei Beobachter gilt:$\mathrm{d}r = 0$(weil sie in einem konstanten Radius bleiben) und$\mathrm{d}\phi = 0$(weil sie in einer einzigen Ebene umkreisen). Ein bisschen Algebra bringt Sie also dazu

In dieser Formel$r$ist gleich der radialen Koordinate der drei Beobachter,$c$ist die Lichtgeschwindigkeit, und$r_s$ist der Schwarzschild-Radius der Erde. Alle drei sind Konstanten. Das einzige, was sich von Beobachter zu Beobachter unterscheidet, ist die Koordinatenwinkelgeschwindigkeit$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$, was so etwas wie die von einem entfernten Beobachter gemessene Winkelgeschwindigkeit ist. Für Beobachter B ist dies gleich einer Konstante$\omega$, für C ist es gleich$-\omega$, und für A wird es Null sein. Das bedeutet, dass$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$ist für B und C gleich und für A etwas größer.

Nun, diese Menge$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$ist die Rate, mit der die Eigenzeit ($\tau$) vergeht relativ zur Koordinatenzeit ($t$). Die Koordinatenzeit ist wiederum im Grunde das, was von einem entfernten Beobachter gemessen würde. Jedes Mal, wenn sich die drei Beobachter A, B, C treffen, findet das Treffen für alle drei zur gleichen Koordinatenzeit statt. Allerdings zur richtigen Zeit$\tau$, also die Zeit, die jeder Beobachter intern misst, ist nicht für alle drei gleich. Die Tatsache, dass$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$größer für Beobachter A bedeutet, dass für eine gegebene Menge an Koordinatenzeit (wie zum Beispiel das Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Treffen der drei Beobachter) A mehr Zeit erfahren wird als B oder C. Wenn also die Beobachter mit synchronisierten Uhren beginnen, Wenn sie sich das nächste Mal treffen, wird A feststellen, dass seine Uhr den Uhren von B und C ein wenig voraus ist.

Wenn Sie neugierig auf die Zahlen sind: Wir haben möglicherweise nicht genug Genauigkeit, um ein genaues Ergebnis zu erhalten, aber ich kann dies nur tun, um zu zeigen, wie die Berechnung funktionieren würde. Lassen Sie uns den Schwarzschild-Radius der Erde von einstecken$r_s = 8.9\text{ mm}$und der Orbitalradius von, sagen wir, der Internationalen Raumstation bei$r = 6750\text{ km}$(grober Durchschnitt). Wir können auch die Umlaufgeschwindigkeit der ISS von verwenden$r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 7.68\ \mathrm{\frac{km}{s}}$für die Beobachter B und C. Daraus ergeben sich folgende Raten:

Der Unterschied funktioniert$3\times 10^{-10}$. Über eine Umlaufzeit von 90 Minuten würde also die Uhr auf A der auf B oder C um 1,7 Mikrosekunden vorausgehen. Aber noch einmal, ich bin mir nicht sicher, ob diese Zahl unbedingt vertrauenswürdig ist, weil wir hier über sehr kleine Zahlen sprechen und einige der GR-Effekte, die ich vernachlässigt habe, dazu beitragen könnten.

Sobald es irgendeine Gravitation oder Beschleunigung gibt, müssen Sie die allgemeine Relativitätstheorie verwenden und die einfachen Zeitdilatationseffekte, die Sie in der speziellen Relativitätstheorie erhalten, sind nicht vorhanden (das heißt, sie sind nicht mehr so ​​einfach).

Tatsächlich entspricht das von Ihnen beschriebene Szenario dem Standard-Zwillingsparadoxon, mit der Ausnahme, dass Ihre Zwillinge relativ zueinander gleichmäßig beschleunigen und dass zwischen den Zwillingen (Drillingen?) B und C eine Symmetrie besteht. Die Auflösung des Zwillingsparadoxons ist dies Damit der reisende Zwilling zurückkehrt, muss er beschleunigen, und das widerspricht den Annahmen der speziellen Relativitätstheorie.

Das Schöne an Ihrem Beispiel ist, dass es zeigt, dass das Problem mit dem Zwillingsparadoxon nicht darin besteht, dass es einen Symmetriebruch zwischen den Zwillingen gibt, sondern dass Beschleunigung oder Gravitation vorhanden sind.

B und C haben dieselbe Zeit, aber A-Zeit wird unterschiedlich sein. Es wird entweder schneller sein, wenn sich B und C in einer ausreichend niedrigen Umlaufbahn befinden, oder langsamer, wenn sie sich in einer ausreichend hohen Umlaufbahn befinden. Sie müssen GTR verwenden, wenn die Schwerkraft beteiligt ist

Interessantes Problem. Die Referenz A, die statische, kann weggelassen werden. Die anderen, die die Erde umkreisen, erfahren die gleiche Gravitationskraft, und beide Uhren sind gleichermaßen betroffen, und daher kann GR zu keinem Unterschied beitragen.
Die Umlaufbahn ist kreisförmig und erfordert auf den ersten Blick eine Beschleunigung.
Ist es so? Nein, imho. Obwohl sie Kräften, der Gravitation und der Zentripetalkraft, ausgesetzt sind, heben sie sich gegenseitig auf und die Nettokraft in radialer Richtung ist Null. Wenn die Motoren ausgeschaltet sind, ist die Tangentialbeschleunigung ebenfalls Null.
Sie folgen einfach dem „Geodätischen“, im freien Fall.
Das Problem ist auf allen Ebenen eindeutig symmetrisch, und SR reicht aus.
In dem Moment, in dem sie sich überqueren, können sie eine Nachricht mit der Uhrzeit senden und sie werden sehen, dass sie die gleiche Zeit markieren. Herr David hat in seiner Antwort bereits gesagt, was mit der Uhr von A passiert, die in der Erdoberfläche verblieben ist.
Ich werde seine Position auf die gleiche Höhe wie die der anderen im Orbit ändern. Wenn es in eine stationäre Position bezüglich der nicht rotierenden Erdoberfläche gelangt, muss es Motoren einsetzen, um der Wirkung der Gravitation mit der gleichen Kraft entgegenzuwirken. Aber beschleunigt der Beobachter trotzdem? Nein, imo, aus dem gleichen Grund, aus dem er keine Nettokraft in alle Richtungen erleidet.
SR reicht? Ziehen Sie Ihre eigenen Schlussfolgerungen.