Zustand eines Systems in der Quantenmechanik und Zustandsvektoren

Ich besuche einen Kurs in Quantenmechanik und es gibt etwas, das ich nicht ganz verstehen kann. In grundlegenderen Kursen über Quantenmechanik wurde mir gesagt, dass die Idee der Quantenmechanik darin besteht, dass alle verfügbaren Informationen über ein Teilchen in einer Funktion enthalten sind ψ : U ⊂ R 3 → C deren Entwicklung durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt wird.

Der Weg zum Verstehen ψ ist das | ψ | 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Anwesenheit des Teilchens in der Umgebung eines Punktes. In diesem Fall haben wir hermitische Operatoren, die lineare Operatoren auf dem Raum jener Funktionen sind, die interessierenden dynamischen Eigenschaften zugeordnet sind. Beispiele sind der Hamiltonoperator H ^ und der Impulsoperator P ^ .

In diesem Bild der Wellenfunktionen lässt sich sogar was „erschließen“. P ^ sollte von der Anforderung herrühren, dass es der Generator räumlicher Übersetzungen ist. Wie auch immer, trotz der üblichen Seltsamkeit, eine Welle mit einem Teilchen in Verbindung zu bringen, sind die Dinge hier ziemlich klar.

Auf der anderen Seite ist der Lehrer in dem Kurs, den ich jetzt besuche, nach Überprüfung dieser Ideen zu einem anderen Ansatz übergegangen. Er fing an, mit Kets zu handeln . Also anstatt mit zu arbeiten ψ er begann mit zu arbeiten | ψ ⟩ . Er sagte, ein Ket sei nicht die Funktion ψ , aber ein abstraktes Objekt, das mit verbunden ist ψ die er den Zustandsvektor nannte.

Als er den Kets-Raum einführte, also den Zustandsraum E , ich habe hier danach gefragt und zwei Dinge wurden gesagt. Erstens hat @ACuriousMind das gesagt

Die Idee, hier zu betonen, ist, dass die Quantenmechanik nicht notwendigerweise als "Wellenmechanik" weiter stattfindet L 2 ( R 3 ) .

Zweitens hat @AlfredCentauri das gesagt

In gewissem Sinne, ψ ( X ) ist zu | ψ ⟩ als v ich ist zu v .

Die Werte einer Wellenfunktion scheinen also nur Komponenten des Zustandsvektors in der sogenannten Positionsbasis zu sein.

Was ich jetzt noch nicht verstehe, ist diese Idee von abstrakten Zuständen und Zustandsvektoren. Was ist eigentlich ein Zustand und was ist ein Zustandsvektor in der Quantenmechanik ? In der Quantenmechanik geht es nicht nur darum, der Materie Wellenverhalten mit der Eigenschaft zuzuordnen, dass das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist? Was sind diese Zustandsvektoren in Wahrheit und wie hängt das alles mit den üblichen einführenden Behandlungen der Quantenmechanik zusammen?

Denken Sie daran, dass eine Wellenfunktion auf einem Konfigurationsraum definiert werden kann und oft definiert wird, der sechsdimensional, neundimensional, zwölfdimensional oder mehr ist. R 3 N für N Partikel.
Das habe ich mir vorgestellt, obwohl das Buch, das ich studiere, es nicht explizit macht. In diesem Fall sollte man den Konfigurationsraum berücksichtigen Q wie wir es in der klassischen Mechanik tun und dann ψ : Q → C wird so sein | ψ | 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass sich das System in der Nähe einer bestimmten Konfiguration befindet?
Im Allgemeinen ist es eine schlechte Idee zu sagen, dass das Quadrat die Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Sie möchten die richtige Dynamik erhalten, die schließlich das Erhalten der Häufigkeit von Ergebnissen aus wiederholten Interaktionen mit einem Ensemble von Subsystemen umfasst. Aber es gleich eine Wahrscheinlichkeit zu nennen, kann zu Problemen führen, wenn Sie anfangen, es zu sehr zu tun. Wenn Sie es zum Beispiel mit Position machen, müssen Sie aufhören, mit Position und Spin geht es nicht. Um die Korrelationen richtig zu machen, musste der Spin manchmal durch die Position und durch den Kontext bestimmt werden, wenn Sie die Position durch regelmäßige Wahrscheinlichkeiten zuweisen.
Und das liegt daran, dass Sie die Dynamik der Messungen korrekt erhalten müssen.

Antworten (2)

Ein Zustand ist etwas , das unser Wissen über das System kodiert.

Und das ist es.

Es gibt viele Möglichkeiten, einen Zustand in der Quantenmechanik zu codieren. Als Wellenfunktion ("Schrödinger-Darstellung"), als Fock-Impulssätze ("Fock-Darstellung"), als Dichtematrix , als Strahl im Hilbertraum, als Linearfunktion auf der C ∗ -Algebra der Observablen, als Punkt in einem projektiven Hilbertraum ,...

Nicht alle diese Wege sind immer zulässig. Die „als Strahl im Hilbert-Raum“, „Dichtematrix“ und „Funktional auf Algebra der Observablen“ sind meines Wissens immer möglich, während zB die Kodierung als Wellenfunktion für Quantensysteme versagt, deren Hilbert-Raum endlichdimensional ist (z. B. Qubits), da diese nicht über den üblichen Positionsoperator verfügen.

Die Darstellung als Dichtematrix verallgemeinert die statistische Quantenmechanik, die als einzelner Strahl in einem Hilbert-Raum oder als Wellenfunktion nicht. Aber wann immer zwei dieser Beschreibungen möglich sind, sind sie, zumindest auf der Ebene der Strenge der Physiker, gleichwertig.

Die Frage "Was ist eigentlich ein Zustand in der Quantenmechanik?" hat keine einzige Antwort. Oder eine andere Antwort als "es kommt darauf an, was Sie damit machen wollen".

Aber das sollte Sie nicht überraschen, schließlich ist es in der klassischen Mechanik dasselbe: Sie können Newtonsche oder Lagrange- oder Hamiltonsche Beschreibungen haben, und hier ist ein Zustand Ort und Geschwindigkeit, dort ist ein Zustand Ort und Impuls oder sogar einige verallgemeinerte Koordinaten die überhaupt keine direkte physikalische Bedeutung haben.

Es gibt keine Wahrheit für einen Zustand, sei es ein klassischer oder ein Quantenzustand, außer dass „er alle möglichen Informationen über das physikalische System auf bequeme Weise codiert“.

Danke für die Antwort. Und in diesem Fall ist ein Zustandsvektor (ein Ket) einfach ein Element eines geeigneten Hilbert-Raums, der in der Lage ist, die Informationen des Zustands zu codieren, unabhängig davon, welche Art der Codierung wir wählen? Anstatt also nur auf eine dieser Möglichkeiten zu achten, verwenden wir ein abstraktes Element?
@ user1620696: Ja, wenn Leute die Bra-Ket-Notation verwenden, neigen sie dazu, den Hilbert-Raum nicht genauer anzugeben als "Raum, der die Informationen codieren kann". (Es wird jedoch angenommen, dass es sich um einen endlichdimensionalen oder separierbaren Raum handelt. )
@ user1620696 Hilbert-Räume gelten als isomorph, wenn es eine umkehrbare lineare Eins-zu-Eins-Karte gibt, die das Hilbert-Produkt beibehält. In diesem Sinne spielt es keine Rolle, welche repräsentativen Objekte wir wählen, um den Zustandsraum zu beschreiben; da alle diese Entscheidungen über lineare Abbildungen verknüpft sind, die die Hilbert-Struktur bewahren, und die einzigen beobachtbaren Dinge in QM die Quadratmodule der Hilbert-Produkte verschiedener Zustände sind.
auch ein Strahl im Hilbert-Raum ist ein schlechtes Beispiel für den Repräsentanten, da der Zustandsraum immer ein projektiver Hilbert-Raum mit einem darauf definierten Strahlprodukt ist. Strahlen und Wellenfunktionen spielen hier also nicht die gleiche Rolle. Stattdessen sollten nicht Wellenfunktionen, sondern die Äquivalenzklassen von Wellenfunktionen in Bezug auf eine Gesamtnormalisierungskonstante als Strahlen betrachtet werden (und daher Zustände darstellen). Ich weiß, dass Sie das verstehen, nur für @ user1620696 betonen, weil Ihre Antwort es meiner Meinung nach nicht klar genug macht.

„Was ist X wirklich?“ ist eine knifflige Frage in der Physik, besonders wenn es um eine so fundamentale und abstrakte Theorie wie die Quantenmechanik geht. Ich kann also eine mathematische Definition geben:

Lassen H sei ein komplexer Hilbert-Raum, also ein vollständiger Vektorraum C mit einem positiv-definiten inneren Produkt ausgestattet ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ . Wenn Sie das nicht verstanden haben, ärgern Sie sich nicht zu sehr. Der "Vektorraum mit innerem Produkt" ist wirklich der wichtige Teil. Die Elemente von H , die normalerweise als Vektoren bezeichnet werden, werden in der QM auch als Kets bezeichnet , und ein Ket wird geschrieben | ψ ⟩ . Der ψ ist alles, was Sie schreiben müssen, um den Vektor zu identifizieren; im allgemeinen Fall, | ψ ⟩ ist ein beliebiger Vektor.

Wie Sie wissen, entspricht dies für den Fall eines einzelnen Teilchens, das sich im n-dimensionalen Raum bewegt, dem üblichen Wellenfunktionsformalismus: Die Funktion ist, wie Sie sagen, die "Komponenten" des Zustandsvektors | ψ ⟩ in der Positionsbasis. In diesem Fall ist der Hilbert-Raum-Formalismus also nur eine abstraktere Art, dasselbe zu sagen. Es ist nützlich, weil Sie damit vom Zustand sprechen können, ohne die Basis anzugeben. Wir können zum Beispiel eine Wellenfunktion nehmen ψ ( X ) in der Positionsdarstellung (d. h. der Positionsbasis) und Fourier-Transformation, um die Impuls-Raumwellenfunktion zu erhalten. Diese Funktionen entsprechen demselben Ket, das in verschiedenen Basen ausgedrückt wird.

Aber nicht jedes System ist ein Teilchen, das sich im Raum bewegt. In deinen Worten; Bei QM geht es nicht nur darum, Materie Wellenverhalten zuzuordnen. Beispielsweise könnte uns der Spin des Teilchens interessieren. Nun ist der Hilbert-Raum endlichdimensional; für ein Spin-1/2-Teilchen haben wir H ≅ C 2 (Einführung siehe Feynman Lectures, Bd. 3). Nun sind Zustände zweikomponentige Vektoren; wir können uns die Basisvektoren vorstellen ( 1 , 0 ) Und ( 0 , 1 ) als Spin-up bzw. Spin-down. Aber dafür müssen wir eine Achse wählen; Wenn wir das nicht wollen, müssen wir die abstrakten Vektoren verwenden, genau wie wir es in tun R N .

Dies ist nur ein Beispiel. Der Punkt ist, dass Sie mit dem Hilbert-Raum / Ket-Bild in vollständiger Abstraktion arbeiten können. Sie müssen Ihr spezielles System nicht angeben. Sie können die gleiche Notation und die gleichen Theoreme verwenden, egal ob Sie ein Partikel haben, das sich in 3 Dimensionen bewegt, oder M Partikel einziehen N Dimensionen, die jeweils einen beliebigen Spin haben, wobei auch ihre Kopplung mit dem quantenelektromagnetischen Feld berücksichtigt wird, ... Sie erhalten das iea.

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