Teilchen in unendlichem Potentialtopf, dessen Größe sich bei t0t0t_0 verdoppelt

Question

Teilchen in unendlichem Potentialtopf, dessen Größe sich bei t0t0t_0 verdoppelt

Benutzer20486

Ich lerne gerade für eine Prüfung in Quantenmechanik und bin auf eine Lösung für ein Problem gestoßen, mit dem ich Probleme habe, es zu verstehen.

Das Problem:

Ein Teilchen sitzt in einem unendlichen Potentialtopf, der durch beschrieben wird

\begin{aligned} v (X) & = 0, & 0 \leq X \leq L \\ v (X) & = \infty, & ansonsten \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Wir wissen, dass die Energien durch gegeben sind $E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$ Und $\Psi(x) = A_n \sin(n \pi x /L)$ .

Zum Zeitpunkt $t_0$ Der Potentialtopf wird plötzlich doppelt so groß, so dass das Potential jetzt ist

\begin{aligned} v (X) & = 0, & 0 \leq X \leq 2 L \\ v (X) & = \infty, & ansonsten \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq 2L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Die Energien sind also nun gegeben durch $\tilde{E}_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 \cdot 4 m L^2}$ Und $\tilde{\Psi}(x) = \tilde{A}_n \sin(n \pi x /2L)$ .

Wenn sich das Teilchen lange vor der Änderung im Grundzustand des Potentials befindet, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen nach der Änderung im Grundzustand des neuen Potentials zu finden?

Das ist mir absolut klar. Als Ergebnis finden wir eine nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit. Aber jetzt wird es knifflig:

Wie groß ist der Erwartungswert der Energie des Teilchens direkt nach der Änderung? Wie entwickelt sich der Erwartungswert der Energie über die Zeit?

Die Lösung legt nahe, dass sich der Erwartungswert der Energie nicht mit der Zeit entwickelt, was mir klar ist, da der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und somit die Energie erhalten bleibt. Aber es deutet auch darauf hin, dass sich der Erwartungswert nicht ändert, nachdem wir die Breite der Potentialwand verdoppelt haben, was ich aus dem Argument der Energieerhaltung verstehe, aber nicht aus quantenmechanischer Sicht. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zustand befindet $\tilde{\Psi}$ nicht verschwindet, könnte das Teilchen die Energie haben $\tilde{E}_n$ was niedriger ist als $E_n$ und dies würde bedeuten, dass sich der Erwartungswert der Energie (mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit) ändern könnte.

Was übersehe ich hier, wo ist mein Fehler? Jede Hilfe ist willkommen!

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Lubos Motl · Answer 1

Der Erwartungswert der Energie bleibt nach der Verdoppelung der Größe gleich, aber das bedeutet nicht, dass das Spektrum gleich ist. Für eine normalisierte $\psi$ , der Erwartungswert der Energie ist einfach

\int_{- L}^{+ L} D X ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + v (X)) ψ

$\int_{-L}^{+L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ weil das Integral auf das Intervall reduziert werden kann, da die Wellenfunktion außerhalb des Intervalls verschwindet. Jetzt, sofort, wenn Sie die Größe des Brunnens verdoppeln, der Wert von

ψ (x)

$\psi(x)$ bleibt gleich, verschwindet also immer noch außerhalb des Intervalls

(- L, L)

$(-L,L)$ und lässt auch den Integranden verschwinden (obwohl die zweite Ableitung sich weigern könnte zu verschwinden). Deshalb kann das obige Integral noch umgeschrieben werden als

\int_{- 2 L}^{+ 2 L} D X ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + v (X)) ψ

$\int_{-2L}^{+2L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ ohne Änderung. Es ist der Erwartungswert des neuen Hamiltonian. Beachten Sie, dass

V (x) = 0

$V(x)=0$ wo auch immer

ψ (x) \neq 0

$\psi(x)\neq 0$ daher kann der potentielle Term weggelassen werden.

Sie haben Recht, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass sich das Teilchen in der größeren Vertiefung auf einem niedrigeren Energiewert als dem anfänglichen Energieeigenwert befindet. Es besteht jedoch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass auch die Energie erhöht wird – das Wellenpaket wird unnötigerweise in einen kleinen Teil des Brunnens gequetscht, was mehr kinetische Energie als die minimal mögliche hinzufügt. Diese positiven und negativen Änderungen heben sich im Erwartungswert der Energie auf: Die obige Berechnung zeigte, dass er konstant blieb.

Der Erwartungswert der Energie bleibt auch konstant, wenn sich das Teilchen nach dem Larger-Well-Hamiltonoperator entwickelt.

Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Energieeigenwert sind für alle konstant $t<0$ und dann für $t>0$ aber es gibt eine Diskontinuität bei $t=0$ . Allerdings, wie die obige einfache Rechnung zeigt, liegt im Erwartungswert die Energie selbst, die Änderung des Spektrums etc. an $t=0$ bricht ab, wenn es um den Erwartungswert der Energie geht.

Vielen Dank für Ihre ausführliche Antwort und Erklärung, das macht es klar!
Welchen Wert hat der Hamiltonoperator nach der Änderung? Ich verstehe, dass die Werte in $E_{n}$ ändern $\tilde E_{n}$ , aber sollte das nicht den Wert des Hamilton-Operators ändern? (unter Verwendung $\langle H \rangle = \Sigma |c_{n}|^{2}E_{n}$ )
Hallo @user44816, es ist der erste Punkt dieser Berechnung (und der erste Satz in meiner Antwort), dass der Erwartungswert (nicht nur der Wert !!!) des Hamilton-Operators nach der Änderung konstant bleibt, da sich die beiden Hamilton-Operatoren nur durch die potenzielle Energie bei unterscheiden Stellen, an denen das Partikel zu 100% garantiert nicht vorhanden war. Eine allgemeine Änderung des Hamiltonoperators ändert seinen Erwartungswert in einem allgemeinen Zustand um einen allgemeinen Betrag – aber in diesem speziellen Problem zeigt mein Argument deutlich, dass der Betrag null ist.

Wladimir Kalitwjanski · Answer 2

Bei plötzlicher Störung ändert sich der Zustand nicht, wohl aber die Basis. Dieser Zustand wird in der neuen Basis erweitert, deren Koeffizienten sich entsprechend entwickeln. Normalerweise wird es in Kapiteln mit der zeitabhängigen Störungstheorie behandelt $\hat{V} = \hat{V}(t)$ .

Wenn das Potential zeitabhängig ist, ist die Energie im allgemeinen Fall nicht erhalten. In Ihrem Fall wird die Energie von bestimmten unsicher.

Sie haben sicherlich einen gewissen Geist der richtigen Antwort, aber Sie können diese Veränderung nicht als "Störung" bezeichnen, weil sie in keiner Weise klein ist. Die Änderung (Verdopplung) sollte durch keine Störungstheorie beschrieben werden. - Für allgemeine zeitabhängige Potentiale ist die Energie nicht erhalten, aber der Punkt hier ist, dass es nicht der allgemeine Fall ist. Weil $V=0$ wo auch immer $\psi\neq 0$ , der Erwartungswert der Energie bleibt tatsächlich erhalten, aber Sie haben nicht wirklich erklärt, warum dies so ist - obwohl er, wie Sie zugeben, für allgemeine Änderungen des Hamilton-Operators nicht erhalten bleibt.
@LubošMotl: Ich habe nie einen Erwartungswert erwähnt, sondern den Eigenwert, um die Wahrheit zu sagen. Der Anfangszustand ist ein Eigenzustand des alten Hamiltonoperators und hört auf, ein solcher des neuen Hamiltonoperators zu sein. Du verwechselst leider einen Erwartungswert und einen Eigenwert.

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