Reibungsverlust in einer vertikalen Rohrströmung

Question

Reibungsverlust in einer vertikalen Rohrströmung

Ghartal

Ich habe dieses Problem zum besseren Verständnis von Druck und Druckverlust in vertikaler Strömung gemacht.

Betrachten Sie das folgende stationäre System, bei dem eine Flüssigkeit in einen Tank eintritt und durch ein langes vertikales Rohr austritt $L$ und Durchmesser $D=2R$ . Die Höhe der Flüssigkeit im Tank ist konstant und gleich $H$ . Dichte und Viskosität der Flüssigkeit sind $\rho$ Und $\mu$ , bzw. Wenn die Strömung laminar ist, finden Sie $Q$ .

Wenn ich nun die Bernoulli-Gleichung für die freie Oberfläche des Tanks und den Austrittspunkt des Rohrs schreibe, dann bekomme ich

\frac{P_{A T M}}{γ} + \frac{v_{0}^{2}}{2 G} + z_{0} = \frac{P_{A T M}}{γ} + \frac{v^{2}}{2 G} + z + H_{l},

$\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z+h_l,$ Wo

h_{L}

$h_L$ ist die Reibungsverlusthöhe des austretenden Rohrs und

v = Q / (π R^{2})

$v=Q/(\pi R^2)$ Und

γ = ρ g

$\gamma= \rho g$ . Wir wissen das

v_{0} \approx 0

$v_0 \approx 0$ , daher

H + L = \frac{v^{2}}{2 G} + H_{L}

$H+L=\frac{v^2}{2g}+h_L$ Jetzt müssen wir eine andere Beziehung zwischen finden

v

$v$ Und

h_{L}

$h_L$ . Können wir die Darcy-Weisbach-Gleichung verwenden? Ich denke, wir können aufgrund der vertikalen Strömung nicht! Ich bin daran interessiert, eine Impulsbilanz zu schreiben und die Beziehung zwischen Reibungsverlust und Geschwindigkeit abzuleiten (wie die Hagen-Poiseuille-Gleichung), aber ich weiß nicht, wie man Druckterme behandelt! Gibt es eine Druckverteilung entlang des austretenden Rohres?

Edit1: Impulsbilanz für die laminare Strömung im Rohr ergibt die Geschwindigkeit als

v_{z} (R) = \frac{R^{2}}{4 μ} (- \frac{D P}{D z} + ρ G) (1 - \frac{R^{2}}{R^{2}})

$v_z(r)=\frac{R^2}{4 \mu}\left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) \left(1-\frac{r^2}{R^2} \right)$ Und die Integration über den Rohrquerschnitt für die Durchflussmenge ergibt

Q = π R^{2} v = \int_{0}^{R} 2 π R v_{z} (R) D R = \frac{π R^{4}}{8 μ} (- \frac{D P}{D z} + ρ G)

$Q=\pi r^2 v=\int_{0}^{R} 2 \pi r v_z(r) \ dr=\frac{\pi R^4}{8 \mu} \left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right)$ Und schlussendlich

- \frac{D P}{D z} + ρ G = \frac{32 μ v}{D^{2}}

$-\frac{dp}{dz}+ \rho g=\frac{32 \mu v}{D^2}$ Welche der folgenden Aussagen ist nun richtig und warum?

1) $h_L=L(-dp/dz)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}-L$

2) $h_L=L(-dp/dz+ \rho g)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}$

Ich habe kein Gefühl für $p$ Hier! Können Sie ein physisches Druckgefühl im austretenden Rohr vermitteln?

Bearbeiten2: Die Antworten und Diskussionen in dieser Frage können die folgenden ähnlichen Fragen lösen:

Q1 , Q2 , Q3 .

user73762

Ihr Problem würde gelöst, indem Sie den Druckverlust durch Reibung (den Sie als "Reibungsverlustkopf" ausdrücken) explizit berechnen

h_{l}

$h_l$ ). Das hängt davon ab, ob Ihre Strömung schnell genug ist, um turbulent zu sein, oder laminar bleibt (und damit von ihrer Reynolds-Zahl im Rohr). Der laminare (langsame oder viskose) Fluss ist so einfach, dass Sie unter Druck eine Lösung durch Integration unter Verwendung der Viskosität der Flüssigkeit erhalten können. Das Ergebnis ist eine Kraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Für turbulente Strömungen gibt es nur phänomenologische Näherungen; die Kraft wird quadratisch in der Geschwindigkeit.

Ghartal

@pyramiden Ich möchte Formeln für die laminare Strömung ableiten, wenn dies möglich ist.

Chet Miller

In Ihrer Differentialgleichung messen Sie z nach unten . Bei z = L ist der Druck also atmosphärisch. Wenn Sie Ihre Differentialgleichung unter dieser Randbedingung integrieren, erhalten Sie

P (z) = P_{A T M} - ρ G (L - z) + \frac{32 μ v}{D^{2}} (L - z)

$p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ Das Gewicht der Flüssigkeit bewirkt, dass der Druck mit z zunimmt, und der viskose Widerstand bewirkt, dass der Druck mit z abnimmt.

Ghartal

Oh, das macht Sinn :) Ich schätze wirklich die Zeit, die Sie sich genommen haben, um meine Frage zu beantworten.

Chet Miller

Wenn in Q1 und Q2 bei einer reibungsfreien Flüssigkeit der Druck an beiden Enden atmosphärisch ist, kann die Flüssigkeit den Kontakt mit den Wänden des Rohrs nicht aufrechterhalten. Der Flüssigkeitsquerschnitt wird kleiner, wenn sich die Flüssigkeit nach unten bewegt, und ihre Geschwindigkeit wird größer. Andernfalls, wenn es in der Lage ist, den Kontakt aufrechtzuerhalten, ist die hydrostatische Gleichung im vertikalen Rohr erfüllt und der Druck am Einlass ist geringer als der atmosphärische Druck.

Gert

@ChesterMiller: hast du diese Frage gesehen? physical.stackexchange.com/questions/371138/… . Ich meine mich zu erinnern, dass Sie etwas Ähnliches gelöst haben, unter Berücksichtigung von Beschleunigungen. Beste Vorschriften.

Antworten (3)

Reibungsverlust in einer vertikalen Rohrströmung

Ihr Problem würde gelöst, indem Sie den Druckverlust durch Reibung (den Sie als "Reibungsverlustkopf" ausdrücken) explizit berechnen $h_l$ ). Das hängt davon ab, ob Ihre Strömung schnell genug ist, um turbulent zu sein, oder laminar bleibt (und damit von ihrer Reynolds-Zahl im Rohr). Der laminare (langsame oder viskose) Fluss ist so einfach, dass Sie unter Druck eine Lösung durch Integration unter Verwendung der Viskosität der Flüssigkeit erhalten können. Das Ergebnis ist eine Kraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Für turbulente Strömungen gibt es nur phänomenologische Näherungen; die Kraft wird quadratisch in der Geschwindigkeit.
@pyramiden Ich möchte Formeln für die laminare Strömung ableiten, wenn dies möglich ist.
In Ihrer Differentialgleichung messen Sie z nach unten . Bei z = L ist der Druck also atmosphärisch. Wenn Sie Ihre Differentialgleichung unter dieser Randbedingung integrieren, erhalten Sie $P (z) = P_{A T M} - ρ G (L - z) + \frac{32 μ v}{D^{2}} (L - z)$ $p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ Das Gewicht der Flüssigkeit bewirkt, dass der Druck mit z zunimmt, und der viskose Widerstand bewirkt, dass der Druck mit z abnimmt.
Oh, das macht Sinn :) Ich schätze wirklich die Zeit, die Sie sich genommen haben, um meine Frage zu beantworten.
Wenn in Q1 und Q2 bei einer reibungsfreien Flüssigkeit der Druck an beiden Enden atmosphärisch ist, kann die Flüssigkeit den Kontakt mit den Wänden des Rohrs nicht aufrechterhalten. Der Flüssigkeitsquerschnitt wird kleiner, wenn sich die Flüssigkeit nach unten bewegt, und ihre Geschwindigkeit wird größer. Andernfalls, wenn es in der Lage ist, den Kontakt aufrechtzuerhalten, ist die hydrostatische Gleichung im vertikalen Rohr erfüllt und der Druck am Einlass ist geringer als der atmosphärische Druck.
@ChesterMiller: hast du diese Frage gesehen? physical.stackexchange.com/questions/371138/… . Ich meine mich zu erinnern, dass Sie etwas Ähnliches gelöst haben, unter Berücksichtigung von Beschleunigungen. Beste Vorschriften.

Chet Miller · Answer 1

Sie können die Darcy-Weisbach-Gleichung verwenden, müssen sie jedoch für vertikale Strömungen ein wenig modifizieren. Bei vertikaler Strömung ergibt eine Differenzkraftbilanz auf die Strömung:

(P (z + Δ z) - P (z)) \frac{π D^{2}}{4} + ρ G \frac{π D^{2}}{4} Δ z = τ_{w} Δ z π D

$(P(z+\Delta z)-P(z))\frac{\pi D^2}{4}+\rho g \frac{\pi D^2}{4}\Delta z=\tau_w\Delta z \pi D$ wobei z die Höhe über dem Boden des Rohres ist und

τ_{w}

$\tau_w$ ist die Schubspannung an der Wand. So,

\frac{D (P + ρ G z)}{D z} = \frac{4}{D} τ_{w}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{4}{D}\tau_w$ Für laminare Strömung,

τ_{w} = \frac{F}{4} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\tau_w=\frac{f}{4}\frac{\rho v^2}{2}$ wobei f der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ist. Wenn Sie also die beiden Gleichungen kombinieren, erhalten Sie:

\frac{D (P + ρ G z)}{D z} = \frac{F}{D} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Für ein horizontales Rohr hätten Sie nur:

\frac{D P}{D z} = \frac{F}{D} \frac{ρ v^{2}}{2}

$\frac{dP}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Für vertikale Strömung ersetzen Sie also einfach das P in der horizontalen Strömungsgleichung durch

P + ρ g z

$P+\rho gz$ .

Danke Herr. Bitte werfen Sie einen Blick auf meine neue Bearbeitung der Frage.

user73762 · Answer 2

Dies ist keine vollständige Antwort, sondern nur ein Überblick darüber, wie man eine Formel für das Geschwindigkeitsprofil und damit den Druckverlust über den Querschnitt eines Rohrs herleiten kann. Ich werde das Rohr als unendlich lang und horizontal modellieren, um das Problem zu vereinfachen – das Ergebnis sollte immer noch anwendbar sein, muss aber im Falle eines vertikalen Rohrs mit einem angemessenen Wasserdruck aufgrund der Schwerkraft verwendet werden.

Die viskose Kraft wird durch die Viskosität einer Flüssigkeit parametrisiert $\eta$ . Ausgedrückt als Druck senkrecht zu einem Geschwindigkeitsgradienten in der $x$ -Richtung, es ist $\frac{\partial p}{\partial y} = \eta \frac{\partial v}{\partial x}$ Wo $v$ ist die lokale Geschwindigkeit (im Wesentlichen $\dot{y}$ ). Dieser Ausdruck muss in Zylinderkoordinaten umgewandelt werden (für das zylindrische Rohr). Zusammen mit den üblichen Beziehungen (und vielleicht einer Stetigkeitsbedingung) sollte dies die Ableitung eines Strömungsprofils ermöglichen $v(r)$ , die parabolisch ist; die Lösung gibt es zB bei Hyperphysics .

Ein Strömungsprofil haben $v(r)$ ermöglicht die Berechnung der viskosen Kräfte und den Gesamtdruckabfall (pro Rohrlängeneinheit) durch Integration über den Rohrquerschnitt. Das wäre die (Teil-)Antwort, die ich skizzieren wollte.

Eigentlich ist mein Hauptproblem der Unterschied zwischen horizontalen und vertikalen Strömungen. Bei horizontaler Rohrströmung haben Sie einen angelegten Druck (z. B. durch eine Pumpe) und eine Druckverteilung entlang des Rohrs. Aber wie hoch wird in meinem Fall der Druck sein? Können wir den Druck an einem beliebigen Punkt entlang des austretenden Rohrs berechnen?
Aufgrund von Kontinuität und Symmetrie ist Ihr Strömungsprofil an jeder vertikalen Stelle gleich. Daher ist der Druckverlust pro Längeneinheit überall gleich, außer dass Sie in Ihrem Fall eines vertikalen Rohrs den Effekt der Schwerkraft hinzufügen müssen (den Sie meiner Meinung nach bereits separat berücksichtigt haben). Es macht also wirklich keinen Unterschied, dass Ihr Rohr vertikal ist, es sei denn, es ist so lang, dass der Druck irgendwo auf Null abfällt und Hohlräume entstehen, die die Kontinuität verletzen.

Tief · Answer 3

Wasser fließt in dem Rohr angetrieben durch einen konstanten Druckgradienten gleich $\rho g$ . Sie können also die DW-Gleichung anwenden, vorausgesetzt, die Strömung ist laminar.

Antwort auf die Bearbeitung der Frage:

Schriftlich $-\frac{dp}{dz}+\rho g$ Sie haben den Beitrag aufgrund der Schwerkraft zum auf die Flüssigkeit wirkenden Druckgradienten herausgerechnet. Deshalb $-\frac{dp}{dz}$ ist ein Druckgradient, der auf andere Weise als durch die Schwerkraft aufgebracht wird (z. B. durch Verwendung einer Pumpe), der in Ihrem Fall Null ist.

Das bedeutet, dass $v=\gamma D^2 /32 \mu$ , was die Geschwindigkeit unabhängig von macht $L$ .
Sie haben also einen voll entwickelten Fluss angenommen $v$ hängt nur vom radialen Abstand und nicht vom axialen Abstand ab.
Dann wirkt sich der Reibungsverlust im Rohr nicht auf die Austrittsgeschwindigkeit aus. Auch das gibt es $h_l=L$ und reduziert die Bernoulli-Gleichung auf $v^2=2gH$ , aber ich dachte, dass dieses Problem sich von Torricellis Gesetz unterscheiden muss.

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