Ist die Federkraft wirklich eine konservative Kraft?

Betrachten wir dieses Bild.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

⇒ Das erste Bild zeigt die Anfangsposition des Blocks, wenn die Feder ihre natürliche Länge hat und auf einem glatten horizontalen Tisch gehalten wird .

⇒ Die zweite Figur entspricht der Situation, in der der Block aus seiner natürlichen Länge (durch die erste gestrichelte Linie angedeutet) auf dem glatten horizontalen Tisch gerade gezogen wird.

⇒ Die dritte Figur entspricht der Situation, in der die Feder zuerst gezogen und dann um einen Scharniernagel gedreht und dann in die gleiche Endposition gebracht wird wie in der zweiten Figur (durch die zweite gestrichelte Linie angedeutet).

Der Block wird nur auf dem horizontalen Tisch bewegt und in keiner der Figuren vertikal gezogen.

In Bild (b) und (c) sind also die Anfangs- und Endpositionen des Blocks gleich, aber ich glaube nicht, dass die Federpotentialenergie in beiden Fällen gleich ist.

Sicherlich hat sich die Feder im dritten Fall mehr verlängert, sodass sie mehr potentielle Energie speichert, aber wir wissen auch, dass die potentielle Energie gleich dem Negativ der von konservativen Kräften geleisteten Arbeit ist. Bedeutet dies nicht, dass die von der Feder geleistete Arbeit davon abhängt der Weg, auf dem der Block wandert?

Kann jemand erklären, was hier passiert? Wo liege ich falsch?

Wenn Sie die Feder in die "Klappposition" bewegen, wenden Sie Kräfte auf die Feder an, die arbeiten und ihre potenzielle Energie erhöhen. Dieser Prozess ist reversibel.

Antworten (5)

Die Position des Blocks ist in beiden Fällen gleich, aber die Position des Blocks definiert nicht vollständig die potentielle Energie in der Feder. Die Länge, um die die Feder gedehnt wird, definiert die potenzielle Energie (zusammen mit dem Koeffizienten der Feder).

Wenn Sie den Aufbau des Systems nicht ändern, können Sie sagen, dass die Position des Blocks die Länge der Feder bestimmt, da Sie die Länge der Feder bei jeder beliebigen Blockposition finden können. In (c) ändern Sie jedoch das System, indem Sie es um einen Nagel ziehen. Anstatt eine gerade Linie zwischen der Wand und dem Block zu sein, folgt die Feder jetzt den beiden diagonalen Linien. Die Summe der Länge dieser beiden Diagonalen ist länger als die Länge der geraden Linie, sodass in der Feder mehr potenzielle Energie gespeichert ist.

Sie können den gleichen Effekt auch sehen, wenn Sie mit Fall (b) beginnen und dann die Feder mit einer Stange nach oben strecken, bis sie genauso ist wie in (c). Intuitiv müssen Sie Arbeit in diese Quelle stecken, also muss das System Energie gewinnen.

aber sollte die Arbeit einer konservativen Kraft nicht unabhängig vom Weg sein?
was meinst du mit nach oben strecken?
@Ankit Entschuldigung, ich glaube, ich habe eine schlechte Richtungswahl verwendet. Ich meinte nach oben wie in "zum oberen Rand des Bildes", aber jetzt, wo Sie es erwähnen, ist dies ein Bild, das von oben nach unten gesehen wird, richtig?
genau es ist eine draufsicht
@Ankit Die Arbeit einer konservativen Kraft ist unabhängig von "Pfad", aber es gibt dort eine Nuance, die wir manchmal zunächst vermissen. Wir müssen hier über das Gesamtsystem sprechen. Der Zustand des Systems beinhaltet also nicht nur die Position des Blocks, sondern auch die Länge der Feder (die unterschiedlich sein kann, je nachdem, wie oft Sie sie um Nägel und dergleichen wickeln).
Wenn Sie mit einem Stapel Bücher in den Händen hocken, ist es intuitiv mehr Arbeit, einen Satz Bücher vom Boden auf Brusthöhe zu heben, als die Bücher fallen zu lassen und dann aufzustehen. Betrachtet man nur die Position des eigenen Körpers, geht es in beiden Fällen von „hockend“ bis „stehend“, sodass man argumentieren könnte, dass die geleistete Arbeit aufgrund der Wegunabhängigkeit gleich sein sollte. Aber das beinhaltete nur den Zustand eines Teils des Systems: Ihres Körpers. Wenn Sie den Zustand des gesamten Systems, der Bücher und sich selbst einbeziehen, stellen Sie fest, dass es nicht derselbe Zustand ist ...
Im ersten Fall, wo Sie die Bücher aufheben, landet Ihr Körper „stehend“ und die Bücher landen auf Brusthöhe. Im zweiten Fall, wo Sie die Bücher auf dem Boden liegen lassen, bleibt Ihr Körper "stehend" und die Bücher landen auf Bodenhöhe. Wir würden diese zwei verschiedenen Zustände nennen, also müssen sie nicht die gleiche Energie haben. Was wir jedoch sagen können, ist, dass es bei einem bestimmten Endzustand (z. B. Stehen mit Büchern auf Brusthöhe) keine Rolle spielt, ob Sie schnell oder langsam aufgestanden sind. Die geleistete Arbeit wird die gleiche sein. Das meinen sie mit Pfadunabhängigkeit.

Man muss bedenken, dass die Energie in der Feder „gespeichert“ wird. Der Block hat nicht die potentielle Energie. Die Energie des dritten Systems ist nicht nur von der Position des Blocks (oder genauer gesagt des rechten Endes der Feder) abhängig. Sie mussten arbeiten, um die Mitte der Feder zum Scharnier zu bewegen. Auch diese Energie müssen Sie berücksichtigen.

Wir wissen also, dass die potentielle Energie gleich der negativen so Arbeit ist, die von der konservativen Kraft geleistet wird. Bedeutet dies also, dass die Feder im dritten Fall mehr Arbeit geleistet hat? Wenn ja, bedeutet das nicht, dass die Arbeit einer konservativen Kraft vom eingeschlagenen Weg abhängt?
@Ankit Die Arbeit ist immer noch unabhängig vom Pfad. Sie könnten den Block herumwackeln, den Scharnierpunkt nehmen und ihn herumbewegen usw. Aber wenn Sie am Ende in dem Zustand in der Abbildung landen, ist die von der Feder geleistete Arbeit dieselbe, als ob Sie all das Wackeln durchgeführt hätten oder ob Sie es getan hätten hat das System gerade direkt in diesen Zustand versetzt. Nur weil Sie unterschiedliche Zustände des Systems mit unterschiedlichen Energiemengen haben, bedeutet das nicht, dass die Arbeit pfadabhängig ist.
Wenn ich Sie also richtig verstanden habe, ist der Zustand der Abbildung (b) nicht derselbe wie in Abbildung (c). Rechts ? Wenn es derselbe Zustand wäre, wäre die Arbeit dieselbe gewesen ??
@Ankit Richtig. Das System wird nicht nur durch die Position des Blocks bestimmt. Sie müssen arbeiten, um die Mitte der Feder zum Scharnier zu bewegen. Aber egal, wie Sie die Mitte der Feder zum Scharnier bringen oder wie Sie den Block in die Endposition bringen, die von der Feder geleistete Arbeit wird immer gleich sein.

Ich denke, Sie sind verwirrt darüber, was "pfadunabhängig" bedeutet. Für konservative Kräfte ist die Arbeit, die zwischen zwei Zuständen des Systems geleistet wird, wegunabhängig. Wir können auch eine potentielle Energie definieren, die eine Funktion des Zustands des Systems ist. In Ihrem Fall ist das elastische PE eine Funktion des Zustands der Feder. Dies ist das System mit elastischem PE. Es ist offensichtlich, dass Ihre (b) und (c) zwei unterschiedliche Zustände der Feder darstellen, sodass die von (a) nach (b) geleistete Arbeit keinen Grund hat, der von (a) nach (c) geleisteten Arbeit gleich zu sein. . Die Pfadunabhängigkeit bezieht sich nur auf ein Zustandspaar. Nicht, dass Sie die gleiche Arbeit machen, wenn Sie von einem Anfangszustand zu einem anderen Zustand gehen.

Danke für deine Antwort . Übrigens können Sie mir bitte sagen, wie wir Zustände definieren? Wie unterscheiden wir einen Zustand von anderen?
Dies hängt vom betrachteten System ab. Bei einer idealen Feder hängt die Energie von der Verformung der Feder (Dehnung oder Stauchung) ab. Aber ich verstehe Ihre Bedenken, die Definition des Staates hängt davon ab, wonach Sie suchen. Ein allgemeiner Ansatz wäre der von Dale erwähnte, bei dem Sie einige verallgemeinerte Koordinaten verwenden.
Ich gebe Ihnen meine Zustimmung zu Ihrer Antwort.

Das Problem, auf das Sie stoßen, ist, dass das System im dritten Fall komplizierter ist als im ersten und zweiten Fall. Im ersten und zweiten Fall reicht die Position des Blocks aus, um die in der Feder gespeicherte Energiemenge zu bestimmen, also wären das zwei verallgemeinerte Koordinaten.

Im dritten Fall sind allgemeinere Koordinaten erforderlich, um den Zustand des Systems zu spezifizieren. Ich würde zwei zusätzliche Koordinaten verwenden, um die Position des Stifts in der Ebene zu identifizieren, und dann eine weitere, um zu identifizieren, welcher Teil der Feder festgesteckt ist. Es ist jedoch durchaus möglich, andere Koordinaten zu verwenden, wenn Sie möchten.

In diesem größeren Parameterraum wird deutlich, dass die von der Feder verrichtete Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg ist. Es gibt eine potentielle Energie, die nur von diesen verallgemeinerten Koordinaten abhängt und nicht von der Geschwindigkeit oder der Geschichte. Die Kraft ist konservativ.

Es ist konservativ, es hängt vom Weg ab, obwohl die Abhängigkeit von der Kraft mit X ist anders, nur weil die Konfiguration anders ist. im Fall (3) ist die Horizontalkraft F = − k X H 2 + X 2 / H , wenn H die Höhe des Scharniers ist und die Saite immer gerade ist (wir nehmen auch an, dass sich die Masse nicht mitbewegt j , ebenfalls angenommen war rest length=0).

Ist die Federkraft wirklich eine konservative Kraft?
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