Worum geht es in der Quantenmechanik wirklich? [Duplikat]

Die Quantenmechanik ist nach unserem besten Wissen die Art und Weise, wie (fast alles in) der Welt funktioniert.

Es geht nicht nur darum, „Materiewellen“ zu beschreiben, obwohl dies grundlegend für ihre Entstehung war. Es geht nicht nur darum, mikroskopische Phänomene zu beschreiben.

Es geht um eine grundlegende Vorstellung von "Mechanik" (der Name sagt es schon!), um den Versuch zu beschreiben, wie sich physikalische Systeme verhalten. Alle physikalischen Systeme. Es gibt keine Grenze zwischen der Klassik und dem Quantum. Es gibt eine glatte Skala, auf der die klassische Annäherung an die Quantenmechanik gut genug und die Quantenbeschreibung hoffnungslos überkompliziert wird.

Aber die Quantenphysik ist nicht auf eine bestimmte Art von Systemen beschränkt (na ja, fast – sie kann nicht richtig mit Systemen umgehen, bei denen die Schwerkraft vollständig quantenmäßig beschrieben werden sollte, aber diese Situationen sind äußerst selten!). Die klassische Physik geht in vielerlei Hinsicht daraus hervor, obwohl Sie vielleicht Uneinigkeit darüber finden, wie genau sie das im Allgemeinen tut.

Und zu all Ihren anderen Fragen möchte ich Sie bitten, sich zunächst die klassische Physik anzusehen: Worum geht es da? Partikel bewegen sich? Wellen, die sich auf der Oberfläche eines Sees ausbreiten? Planeten umkreisen die Sonne? Elektromagnetismus? Kinetische Theorie und damit Thermodynamik? Die Antwort lautet: Alle oben genannten, aber keine ausschließlich. Es geht nur darum, wie sich Sachen verhalten.

Sie können sogar die klassische Physik in Form von Hilbert-Räumen beschreiben, sie nennt sich Koopman-von-Neumann-Mechanik . Dann werden sowohl die klassische als auch die Quantenmechanik vereinheitlicht, indem sie durch Vektoren in einem Hilbert-Raum beschrieben werden, wobei eine Algebra von Observablen darauf einwirkt, und Erwartungswerte, die durch die Born-Regel gegeben sind. Im Wesentlichen besteht der einzige Unterschied zwischen klassischer und Quantenmechanik darin, dass quantenmechanische Observablen nicht pendeln, die Idee, dass es möglich ist, dass ein Zustand einen genau definierten Wert hat$A$, aber nicht für$B$.

Um die Antwort von ACuriousMind zu ergänzenIndem ich meine persönliche Erfahrung einbrachte, hatte auch ich jahrelang den mathematischen Hintergrund und verstand alle algebraischen Machenschaften in vielen Lehrbüchern perfekt, war aber völlig ratlos. Mein Problem war, dass ich QM für lange Zeit "aus" war: Ich hatte einen elementaren Kontakt damit im Grundstudium der Ingenieurwissenschaften, das auf eine sehr veraltete (ungefähr um achtzig Jahre) Art und Weise gelehrt wurde - alles über Welle-Teilchen-Dualität und manchmal Teilchen , andere winken, die beiden sollen sich niemals treffen und all das - als ich mich also viele Jahre später beruflich (in der Quantenoptik) mit QM befassen musste, dachte ich, ich hätte erwartet, dass es "verrückter" sein würde, als es ist. Diese Sicht auf schizophrene Wellen ist nicht hilfreich, wie deutlich wird, wenn man sich die Welt als aus Quantenfeldern bestehend vorstellt,: Vielleicht finden Sie DanielSanks wirklich schöne Antwort auf die Physics SE-Frage "Was ist die physikalische Interpretation der zweiten Quantisierung?" hilfreich .

Lassen Sie uns die Physik herauskitzeln, indem wir die Frage von ACuriousMind erneut stellen . Ich möchte Sie ermutigen, zu fragen und tief darüber nachzudenken.

" .... schauen Sie sich zuerst die klassische Physik an: Worum geht es? ... Die Antwort lautet: Alles oben Genannte, aber nichts ausschließlich. Es geht nur darum, wie sich Dinge verhalten."

Wenn Sie lange genug so denken, verstehen Sie, dass die klassische Mechanik genauso verrückt ist wie die QM, und dass wir letztendlich nur das Experimentieren können, um die Natur des Seins zu untersuchen.

Selbst wenn wir Analogien zur Hamilton- und Lagrange-Mechanik und die übliche Erzählung von der „Quantisierung der klassischen Theorie“ ganz beiseite lassen, sieht der größte Teil der Quantenmechanik genau wie eine bestimmte Formulierung der klassischen Mechanik aus:

1. Es gibt einen Zustand, der das System sowohl in der Vergangenheit seit der letzten "Messung" als auch in der Zukunft bis zur "Messung" vollständig definiert;

2. Der Zustand lebt in einem Hilbert-Raum (vollständiger innerer Produktraum) und seine Entwicklung mit der Zeit ist linear.

3. In einem isolierten, zeitinvarianten System muss der lineare Evolutionsoperator die Form haben$\exp(K\,t)$denn bei gegebenen Reversibilitätsannahmen (man kann den Zustand zu jedem Zeitpunkt aus dem zu jedem anderen Zeitpunkt ableiten) müssen die Zeitentwicklungsoperatoren eine Ein-Parameter-Gruppe sein. Hier können Sie den Zeitparameter so definieren , dass er hinzugefügt wird, wenn Sie Gruppenmitglieder zusammenstellen: Dies definiert die Zeit als das, was die Evolution "regelmäßig" oder "gleichmäßig" macht; alle anderen möglichen Parametrisierungen sind stetige Bijektionen$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$von "normalen", "guten Uhren" (die bis auf eine affine Transformation definiert sind).$t^\prime = A t + B;\,A,\,B\in\mathbb{R}$)).

Die Kontroll- und Systemtheorie betrachtet alle linearen Systeme – ob klassisch oder quantenmechanisch – auf diese Weise. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir „alle Zeiten“ durch „zwischen den Messungen“ ersetzen, wobei letzterer Begriff noch definiert werden muss. Die Dynamik von jedemSystem, das durch eine beliebige endliche Anzahl von linearen DEs einer beliebigen endlichen Ordnung beschrieben wird, kann in die obige Form gegossen werden. In der Kontrolltheorie wird der Zeitentwicklungsoperator als Zustandsübergangsmatrix bezeichnet, deren Erweiterung für ein zeitvariables System durch die Peano-Baker-Reihe gegeben ist, die in der Quantentheorie eine etwas andere Form in der Dyson-Reihe annimmt. Bezeugen Sie, dass die obige Form etwas wäre, mit dem Laplace sich vollkommen wohlfühlen würde, mit seiner Philosophie eines Uhrwerkuniversums, dessen Verhalten für alle Zeiten durch einen Zustand zu jeder Zeit definiert ist, bis wir „alle Zeiten“ durch „zwischen Messungen“ ersetzen. Denn wie sich die Quantenmechanik von der klassischen Systemtheorie unterscheidet, ist gerade der nichteinheitliche, messtechnische Teil. Was'

1. Die Messung wird durch "Observables" beschrieben, bei denen es sich um selbstadjungierte Operatoren handelt, die auf den Hilbert-Zustandsraum wirken, zusammen mit einem Rezept zur Interpretation ihrer Messungen.

2. Das Rezept lautet: Erstens direkt nach einer durch ein Observable beschriebenen Messung$\hat{O}$der Systemzustand befindet sich in einem Eigenzustand der Observablen$\hat{O}$;

3. Zweitens ist die Messung der Eigenwert, der dem Eigenzustand entspricht, in den die Messung den Systemzustand zwingt ("wie" der Zustand zufällig in diesen Eigenzustand gelangt, ist das Messproblem);

4. Drittens ist die Wahl des Eigenzustands in Punkt 2 zufällig . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Messung wird vollständig durch den Quantenzustand entweder als die Wahrscheinlichkeit des Auswahl-Eigenzustands der Messung definiert$\psi_{\hat{O},\,j}$quadratischer Betrag der Projektion des normierten Systemzustands auf diesen Eigenzustand oder, äquivalent, den$n^{th}$Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist$\mu_n=\langle \psi|\hat{O}^n|\psi\rangle$, woraus sich die charakteristische Funktion der Verteilung ergibt$\langle \psi|\exp(i\,k\,\hat{O})|\psi\rangle$($k$die Fourier-Transformationsvariable), woraus die Verteilung selbst resultiert.

Und das ist so ziemlich alles für den physikalischen Teil der Quantenmechanik, soweit es um reine Zustände geht. Man muss den Begriff der klassischen Mischungen reiner Quantenzustände durch das Gedankenexperiment von Wigner und den Dichtematrix-Formalismus untersuchen , aber diese sind ziemlich vollständig durch das Obige definiert.

Die Beschreibung, die ich gegeben habe, trägt manchmal den Namen "Quantum Measurement Approach". Das Messproblem ist ein Bereich aktiver Grundlagenforschung, und die Bedeutung von Zufall bleibt undefiniert, zumindest bis das Messproblem eine akzeptierte Lösung hat. Zufällig bedeutet vorerst einfach durch Vorherwissen unerkennbar. In der Tat untersuchen einige ernsthafte Philosophen die Natur des noch nicht vollständig verstandenen Begriffs der Zufälligkeit und des Zufalls, indem sie die Quantenphysik als Modell für ihre Begriffe verwenden. Anstatt mit der Erkenntnis zu beginnen, dass die klassische Statistik auf das komplexe Quantenparadigma ausgeweitet werden muss, arbeiten sie umgekehrt und sagen, dass die Quantenmechanik unsere reale, experimentelle Welt ist, das Zeug, das wir wissen und verstehen können, direkt durch Befragung der Natur durch Experimente und Arbeit an einer rigorosen Grundlage des Begriffs der Wahrscheinlichkeit als einer bestimmten, ungefähren Abstraktion der realen, "viszeralen" Quantenmechanik, die wir im Labor erfahren. Oft werden Studierende durch die fehlende Anwendbarkeit der klassischen Statistik und die Notwendigkeit erweiterter, komplexer quantenstatistischer Begriffe abgeschreckt. Aber QM ist eigentlich das einfache Zeug: das Zeug, dessen Fragen die Natur durch Experimente beantwortet. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist der schwierige Teil. Sehen Oft werden Studierende durch die fehlende Anwendbarkeit der klassischen Statistik und die Notwendigkeit erweiterter, komplexer quantenstatistischer Begriffe abgeschreckt. Aber QM ist eigentlich das einfache Zeug: das Zeug, dessen Fragen die Natur durch Experimente beantwortet. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist der schwierige Teil. Sehen Oft werden Studierende durch die fehlende Anwendbarkeit der klassischen Statistik und die Notwendigkeit erweiterter, komplexer quantenstatistischer Begriffe abgeschreckt. Aber QM ist eigentlich das einfache Zeug: das Zeug, dessen Fragen die Natur durch Experimente beantwortet. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist der schwierige Teil. Sehendiese Seite in der Stanford Encyclopedia of Philosphy "Chance Versus Randomness" .

Was ich als meine erste solide Einführung in QM bezeichnen würde, sind die ersten acht Kapitel des dritten Bandes der Feynman Lectures .

Also zusammenfassend:

1. Abgesehen vom Messproblem unterscheidet sich vieles in der Quantenmechanik nicht allzu sehr von Laplaces Weltbild, und die einheitliche Zustandsbeschreibung ähnelt der modernen linearen systemtheoretischen Konzeption eines beliebigen physikalischen Systems;

2. Die Systemtheorie ist der Einfachheit halber oft linear (als Annäherung an nichtlineares Verhalten), aber mehrere quantenmechanische Begriffe (z. B. kein Klonierungstheorem) hängen von der Behauptung ab, dass QM genau linear ist. Dies ist ein merkwürdiger Unterschied;

3. Die Systemtheorie befasst sich nicht oft mit unendlich dimensionalen Systemen. Die Quantentheorie lebt oft im komplexen, trennbaren Hilbert-Raum;

4. Die probabilistische Natur des Messproblems bedeutet, dass die Norm der Zustände Eins sein muss (so dass sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen experimentellen Ergebnisse zu Eins summieren), alternativ, dass Zustände Strahlen durch den Ursprung oder Punkte auf der Einheitskugel im Hilbert sind Raum, und nicht allgemeine Punkte wie in der linearen Systemtheorie. Globale Phasen, die auf Zustände angewendet werden, haben keine physikalische Bedeutung;

5. Die probabalistische Messung impliziert auch das Unsicherheitsprinzip, wenn Observablen nicht pendeln.

Wenn Sie sich Ihre Fragen ansehen, würde ich vorschlagen, dass Sie vergessen, dass die Welle-Teilchen-Dualität dieses grundlegende Prinzip der Quantenmechanik ist. Vielmehr würde ich sagen, dass es zwei (zumindest diese beiden sind die offensichtlichsten) wichtigen definierenden Merkmale von QM gibt, die im Hilbert-Raum-Formalismus deutlich gemacht werden:

1. Zustände werden durch Vektoren dargestellt, und während einige Zustände ungefähr einem klassischen Bild entsprechen (z. B. ein Zustand mit einer wohldefinierten z-Komponente des Spins), können Sie auch Überlagerungen von Zuständen annehmen, wie im "Paradoxon" von Schrödingers Katze. . Diese Überlagerungen haben kein klassisches Analogon: Es ist, als wäre Ihr System gleichzeitig in zwei Zuständen.

2. Sie können nur Wahrscheinlichkeiten berechnen. Wenn Sie beobachtbar sind$A$kann mehrere mögliche Werte annehmen${a_n}$und wir rufen an$|\phi_n\rangle$die entsprechenden Zustände mit einem wohldefinierten Wert von$A$, wenn sich Ihr System in einem bestimmten Zustand befindet$|\psi\rangle$die Messwahrscheinlichkeit$a_n$ist$|\langle \phi_n | \psi \rangle |^2$. Wenn zwei Observables nicht pendeln, kann es keinen Zustand geben, in dem beide einen bestimmten Wert haben.

Nimmt man diese beiden Prinzipien zusammen und die Vorstellung, dass ein sich im Raum bewegendes Teilchen eine durch Zustände gegebene Basis hat$|x\rangle$einer bestimmten Position, dann beobachten Sie Interferenzen, wenn Sie den quadratischen Modul nehmen. Dies ist der Ursprung der Welle-Teilchen-Dualität, aber es ist nur ein besonderer Fall dessen, was der Formalismus Ihnen erlaubt.

Haben Sie Beispiele für physikalische Systeme gesehen, die mit dem Hilbert-Raum-Formalismus ausgearbeitet wurden? Der harmonische Oszillator und das Wasserstoffatom sind die beiden klassischen Beispiele, und sie ermöglichen es Ihnen, die Idee der Wellenfunktion mit dieser abstrakten Art der Beschreibung von Dingen zu verbinden, aber auch einen Blick auf Dinge wie die Spinpräzession in einem Magnetfeld zu werfen. Der Wellenfunktionsansatz funktioniert nicht, denn wenn Sie sich nicht um die Bewegung des Partikels kümmern, gibt es keine Wellenfunktion . Es gibt nur komplexe Vektoren, und im endlichdimensionalen Fall ist die Verwendung von Kets im Wesentlichen dasselbe wie die Verwendung von n-Tupeln von Zahlen, nur die Notation ist anders.

Wenn Sie mich fragen würden, worum es bei QM geht, würde ich wahrscheinlich die beiden oben genannten Prinzipien erwähnen. Verschränkung und ähnliche Phänomene könnten auch eine Rolle spielen, aber ich denke, das trifft den Kern der Sache. Es sollte Ihnen auch helfen zu verstehen, warum dieser Formalismus in der klassischen Mechanik nicht verwendet wird: Superposition und Wahrscheinlichkeiten sind nicht der Weg, CM zu machen.

Wir wissen nicht, was Quantenmechanik ist, die Theorie ist instrumentell formuliert. Die Postulate der Quantenmechanik sagen Ihnen, wie Sie das Ergebnis von Experimenten berechnen können. Wenn Sie versuchen, darüber hinauszuschauen, berücksichtigen Sie, dass die verwendeten Versuchsapparaturen, die Beobachter usw. auch aus den Atomen und Molekülen bestehen, sind Sie gezwungen, die Postulate zu modifizieren. Aber dann gibt es in der Physik-Community keinen Konsens darüber, wie das geht. Die Hauptursache dafür ist die Tatsache, dass die Quantenmechanik so erfolgreich war, dass es keine experimentellen Ergebnisse gibt, die im Widerspruch dazu stehen, um uns in die richtige Richtung zu lenken.

Es könnte hilfreich sein, zwei mögliche Verständnisse der Frage „Worum geht es in der Quantenmechanik?“ zu unterscheiden:

1. Für welche Art von physikalischen Systemen, Prozessen usw. eignet sich die Quantenmechanik besonders gut zur Darstellung; wie sollen wir also die Quantenmechanik nutzen oder anwenden?
2. Was sagt die Theorie über die Natur der Welt; wie sollen wir also die Quantenmechanik verstehen oder interpretieren?

Die zweite dieser Fragen hat keine unumstrittene Antwort: Fragen darüber, wie die Quantenmechanik interpretiert werden sollte, sind seit Beginn der Theorie heftig umstritten. Die erste Frage hingegen ist leichter zu beantworten - außer insofern sie an die zweite grenzt! Um die Quantenmechanik in den Griff zu bekommen, ist es also hilfreich, sich vor Augen zu halten, dass die Quantenmechanik eine Theorie ist, deren Anwendung außerordentlich gut ausgearbeitet und erfolgreich ist, deren Interpretation jedochBleibt umstritten. Einige Leute würden sagen, dass dies bedeutet, dass Sie überhaupt nicht über Interpretationen nachdenken sollten und einfach lernen sollten, wie man den Griff dreht, um Ergebnisse und Anwendungen zu erhalten. Ich denke, ein besserer Ansatz besteht darin, sich über unterschiedliche Interpretationen, unterschiedliche Formalismen und unterschiedliche "Bilder" quantenmechanischer Phänomene zu informieren - aber seien Sie sich der grundlegenden Streitigkeiten bewusst, versuchen Sie, so offen wie möglich zu bleiben, und seien Sie immer sicher, dass Sie es wissen wie man von einem Bild zum anderen übersetzt.

Dies gilt insbesondere für den Zusammenhang zwischen Wellenfunktions- und Zustandsvektor-Formalismen. Ich würde Ihnen zustimmen, dass der Wellenfunktionsformalismus etwas intuitiver ist: Schrödinger war tatsächlich der Meinung, dass ein entscheidender Vorteil seiner Wellenmechanik ihre „Anschaulichkeit“ oder „Visualisierbarkeit“ war. Dennoch wird der State-Vector-Formalismus im Allgemeinen als der grundlegendere angesehen. Die Beziehung zwischen den beiden Formalismen ist Standardlehrbuchmaterial, aber nur um es schnell zu proben: Der Punkt ist, dass Wellenfunktionen als eine Möglichkeit zur Darstellung von Zustandsvektoren entstehen, wenn wir eine bestimmte Basis für den Hilbert-Raum wählen. Genauer gesagt (aber etwas schlampig in Bezug auf die technischen Details), let$|\delta(x)\rangle$sei der Zustandsvektor, der ein an dem Punkt lokalisiertes Teilchen darstellt$x$; es ist ein Eigenvektor (Eigenwert$x$) des Positionsoperators$\hat{X}$. In bestimmten Situationen ist das Set$\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$bildet eine Basis für den Hilbert-Raum (wobei$X$ist normal, dreidimensional, Ortsraum). Das bedeutet, dass bei einem beliebigen Zustandsvektor$|\psi\rangle$, können wir es als gewichtete Summe von Elementen der Positionsbasis ausdrücken$\{|\delta(x)\rangle\}_{x \in X}$:

Der Grund, den Zustandsvektor-Formalismus als grundlegender anzusehen, liegt darin, dass Wellenfunktionen immer als Möglichkeiten zur Darstellung von Zustandsvektoren angesehen werden können, aber nicht alle Zustandsvektoren als Wellenfunktionen dargestellt werden können (wobei ich „Wellenfunktion“ meine, um mich speziell auf Funktionen zu beziehen auf Positionsraum). Betrachtet man beispielsweise nur die Spin-Freiheitsgrade eines Systems, so hat man es mit Zustandsvektoren zu tun, deren Hilbert-Raum nicht die Menge der Orts-Eigenvektoren zugrunde liegt. Der Zustandsvektor-Formalismus ist also abstrakter und allgemeiner als der Wellenfunktions-Formalismus.

Das bringt uns natürlich zu Ihrer Sorge, dass der Zustandsvektor-Formalismus so abstrakt und allgemein ist, dass Sie sich nicht sicher sind, was daran eindeutig quantenmechanisch ist! Erstens haben Sie absolut Recht, dass "diese Sprache der "abstrakten Zustände eines Systems" meiner Meinung nach auch in der klassischen Mechanik verwendet werden könnte". Der Unterschied liegt jedoch in der Struktur der mathematischen Räume, die wir verwenden, um diese Zustände darzustellen. Das Besondere am quantenmechanischen Zustandsraum ist, dass er eine lineare Struktur aufweist: Es gibt einen physikalisch relevanten Begriff des "Zusammenfügens von Zuständen" (d.h. von einem Zustand zu sagen).$c$dass es die Summe der Zustände ist$a$und$b$ist ein physikalisch wichtiger Anspruch). Dies ist in der klassischen Mechanik nicht der Fall. Dies ist natürlich nur eine Art zu sagen, dass die Quantenmechanik - im Gegensatz zur klassischen Mechanik - Superposition als Phänomen aufweist. (Haftungsausschluss: Ich weiß nicht genug über den Koopman-von-Neumann-Formalismus, um genau sagen zu können, wie er in meine Bemerkungen hier passt).

Abschließend noch eine kurze Bemerkung dazu, ob sich die Quantenmechanik nur auf mikroskopische Phänomene bezieht oder nicht. Diese Art hat zwei Antworten, die den beiden Fragen entsprechen, die ich oben unterschieden habe:

1. Wenn ein System viele Freiheitsgrade hat, konvergieren die klassischen und quantenmechanischen Vorhersagen darüber, wie sich dieses System verhalten wird. Die Systeme, für die man Quantenmechanik verwenden muss , um genaue Vorhersagen zu erhalten, sind also solche mit wenigen Freiheitsgraden, was typischerweise mikroskopische Systeme bedeutet. (Dies ist etwas ungenau, reicht aber aus; wenn Sie an den Details interessiert sind, schlagen Sie unter Dekohärenztheorie nach.)
2. Ob die Quantenmechanik auf makroskopische Systeme anwendbar ist, hängt davon ab, welche Interpretation Sie bevorzugen. Bei "Kollaps"-Interpretationen wie der Kopenhagener oder GRW-Interpretation gilt die Quantenmechanik nur für mikroskopische Systeme; nach "no-collapse"-Interpretationen wie de Broglie-Bohm oder Everett gilt die Quantenmechanik für alle Systeme - aber aus Gründen der Dekohärenz bietet die klassische Mechanik eine hervorragende Annäherung, wenn es um makroskopische Systeme geht.

Die Grundidee, auf der die Quantenmechanik basiert, ist der Welle-Teilchen-Dualismus.

Die Grundidee ist, dass die klassische Dynamik von Konfigurationen versagt und modifiziert werden muss. Die Teilchenwellen-Dualität ist letztendlich zu vage, um eine grundlegende Erklärung zu sein.

Es scheint also, dass sich Teilchen auf diesen mikroskopischen Phänomenen wie Wellen verhalten. Diese Materiewellen haben eine direkte Interpretation in Form von Wahrscheinlichkeitsamplituden.

Das ist falsch. Erstens ist Analogieschluss nicht präzise genug, um Vorhersagen zu treffen. Und zweitens, selbst wenn Sie Amplituden vor das Wort Wahrscheinlichkeit setzen, können Sie denken, dass ein fester Abtastraum und einige darauf definierte Zufallsvariablen vorhanden sind und dass beispielsweise die Spin-Komponenten einem Punkt im Abtastraum zugeordnet werden können. Was grundsätzlich der Tatsache widerspricht, dass nicht pendelnde Operatoren den Zustand definitiv und objektiv ändern, anstatt irgendein bereits vorhandenes Eigentum preiszugeben.

Mit anderen Worten, diese Einführungskurse führten mich zu der Annahme, dass es in der Quantenmechanik darum geht, sich mit Materiewellen zu befassen, die von der Schrödinger-Gleichung bestimmt werden, um mikroskopische Phänomene zu untersuchen.

Das ist vielleicht richtiger als Sie denken. Beeilen Sie sich nur nicht zu denken, dass sie so sehr an die Wahrscheinlichkeit gebunden sind oder dass irgendetwas so sehr an die von uns verwendeten Wörter gebunden ist. Die Theorie ist genau das, was die Vorhersagen macht, und wie Sie die Vorhersagen machen, ist die Theorie, und die Worte können irreführend sein, wenn sie Sie dazu bringen, etwas anderes zu denken als das, was die Theorie vorhersagt.

Mit anderen Worten, wir haben die im Wellenfunktionsbild enthaltene Zustandsidee abstrahiert.

Alles, was Sie brauchen, ist die Dynamik. Sie können sogar das Heisenberg-Bild verwenden, bei dem sich Zustände nicht ändern, Operatoren jedoch. Oder ein Schrödinger-Bild, in dem die grundlegenden Operatoren für ein in sich geschlossenes System konstant sind, aber die Zustände sich ändern. Alles, was Sie brauchen, ist genug für die Dynamik. Und eine Wellenfunktion wählt im Grunde sowohl ein Bild (Schrödinger-Bild) als auch eine Basis (die Positionsbasis) aus.

Wie lässt sich die Kluft zwischen der abstrakten Sprache der in Hilbert-Räumen lebenden Zustandsvektoren und dem „intuitiveren“ Bild der Welle-Teilchen-Dualität und mikroskopischer Phänomene überbrücken?

Es gibt keine Lücke. Die abstrakte Version wählt einfach keine Basis aus. Sie können die Häufigkeit verschiedener Ergebnisse berechnen, indem Sie beispielsweise die Energiezustände des harmonischen Oszillators als Ihre Basiszustände verwenden, oder Sie können quadratisch integrierbare Wellenfunktionen verwenden. Letztlich redest du vom selben Hilbert Space. Es ist nicht anders, als die Vektorrechnung zu verwenden und später eine Basis für ein bestimmtes Problem auszuwählen, nachdem Sie wissen, was am bequemsten ist.

In Anbetracht dessen lautet meine Frage (die ich für ziemlich dumm halte): Was hat es mit der Quantenmechanik auf sich?

Wenn Sie die nicht-relativistische Quantenmechanik als etwas anderes als die klassische Physik sehen möchten, könnte es hilfreich sein, sich die dBB-Theorie anzusehen. In der De-Broglie-Bohm-Theorie haben Sie eine Wellenfunktion, die im Konfigurationsraum definiert ist. Und das Quadrat gibt eine direkte Wahrscheinlichkeitsdichte für die Position an (aber glauben Sie nicht, dass die reguläre Wahrscheinlichkeitstheorie auf Dinge zutrifft, die keine Position sind) und die Phase gibt eine Geschwindigkeit für jeden Punkt dort an. Ein Punkt im Konfigurationsraum und dann wird genau wie die klassische Hamilton-Jacobi-Theorie aufgestellt, um zu sagen, wie sich die Geschwindigkeit ändert. Allerdings mit einem zusätzlichen Potenzial. Sie können also sehen, dass sich eine gegebene Konfiguration in der klassischen Physik in eine Richtung entwickelt und dass diese nur von den klassischen Potentialen und der einen Konfiguration abhängt.

Aber in der Quantenmechanik gibt es ein zusätzliches Potential und dieses Potential ist je nach Zustand unterschiedlich. Beispielsweise erzeugt im Grundzustand des Wasserstoffatoms das zusätzliche Potential (als Quantenpotential bezeichnet) eine zusätzliche Kraft, die genau gleich und entgegengesetzt zur elektrostatischen Anziehung ist, und im Grundzustand ruht das Elektron relativ zum Proton. Also sitzt es einfach da. Jede einzelne Konfiguration des Elektron-Proton-Systems hat ein Quantenpotential (im Grundzustand), das die Kraft des elektrostatischen Potentials aufhebt.

Sie erhalten also unterschiedliche Dynamiken und der Zustand codiert, wie die Dynamik für eine Konfiguration von der klassischen Dynamik abweicht. Deshalb wollten wir die Quantenmechanik, und das tut die Quantenmechanik. Das ist die Quantenmechanik.

Aber es gibt noch mehr, eigentlich mehr. Der Punkt ist, dass wir die Konfiguration nicht kennen. Und hier kann dBB irreführend sein. Wir kennen die Konfiguration nicht und kennen sie auch nie. Es gibt eine Welle, in der vielen Konfigurationen Werte zugewiesen werden, und wenn ein Subsystem mit einem anderen Subsystem interagiert, lernt es zunächst nicht die Konfiguration des anderen Subsystems.

Wir koppeln die Zustände, nicht die Konfigurationen. Sie (they dynamics) können die Sammlungen von Konfigurationen in Gruppen verzweigen, die unabhängig voneinander agieren. Und ein Subsystem der Konfiguration kann eine Beschreibung einer ganzen Konstellation von Zweigen sein, aber Sie erhalten niemals die Konfiguration. Aber auch in der klassischen Physik haben wir nie wahre Konfigurationen gefunden. Kein klassisches Subsystem hatte jemals eine perfekte Darstellung des wahren exakten Zustands eines anderen Subsystems in sich, nicht indem man ihn durch eine Evolution der Beobachtung erlangte.

Die Dynamik, die wir letztendlich verfolgen, sind also nicht die Konfigurationen selbst, sondern die Beschreibungen von Sammlungen davon. Aber genau das sind Staaten.

Als die Relativitätstheorie entwickelt wurde, schuf Minkowski das mathematische Werkzeug der Raumzeit, um Transformationen mit geometrischen Methoden einfach zu beschreiben und zu lösen. Sogar Einstein betrachtete dies damals als mathematisches Werkzeug, erkannte aber später, dass die tatsächliche Geometrie der Raumzeit die Erklärung für die Schwerkraft war und die nicht-euklidische Geometrie der Raumzeit als Beschreibung unseres physikalischen Universums akzeptiert wird.

Als Analogie ist der Hilbert-Raum ein ähnliches mathematisches Werkzeug, um die Lösung quantenmechanischer Probleme zu erleichtern. Auch Energie ist ein abstrakter Begriff, aber viele Probleme könnten ohne den Einsatz von Energie nicht einfach gelöst werden. Ob nun eine Verbindung zwischen dem Hilbert-Raum und der physischen Welt besteht, ist eine andere Sache. Wer weiß, was die zugrunde liegende physische Realität ist?