Symmetrisches Zwillingsparadoxon in einem geschlossenen Universum

Ihre Frage wird in folgendem Beitrag behandelt:

Das Zwillingsparadoxon in kompakten Räumen
Autoren: John D. Barrow, Janna Levin
Phys. Rev. A 63 No. 4, (2001) 044104
arXiv:gr-qc/0101014

Zusammenfassung: Zwillinge, die sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit bewegen, werden sehen, wie sich die Zeit des anderen verlängert, was zu dem offensichtlichen Paradoxon führt, dass jeder Zwilling glaubt, dass der andere langsamer altert. In einem begrenzten Raum können sich die Zwillinge beide auf periodischen Umlaufbahnen befinden, sodass sie die Möglichkeit haben, ihr Alter zu vergleichen, wenn sich ihre Wege kreuzen. Wie wir zeigen, werden sie sich auf ihr jeweiliges Alter einigen und das Paradoxon vermeiden. Die Auflösung beruht auf der Auswahl eines bevorzugten Rahmens, der durch die Topologie des Raums herausgegriffen wird.

Stellen wir uns zuerst das „normale“ Zwillingsparadoxon vor – Sie haben einen Beobachter, der mit dem zusammenfällt$y$-Achse. Der zweite Beobachter fährt mit einem Winkel größer als aus$45$Grad und muss dann eine Bearbeitungszeit haben, nach der sie wieder beitreten$y$Achse und Alter vergleichen. Der zweite Beobachter altert weniger, weil er einen Weg zwischen den beiden „Treffen“-Ereignissen zurücklegt, der weniger Zeit in Anspruch nimmt. Die Nichtäquivalenz der beiden Pfade wird durch den Knick erzwungen. Insbesondere wenn Sie Lichtstrahlen in gleichen Intervallen zeichnen, die den nicht beschleunigenden Beobachter verlassen, werden Sie sehen, wie der sich bewegende Beobachter sie plötzlich altern sieht, wenn sie beschleunigen.

Stellen wir uns nun die von Ihnen beschriebene Situation vor - stellen Sie sich dazu einen Papierstreifen vor, der unendlich ist$y$-Richtung und hat die Topologie des ``Asteroids''-Spiels in der$x$-Richtung. Dies beschreibt einen geometrisch flachen Ring, der sich mit der Zeit entwickelt (das Hinzufügen weiterer Dimensionen ändert das physikalische Bild für dieses Problem nicht sehr, macht es jedoch viel schwieriger, sich das Ganze mental vorzustellen). Unsere beiden Beobachter reisen mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen von einem gemeinsamen Punkt aus. Sie gehen zum Rand des Streifens und kommen am anderen Ende heraus und treffen sich in der Mitte. Wer denkt, dass er älter ist? Niemand! Die Pfade haben offensichtlich gleiche Eigenlängen. Wie passt das zu ihrer Wahrnehmung voneinander? Nun, zeichnen Sie einfach die Lichtstrahlen, die die beiden Beobachter verlassen, auf Ihr Papier - wenn sie am anderen Ende herauskommen, sehen sie plötzlich das Altern des anderen Beobachters - den Akt, "um die Welt" zu gehen

Beachten Sie auch, dass Sie hier nicht wirklich die allgemeine Relativitätstheorie benötigen - ein Zylinder ist von Natur aus flach (oder kann es zumindest sein), und daher gibt es hier keine Materie und lokale Rahmen mit einer Größe, die kleiner als der Durchmesser von ist Das Universum wird in der Lage sein, sich unverzerrt auf den gewöhnlichen Minkowski-Raum abzubilden. Das ist alles Topologie.

BEARBEITEN:

Am Ende lässt sich das alles, wie gesagt, erarbeiten, indem man Linien auf Papier zeichnet, Seiten miteinander identifiziert und die Regel anwendet$\tau^{2} = t^{2} - x^{2}$, wo$x$ist die zurückgelegte horizontale "Raum" -Entfernung,$t$ist die Zeit, die im globalen Rahmen des Torus (oder dem bevorzugten Rahmen, wenn Sie so wollen) verstrichen ist, und$\tau$ist das Ausmaß der Alterung des jeweiligen Beobachters in seinem Rahmen. Es braucht nur Papier und Lineale.

Und sobald Sie über bevorzugte Rahmen sprechen, verletzen Sie den Geist von Einsteins Postulaten. Das heißt nicht, dass man nicht konsequent über Dinge reden kann. Die spezielle Relativitätstheorie auf einem Torus ist immer noch vollkommen konsistent, es ist nur keine Theorie, in der alle Frames gleichwertig sind. Beachten Sie auch, dass die Lichtgeschwindigkeitsbegrenzung immer noch gültig ist – die zugrunde liegende lokale Geometrie ist immer noch identisch mit SRT. Sie werden nur Unterschiede haben, wenn Beobachter „um die Welt“ gehen. Dies ist der Unterschied zwischen Geometrie und Topologie.

EDIT II, ​​elektrisches Boogaloo:

Die Asymmetrie kommt von der Tatsache, dass das Universum selbst einen Referenzrahmen hat und seine Größe sich um einen Lorentz zusammenzieht. Dies ist für die Menschen selbst messbar – alles, was geschehen muss, ist, einen Lichtstrahl auszusenden und darauf zu warten, dass der Lichtstrahl um die Welt geht. Der 'Durchmesser des Universums' wird (Lichtumlaufzeit)/c sein. Diese Zeit wird kleiner, je schneller der Beobachter unterwegs ist. Alle Beobachter werden sich also einig sein, dass es einen globalen, absoluten Begriff von Bewegung gibt, und dieser wird erkennen, wer wann altert.

Wenn Sie sich Sorgen über die Translationsinvarianz machen, beachten Sie, dass Sie kleben$x=0$zu$x=L$, aber eine Lorentz-Transformation wird Raum- und Zeitkoordinaten mischen, also wird dies für einen sich bewegenden Beobachter kleben$\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0$zum gleichen Ausdruck gleich$L$, und beinhaltet eine Vermischung von Raum- und Zeitkoordinaten – die Grenzen scheinen sich zu bewegen.

Der reisende Astronaut ist jünger. Zwischen den beiden Astronauten ist die Situation nicht umkehrbar, weil der reisende Astronaut einer beschleunigungsähnlichen Wirkung ausgesetzt ist, weil er der Raumkrümmung in der vierten Dimension folgt.

Die Lösung muss die geometrisch/topologische Konstellation berücksichtigen. Und topologisch macht der reisende Astronaut eine Rundreise , auch wenn das Universum flach ist und auch wenn die Bewegung des reisenden Astronauten völlig träge und ohne Beschleunigung ist: weil er nicht den gleichen Weg zurückkehrt, den er genommen hat, als er den anderen Astronauten verlassen hat.

Dies bedeutet - auch wenn keine Beschleunigung auftritt - dass dieser Fall mit zwei Zwillingen vergleichbar ist, von denen einer eine Rundreise macht und bei der Rückkehr zur Erde jünger ist als der verbleibende Zwilling. Ein weiterer Vergleich: zwei Erdsatelliten, ein geostationärer Satellit und ein Satellit im Orbit . Der sich bewegende Satellit wird keiner Beschleunigung seines 1D- (oder 2D-) Kurses ausgesetzt, sondern aufgrund der Schwerkraft permanent senkrecht zur Erde (der 3. Dimension) beschleunigt. Ebenso wird der Astronaut im 3D-Raum nicht beschleunigt , sondern folgt der Krümmung der 4. Dimension .

Aufgrund des überwiegenden Einflusses der Raumkrümmung in der 4. Dimension funktionieren die aktuellen Gleichungen zum Zwillingsparadoxon nicht und müssen für diesen Spezialfall korrigiert werden. Es gibt keine Beschleunigung im 3D-Raum, aber die Krümmung ähnelt einer Beschleunigung in der vierten Dimension (= die Dimension, in der der 3D-Raum gekrümmt ist). Das Ergebnis wird sein, dass der reisende Astronaut (genauer: der relative Abstand zwischen beiden Astronauten) irgendwie in Richtung der vierten Dimension "beschleunigt" wird, so dass das Zwillingsparadoxon nicht symmetrisch angewendet werden kann, genau wie für die beiden Satelliten.