Chirale Anomalie und Zerfall des Pions

1) Der axiale Vektorstrom$j^{\mu 5}$ist ein Pseudovektor

$$j^{\mu 5}~:=~\overline{\psi}\gamma^{\mu}\gamma^5\psi~=~j^{\mu}_R-j^{\mu}_L,\qquad j^{\mu}_{R,L}~:=~ \overline{\psi}_{R,L}\gamma^{\mu}\psi_{R,L},$$ $$\psi_{R,L}~:=~P_{R,L}\psi,\qquad P_{R,L} ~:=~\frac{1\pm\gamma^5}{2} .$$

Das$4$-Abweichungen$d_{\mu}j^{\mu 5}$ist ein Pseudoskalar . Dass der axiale Strom$j^{\mu 5}$konserviert ist klassisch bedeutet, dass die$4$-Abweichungen$d_{\mu}j^{\mu 5}=0$klassisch verschwindet, und wenn man die Axialladung definiert

$$N^5(t)~:=~N_R(t)-N_L(t),\qquad N_{R,L}(t)~:=~\int {\rm d}^3{x}~j^0_{R,L}(t,\vec{x}),$$

dann$N^5(t)$wird klassisch über die Zeit konserviert.

2) Aus der Dirac-Gleichung folgt, dass ein Spin$1/2$Teilchen und sein Antiteilchen müssen entgegengesetzte intrinsische Parität haben . Konventionell für Quarks$P(q)=1=-P(\bar{q})$. Damit ist die Parität eines Mesons

$$P({\rm meson})~=~P(q)P(\bar{q})(-1)^{L}~=~(-1)^{L+1}.$$

Insbesondere ein Pion$\pi^0$mit$J=L=S=0$ist ein Pseudoskalar mit Parität $P(\pi^0)=-1$.

3) Ein Pion ist ein gebundener Zustand eines Quarks und eines Antiquarks, der nur schwer direkt mit der Lagrange-Dichte des Standardmodells und letztendlich mit den beiden Photonen in Beziehung gesetzt werden kann$\gamma+\gamma$. In der Praxis studiert man stattdessen, wie die$\pi^0$und die zwei$\gamma's$mit dem axialen Vektorstrom koppeln$j^{\mu 5}$.

1. Zitieren von Peskin und Schroeder unten auf Seite 669: Wir können das Matrixelement von parametrisieren$j^{\mu5a}$zwischen dem Vakuum und einem On-Shell-Pion durch Schreiben

   $$\langle 0 | j^{\mu5a}(x) | \pi^b(p) \rangle~=~ -i p^{\mu} f_{\pi} \delta^{ab} e^{-ip\cdot x}, \qquad (19.88)$$ wo$a,b$sind Isospin-Indizes und$f_{\pi}$ist eine Konstante [...]. Als Konsistenzprüfung von Gl. (19.88), beachten Sie, dass lhs = Pseudovektor$\times$Pseudoskalar=Vektor=rechte Seite.

2. Andererseits wird zB in Kapitel 76 von Srednecki, QFT , über eine LSZ-Formel und eine Ward-Identität argumentiert, dass die$4$-Abweichungen

   $$d_{\mu} \langle p,q | j^{\mu5}(x) | 0 \rangle \qquad \qquad \qquad (76.20)$$ verschwindet klassisch, wo$\langle p,q |$ist ein Zustand mit zwei ausgehenden Photonen mit$4$-Momente$p$und$q$.

Also kurz gesagt der Pion-Zerfall$\pi^0\to \gamma+\gamma$ist klassisch verboten, weil ein Photon mit zwei Zuständen nicht klassisch an den axialen Strom koppelt$j^{\mu5}$.

Das neutrale Pion würde (in Ihrem diskutierten Fall) nur dann nicht zerfallen, wenn die das neutrale Pion bildenden Quarks masselos wären. Die professionelle Antwort auf Ihre Frage finden Sie hier: http://www.scholarpedia.org/article/Axial_anomaly . Es besagt eindeutig (zwischen Gl. 14 - 15 und Gl. 24 - 25), dass für die axiale Stromerhaltung auf klassischem Niveau eine Nullmasse des Fermi-Dirac-Feldes erforderlich ist. Wenn das der Fall ist, erlauben Quanteneffekte immer noch, dass der pseudoskalare gebundene Zustand (Partikel) aufgrund der Quantenanomalie in zwei Photonen zerfällt.

Quarks sind jedoch nicht masselos, und ein neutrales Pion kann sogar auf klassischem Niveau in zwei Gammas zerfallen, genauso wie ein Parapositronium (e+e-) Quantenzustand annihiliert = in zwei Gammas zerfällt. Niemand spricht von Anomalien im Para-Positronium-Fall, da die Masse des Elektrons eindeutig 0,5 MeV beträgt. In diesem Sinne scheint die Rolle der axialen Anomalie beim Zerfall des neutralen Pions überschätzt zu werden. R.Jackiw sagt in seiner Erklärung ( http://www.scholarpedia.org/article/Axial_anomaly ) (die Masse des physikalischen Pions kann genau als "ungefähr" verschwindend beschrieben werden ). Die Masse des neutralen Pi0 beträgt 135 MeV, was 135-mal massiver ist als das Positronium. Wenn man feststellt, dass 135 MeV ungefähr verschwinden, kann der Pi0-Zerfall meiner Meinung nach mit der Quantenanomalie zusammenhängen.