Probleme beim Ableiten rechteckiger Beschleunigungskomponenten eines Satelliten im Orbit um die Erde mit J2-Betrachtung

Ich versuche, die rechteckigen Beschleunigungskomponenten für einen Satelliten im Orbit unter Berücksichtigung der Erdabplattung abzuleiten, um die RK4-Methode zu verwenden, um die aktualisierte Position und Geschwindigkeit des Satelliten zu finden. Mir ist bewusst, dass es bereits Gleichungen gibt , aber ich möchte wissen, wie sie abgeleitet wurden. Meine Lösungen sehen jedoch nicht genau wie diese Gleichungen aus - was noch wichtiger ist, die Potenz von r in diesen Gleichungssätzen und in den Wikipedia-Kraftgleichungen ist nicht gleich. Diese Gleichungen haben 1 R 7 , während meine haben 1 R 6

Ich werde zeigen, wie ich die Gleichungen herleite, bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich einen Fehler gemacht habe!

Ich verwende die folgende Gleichung, die ich dem NASA Flight Test Cases-Dokument und Fonte 1993 (Implementation of 50x50 Gravity Field Model) entnommen habe:

U = − μ R [ 1 + ∑ N = 2 ∞ ∑ M = 0 N ( R e R ) N P N , M ( S ich N ϕ ) ( C N , M C Ö S ( M λ ) + S N , M S ich N ( M λ ) ) ]

Ich wusste das für zonale Harmonische M = 0 , so sieht die Gleichung aus

U = − μ R [ 1 + ∑ N = 2 ∞ ( R e R ) N P N , 0 ( S ich N ϕ ) ( C N , 0 C Ö S ( 0 ) ) ]

Ich werde dann auflösen N = 2 wissend, dass C N , 0 = J 2

Es gibt einen Abschnitt unter Gleichung 10 unter den Abweichungen des Gravitationsfeldes der Erde von dem einer homogenen Kugel auf der Geopotential-Wiki-Seite, in dem es heißt

u = J 2 P 2 0 ( S ich N θ ) R 3 = J 2 1 R 3 1 2 ( 3 S ich N 2 θ − 1 ) = J 2 1 R 5 1 2 ( 3 z 2 − R 2 )

Also habe ich das abgeleitet

P 2 , 0 = 1 R 2 1 2 ( 3 z 2 − R 2 )

So sieht die Gleichung aus

U = − μ R [ 1 + ( R e R ) 2 ( J 2 ) ( 1 R 2 1 2 ( 3 z 2 − R 2 ) ) ]

Ich habe dann alles ausmultipliziert und die Gleichung in diese Form gebracht

U = − μ [ 1 R + 3 2 J 2 R E 2 z 2 1 R 5 − 1 2 J 2 R E 2 1 R 3 ]

Wissend, dass F X = − ∂ U ∂ X , und verwenden ∂ ∂ X R − 5 = ∂ ∂ X ( X 2 + j 2 + z 2 ) − 5 = − 10 X R 6 usw. und dann neu anordnen, habe ich Folgendes für die x- (und y-) Komponente erhalten:

F X = − ∂ U ∂ X = − μ X R 2 [ 2 + 3 J 2 R E 2 R 2 ( 5 z 2 R 2 − 1 ) ]

Das kommt einem irgendwie bekannt vor , ist es aber nicht genau. Ich habe es jetzt dreimal versucht, diese Mathematik zu machen, und bekomme die gleiche Antwort.

Nebenbemerkung: Ich habe OP dieses Threads gefragt, und er sagte, dass er diese Gleichungen aus Abschnitt 7A dieses Wettbewerbs erhalten habe

Kann mir jemand sagen was ich falsch mache?

Es sieht so aus, als wären Sie fast da! Schauen Sie sich den Abschnitt darüber an J 2 in dieser Antwort , die von hier kommt . Wenn es das ist, was Sie brauchen, können Sie gerne Ihre eigene Frage beantworten und ein paar Reputationspunkte sammeln. Eine andere Möglichkeit wäre, Ihre Frage als Duplikat dieser Frage zu benennen. Duplizieren bedeutet hier, dass Ihre Frage dort beantwortet wird , nicht, dass die Fragen identisch sind. Willkommen im Weltraum!
@uhoh Danke für deine Antwort. Ehrlich gesagt haben mich die J2-Ausdrücke in dieser Antwort etwas verwirrter. Woher kommen zum Beispiel die Terme x^2 und y^2 und wo ist das rE für diese Gleichung? R hat in diesen Gleichungen die Größenordnung von -7, während es in meinen Gleichungen nur die Größenordnung von -6 hat (Maximum). Der 3/2-Term von space.stackexchange.com/questions/24724/… scheint dem 1,5 in diesen Gleichungen zu entsprechen, wird aber mit anderen Termen multipliziert?
Okay, ich schaue gleich mal genauer hin, ich trinke gerade meinen Morgenkaffee und brauche eine Minute, bis er greift. Die verknüpften Gleichungen funktionieren (sie reproduzieren die Apsidenpräzession, haben die richtigen Einheiten usw.), es sei denn, es liegt ein Tippfehler vor . R E ist ein Standard-Erdradius, der zusammen mit dem Produkt verwendet wird G M (auch geschrieben als μ ), um die dimensionslose Form von zu erzeugen J 2 .
@uhoh Morgenkaffee mit zwei Zuckern und einer Seite aus sphärischen Obertönen. Ja, ich bin mir ziemlich sicher, dass ich etwas falsch mache oder etwas vergesse. Ich bin gerade neu auf diesem Gebiet und möchte diese Gleichung korrekt ableiten können, damit ich später weiß, wie man die Terme höherer Ordnung ausführt, oder damit ich andere Gleichungen in ihre xyz-Komponenten zerlegen kann, um sie zu integrieren. Nun, da Sie die dimensionslose Form von J2 erwähnen, könnte das J2 in den Gleichungen, die Sie mir verlinkt haben, Dimensionen haben? Warum sehen diese Gleichungen anders aus?
okay, ich habe eine Antwort gepostet. Es ist so weit, wie ich gehen werde, aber ich denke, Sie können es von dort nehmen! Ich kann noch nicht garantieren, dass nicht irgendwo ein Minuszeichenfehler ist, ich werde versuchen, es später am Tag noch einmal zu überprüfen.

Antworten (1)

Beginnen Sie mit dem Ausdruck des OP für das Gravitationspotential

U = − μ [ 1 R + 3 2 J 2 R E 2 z 2 1 R 5 − 1 2 J 2 R E 2 1 R 3 ]

kann umgeschrieben werden als

U = − μ [ 1 R + 1 2 J 2 R E 2 ( 3 z 2 R 5 − 1 R 3 ) ]

Wo U ist das reduzierte Potential (das Potential eines Massenkörpers M ist dann M U ) und verwenden

A = ∇ U = ∂ U ∂ X X ^ + ∂ U ∂ j j ^ ∂ U ∂ z z ^ = A X X ^ + A j j ^ + A z z ^

Beschleunigung zu bekommen. Ich mache die x-Komponente mit ein wenig Hilfe von Wolfram alpha :

∂ ∂ X 1 R = − X R 3 ,

∂ ∂ X z 2 R 5 = − 5 X z 2 R 7 ,

∂ ∂ X 1 R 3 = − 3 X R 5 .

Setzen Sie diese wieder ein ∂ U / ∂ X und du bekommst:

− μ [ − X R 3 + X 2 J 2 R E 2 ( − 3 5 z 2 R 7 + 3 R 5 ) ]

− μ [ − X R 3 + X 2 J 2 R E 2 ( − 3 5 z 2 R 7 + 3 R 2 R 7 ) ]

− μ [ − X R 3 + X 2 J 2 R E 2 ( − 3 5 z 2 R 7 + 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) R 7 ) ]

An dieser Stelle überlasse ich es dem Leser als Übung, Begriffe zu kombinieren und zu erreichen

A X = − G M X | R | 3 + G M R E 2 J 2 X | R | 7 ( 6 z 2 − 1.5 ( X 2 + j 2 ) )

verwenden R 2 = X 2 + j 2 + z 2 , die Mathematik und Links in dieser Antwort sowie die Beziehung zwischen den dimensionalen und dimensionslosen (normalisierten, einheitenlosen) Formen von J 2 beschrieben in Für die mathematische Beziehung zwischen J2 (km^5/s^2) und dimensionslosem J2 - welches ist vom anderen abgeleitet? bemerken, dass μ ist (zumindest in diesem Fall) nur ein anderer Name für das Produkt G M .

Danke für Ihre Antwort. Ich habe Probleme damit, wie Sie die partiellen Ableitungen gemacht haben. Der Teil von r in Bezug auf x soll -2x/r^2 sein , und dies . Ich dachte, wenn Sie eine Ableitung nehmen, subtrahieren Sie nur eins von der Potenz und nicht zwei. Gibt es einen Grund, warum Sie zwei abgezogen haben?
@arah Hier ist, wie man darüber nachdenkt. Die Einheiten von 1 / R Sind l e N G T H − 1 und so die Ableitung in Bezug auf l e N G T H besser Einheiten von haben l e N G T H − 2 . Wie ich in der Antwort erwähnt habe, habe ich Wolfram Alpha verwendet, um bei der Ableitung zu helfen, aber Sie können es leicht tun, wenn Sie sich daran erinnern R = X 2 + j 2 + z 2 und mach es so. Schreiben ∂ X 2 + j 2 + z 2 / ∂ X = ∂ ( X 2 + j 2 + z 2 ) 1 / 2 / ∂ X und gehen Sie von dort aus mit der Kettenregel .
@arah Der Ausdruck in deinem ersten Link ist ∂ ∂ X 1 R 2 , nicht ∂ ∂ X 1 R , seit R Ist X 2 + j 2 + z 2 , nicht X 2 + j 2 + z 2 . Ähnlich, ∂ ∂ X R − 5 Ist ∂ ∂ X ( X 2 + j 2 + z 2 ) − 5 / 2 = − 5 X R 7 , nicht ∂ ∂ X ( X 2 + j 2 + z 2 ) − 5 = − 10 X R 6 .
Hallo ja, mir ist aufgefallen, dass ich vergessen habe, die Quadratwurzel hinzuzufügen! Danke schön.
@arah danke für die Bearbeitung!
Probleme beim Ableiten rechteckiger Beschleunigungskomponenten eines Satelliten im Orbit um die Erde mit J2-Betrachtung
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