Welche Rolle spielen Wellenpakete in LSZ-Formeln?

Question

Welche Rolle spielen Wellenpakete in LSZ-Formeln?

Physik
s-Matrix-Theorie
Störungstheorie
Quantenfeldtheorie

Siam

Bei der Ableitung von LSZ-Formeln nehmen wir die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren asymptotischer Teilchen an als:

A_{g, ein/aus} (P) \equiv \int D^{3} k G (k) A_{ein/aus} (k), Wo G (k) = \exp (- \frac{(P - k)^{2}}{2 σ^{2}}) .

$a_\text{g,in/out}\ \ (\mathbf{p})\equiv \int d^3k \ g(\mathbf{k}) a_\text{in/out}(\mathbf{k}), \ \text{where}\ \ g(\mathbf{k}) =\exp\left(-\frac{(\mathbf{p} - \mathbf{k})^2}{2\sigma^{2}}\right).$

Dies liegt daran, solche normalisierten Anfangs-/Endzustände zu erhalten, die eine schwache Konvergenz von asymptotischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren definieren können, und die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Teilchen in Anfangs-/Endzuständen zu ignorieren. Jedoch nach Berechnung der LSZ, $g(\mathbf k)$ Der Begriff wird ignoriert, indem die Grenze von genommen wird $\sigma \rightarrow 0$ & Integration über $\mathbf{k}$ .

Hier sind einige Fragen.

Warum können wir ignorieren $g(\mathbf{k})$ im LSZ? Ich denke, dass diese Grenze die räumliche Lokalisierung von Partikeln im Anfangs- und Endzustand aufgibt und Partikel sogar im Anfangszustand interagieren lässt.
Selbst wenn eine solche Grenze physikalisch korrekt ist, was ist der Unterschied zwischen der Annahme des lokalisierten Operators $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ oder nicht. Mit anderen Worten, warum sollten wir die einführen $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ obwohl wir Wellenpakete sowieso zum Einsturz bringen, indem wir die Grenze nehmen $\sigma \rightarrow 0$ am Ende der Ableitung?
Was ist der Unterschied zwischen der einfachen Annahme ebener Wellen als asymptotischem Zustand und dem Erhalt ebener Wellen durch Kollabieren von Wellenpaketen? Wenn wir ans Limit gehen $\sigma \rightarrow 0$ , ich denke, Wellenpakete entsprechen der Delta-Funktion, daher scheint es bedeutungslos zu sein, sie zu definieren $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ und seine räumliche Lokalität.

Ich habe diesen Beitrag und diesen Beitrag bereits gelesen , aber nie klar verstanden.

Verweise

M. Srednicki, QFT ; Kapitel 5.
Peskin & Schroeder, QFT ; Abschnitte 7.1-7.2
Wikipedia, LSZ-Reduktionsformel

Antworten (1)

Welche Rolle spielen Wellenpakete in LSZ-Formeln?

Benutzer1379857 · Answer 1

Hierin liegt der Haken an der ganzen Wellenpaket-Rigmarole.

Man könnte das als Frequenzunschärfe bezeichnen $\sigma \to 0$ , wird das Wellenpaket im Raum weniger lokalisiert und wird schließlich zu einer echten ebenen Welle. Warum also nicht einfach damit anfangen $\sigma = 0$ am Anfang? Warum das Limit nehmen?

Die Sache ist, dass es nicht unbedingt wahr ist, dass Wellenpakete stärker lokalisiert werden als $\sigma \to 0$ !

Stellen Sie sich ein Wellenpaket mit mittlerem Impuls vor $\vec{k}_0 = \vec{0}$ die an irgendeiner Position beginnt $\vec{q}$ bei $t=0$ . Stellen Sie sich vor, was wann passiert $\sigma$ die Frequenzunsicherheit wird größer, was bedeutet, dass die anfängliche Positionsraumunsicherheit kleiner wird. Dies ist oben abgebildet. Hier ist der graue Bereich der Bereich, in dem der Absolutwert des Wellenpakets innerhalb einer Standardabweichung vom Durchschnitt liegt. Wenn die anfängliche Positionsraumunsicherheit kleiner wird, wird die Impulsraumunsicherheit größer! Dadurch breitet sich die Hüllkurve schneller aus , da der Bereich möglicher Impulse größer ist.

Aus diesem Grund hat das links abgebildete Wellenpaket eine größere anfängliche räumliche Unsicherheit, aber nach einiger Zeit hat das rechte Bild eine größere Ortsraumunsicherheit. (Die dunkelgrauen Linien sind die Wortleitungen, die das Teilchen zurücklegen würde, wenn es einen Impuls von hätte $k = \pm \sigma$ .)

Die Leute sagen oft, dass die Heisenberg-Unschärferelation besagt, dass mehr Ortsunsicherheit weniger Impulsunsicherheit impliziert. Dies ist jedoch nur eine Untergrenze. Das linke Bild hat zu späten Zeiten sowohl eine geringere Impulsunsicherheit als auch eine geringere Ortsunsicherheit!

Lassen Sie mich nun das Konzept der „Interaktionszone“ vorstellen. Die Art und Weise, wie Sie über Streuung nachdenken sollten, ist, dass die Teilchen aus der Unendlichkeit kommen, in einem großen Raumbereich, der als "Wechselwirkungszone" bezeichnet wird, interagieren und dann einige Teilchen verlassen.

Die Interaktionszone ist der graue Bereich im Bild oben. Also, wie wir nehmen $\sigma \to 0$ , werden unsere "Strahlen" von Teilchen (die Wellen, die in die Wechselwirkungszone eintreten und diese verlassen) tatsächlich immer schärfer und schärfer und beginnen aus der Ferne immer mehr wie gerade Linien auszusehen. Allerdings wird die Interaktionszone selbst immer größer! Wenn Sie über integrieren $\int d^4 x$ in der LSZ-Reduktionsformel integrieren Sie gewissermaßen wirklich über diese Wechselwirkungszone, die räumlich größer wird als $\sigma \to 0$ . Aufgrund der von Ihnen gewählten Reihenfolge der Grenzwerte gibt es jedoch in gewisser Weise eine größere Zone jenseits der Wechselwirkungszone, die möglicherweise als "Streuzone" bezeichnet wird und in der Ihre Partikel in dünnen Strahlen ein- und ausschießen.

Dies ist der Grund für die sorgfältige Konstruktion asymptotischer Zustände in der LSZ-Reduktionsformel unter Verwendung von Wellenpaketen.

Vielen Dank für die wunderbare Antwort. Aber ich weiß nicht, ob ich Ihre Antwort vollständig verstehe, lassen Sie mich mein Verständnis überprüfen. (1)Auch wenn das Limit erreicht wird $\sigma \rightarrow 0$ , existiert ein Wellenpaketzustand außerhalb der „Streuzone“. (2) Aber solche Wellenpakete werden in der Streuzone sehr schärfer, während wir sie nehmen $\sigma$ größer, (3) und solche schärferen Strahlen kommen in die Wechselwirkungszone. Ist das richtig? Nämlich nehmen $\sigma \rightarrow 0$ bedeutet, die Streuzone zu verbreitern, wo Strahlen als sehr dünn angesehen werden.
Zwei Dinge passieren, wenn $\sigma \to 0$ : (1) Die Wechselwirkungszone wird größer, und (2) die Wellenpakete in der Streuzone werden immer weiter getrennt, da ihre "Winkelausbreitung" auf einer großen 2-Kugel immer kleiner wird, und ihre Überlappung in der ferne Vergangenheit/Zukunft wird 0.
Vielleicht habe ich ein besseres Verständnis bekommen. Entschuldigen Sie die Störung, aber lassen Sie mich meine Idee noch einmal überprüfen. Wenn $\sigma \rightarrow 0$ , (1)at $t=\pm \infty$ , Wellenpakete sind im Impulsraum scharf lokalisiert (vv breit gestreut im Ortsraum). (2) Im Laufe der Zeit kollabieren solche scharfen Wellenpakete jedoch allmählich und ihre Impulsunsicherheit wird größer. (Bislang sind dies Ereignisse in der „Streuzone“). (3) Schließlich kommen sie in die „Wechselwirkungszone“. ihre Position/Impuls-Unsicherheit sind beide klein. Stimmt diese Vorstellung mit Ihrer überein? Ich würde mich freuen, wenn Sie antworten könnten, wenn Sie Zeit haben.
Das ist nicht ganz die Idee. Denken Sie an die nicht-relativistische Quantenmechanik mit dem freien Hamiltonian $\hat H = \hat p^2 / 2m$ . Schreibt man die Wellenfunktion in die Impulsbasis, $\tilde{\psi}(p)$ , dann unter Zeitentwicklung die Hüllkurve $|\tilde{\psi}(p)|^2$ wird zeitlich konstant bleiben. Also die "Spreizung" im Impulsraum, $\sigma$ , bleibt tatsächlich in der Zeit konstant. Wenn Sie sich jedoch die Positionsraumhülle des Staates ansehen, $|\psi(x)|^2$ , würden Sie ein Gaußsches Wellenpaket finden, das sich im Laufe der Zeit "ausbreitet" (letztlich, weil es eine Reihe möglicher Impulse gibt).
In der Streuzone also die Unsicherheit des Impulsraums $\sigma$ der Wellenpakete ist konstant. Nun stimmt es, dass die Ortsraumunsicherheit wächst, je weiter sich die Wellenpakete von der Wechselwirkungszone entfernen. Sie sind aber dennoch sehr gut voneinander lokalisierbar, sehen beim Herauszoomen aus wie "Balken" oder "Gerade" und haben somit keine Überlappung in der Streuzone.
Hier ist ein Video von $|\psi(x)|$ Und $|\tilde{\psi}(p)|$ Entwicklung in nichtrelativistischem QM. youtube.com/watch?v=F2Tt80NhmyQ&t=41s Leider zeigt es nicht die realen und imaginären Teile von $\tilde{\psi}(p)$ , aber es erwirbt nur a $p$ abhängige Phase $e^{-ip^2 / 2m t}$ . Beachten Sie, dass die Impulsunsicherheit zeitlich konstant ist, die Positionsunsicherheit jedoch mit der Zeit zunimmt.
Oh, ich missverstehe und vergesse einige Konzepte. Jetzt verstehe ich vielleicht, was du sagst. ich behandelte $\sigma=0$ , und es führt uns zu einer kompletten ebenen Welle, die wir nicht gerade sehen können, selbst wenn wir herauszoomen, weil sie sich über die gesamte Region ausbreiten. Aber $\sigma$ ist infinisimal, also können wir sie als dünne Strahlen behandeln, indem wir herauszoomen, und eine sehr große Wechselwirkungszone, die aus der Tatsache folgt $\sigma$ ist infinisimal , ermöglicht uns ein solches Herauszoomen. Ich habe das Gefühl, endlich verstanden zu haben. Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe!

Welche Rolle spielen Wellenpakete in LSZ-Formeln?

Siam

Antworten (1)

Benutzer1379857

Siam

Benutzer1379857

Siam

Benutzer1379857

Benutzer1379857

Benutzer1379857

Siam

Quantenfeldtheorie im Ortsraum statt Impulsraum?

Feynman-Diagrammdarstellung der Variationsableitung der S-Matrix

In welchem Sinne sind Schleifendiagramme Quantenkorrekturen?

Welchen Sinn hat die Einführung des Erzeugungsfunktionals in die Summanden der Erweiterung der S-Matrix?

Wie kann man die Reihenfolge eines Feynman-Diagramms bestimmen?

S-Matrix in Weinberg QFT

Mehrdeutigkeit in asymptotischen Störungsreihen und Instantonen

Was sind die asymptotischen Impuls-Eigenzustände? Gekleidete Quanten oder Quanten der freien Theorie?

Warum muss die Wirkung hermitesch sein?

Nackte Masse zu physikalischer Masse im Grenzfall verschwindender Wechselwirkung als t→±∞t→±∞t\rightarrow \pm\infty