Hinzufügen eines Gesamtzeitableitungsterms zum Lagrange-Operator

Question

Hinzufügen eines Gesamtzeitableitungsterms zum Lagrange-Operator

cyksmy

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Dies ist der Beweis dafür $L'$ repräsentiert dieselbe Bewegungsgleichung mit $L$ durch Lagrange-Gl. Ich verstehe $L'$ erfüllt die Lagrange-Gleichung, aber was bedeutet dieser Beweis $L'$ Und $L$ dieselbe Teilchenbewegung beschreiben? Mit anderen Worten, warum wird der Gesamtzeitableitungsterm hinzugefügt $L$ macht keinen Unterschied in der Bewegungsgleichung?

QMechaniker

Der geometrische/intuitive Grund, warum dies so ist, wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag (im allgemeineren Rahmen der Feldtheorie) erläutert .

Benutzer3728501

Ihre algebraischen Schritte sind stellenweise verwirrend. Außerdem haben Sie nicht angegeben, dass Sie davon ausgehen, dass F keine explizite Funktion der Zeitableitung der Koordinaten ist - was für den Schritt nach "Dies ist als wahr erwiesen, weil" erforderlich ist.

Antworten (5)

Hinzufügen eines Gesamtzeitableitungsterms zum Lagrange-Operator

Der geometrische/intuitive Grund, warum dies so ist, wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag (im allgemeineren Rahmen der Feldtheorie) erläutert .
Ihre algebraischen Schritte sind stellenweise verwirrend. Außerdem haben Sie nicht angegeben, dass Sie davon ausgehen, dass F keine explizite Funktion der Zeitableitung der Koordinaten ist - was für den Schritt nach "Dies ist als wahr erwiesen, weil" erforderlich ist.

Ryan Unger · Answer 1

Sie haben gesehen, dass die Substitution

L ⟶ L^{'} := L + \frac{D F}{D T}

$L\longrightarrow L':= L+\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}$ ändert die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht. Dies geschieht nun, weil die zeitliche Ableitung die Euler-Lagrange-Gleichungen identisch erfüllt.

Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Nehmen Sie den Lagrange eines einfachen harmonischen Oszillators:

L_{HO} = \frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2} - \frac{1}{2} M ω^{2} Q^{2}

$L_\text{HO}=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2$ was die Euler-Lagrange-Gleichungen ergibt

\ddot{Q} = - ω^{2} Q

$\ddot q=-\omega^2 q$ Betrachten Sie nun die modifizierte Lagrange-Funktion

L^{'} = \frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2} - \frac{1}{2} M ω^{2} Q^{2} + \dot{Q} = L_{HO} + \dot{Q}

$L'=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}m\omega^2q^2+\dot q=L_\text{HO}+\dot q$ Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind offensichtlich linear. Daher

EL [L^{'}] = EL [L_{HO}] + EL [\dot{Q}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]+\text{EL}[\dot q]$ Wie oben gezeigt wurde,

\dot{q}

$\dot q$ Die Euler-Lagrange-Gleichung von wird verschwinden, aber wir können dies überprüfen:

EL [\dot{Q}] := \frac{D}{D T} \frac{\partial \dot{Q}}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial \dot{Q}}{\partial Q} = \frac{D 1}{D T} - 0 = 0

$\text{EL}[\dot q]:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \dot q}{\partial\dot q}-\frac{\partial\dot q}{\partial q}=\frac{\mathrm{d}1}{\mathrm{d}t}-0=0$ Daher,

EL [L^{'}] = EL [L_{HO}]

$\text{EL}[L']=\text{EL}[L_\text{HO}]$ dh die modifizierte Lagrangedichte impliziert immer noch

\ddot{q} = - ω^{2} q

$\ddot q=-\omega^2q$ .

Trevor Kafka · Answer 2

Hier ist eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, indem die Version des Variationsprinzips der Euler-Lagrange-Gleichungen verwendet wird.

Die Aktion von $L$ Und $L'$ unterscheiden sich durch $\dot F$ .

S = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L

$\mathcal S = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L$

S^{'} = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T L^{'} = \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (L + \dot{F}) = S + F (T_{F}) - F (T_{ich})

$\mathcal S' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ L' = \int^{t_f}_{t_i} dt\ (L+\dot F) = \mathcal S + F(t_f)-F(t_i)$

Seit $F(t_f)-F(t_i)$ ist eine Konstante, die Pfade, die extremisieren $\mathcal S$ Und $\mathcal S'$ sind gleich.

Kuhlambo · Answer 3

Nun, du hast es gerade gezeigt ${d \over dt } { \partial L' \over \partial \dot q}- { \partial L' \over \partial q}= {d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ Rechts? ${d \over dt } { \partial L \over \partial \dot q}- { \partial L \over \partial q}=0$ ist die Bewegungsgleichung für $q$ , mit anderen Worten bedeutet diese Gleichung genau das: $L$ Und $L'$ geben die gleiche Bewegungsgleichung für q an.

Christoph · Answer 4

Wenn Sie einige der Schritte in den Ableitungen verfolgen, fragen Sie sich vielleicht, wo die Bedeutung der Zeitableitung liegt $F$ Angelegenheiten. Eine der in der Frage vorgestellten Gleichungen, diejenige, unter der es heißt „es hat sich als wahr herausgestellt, weil“ ist der Schlüssel. Diese Gleichung sagt:

$\frac{\partial \dot{F}}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial F}{\partial q}$ .

Diese Gleichung besagt, obwohl nicht offensichtlich, dass die letzten beiden Terme in der vierten Gleichung in der Frage, insbesondere diese Gleichung:

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}+\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}-\frac{\partial}{\partial q} \frac{d F}{d t}=0$ .

sind nämlich gleich und heben sich somit auf. Sie bleiben also übrig

$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q} = 0$

Daraus können Sie die Bewegungsgleichungen erhalten, genau wie Sie es mit tun würden $L'$ . So $L'$ Und $L$ geben die gleichen Bewegungsgleichungen an.

Aber um zu bekommen, warum die Zeitableitung von $F$ ist wichtig und nicht nur $F$ , beginnen wir mit dem dritten Begriff, der ist $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}$ und schreibe es als $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \frac{d}{dt}{q}} \frac{\frac{d}{dt} F}{1}$ . Jetzt können Sie sehen, dass wir den Teil der Änderungsrate von nehmen $F$ in Bezug auf die Änderungsrate von $q$ . Auch nicht in der Frage angegeben, ist dies erforderlich $F$ ist eine Funktion von $t$ Und $q$ . Das ist $F=F(q,t)$

Wir können also den Teil der Änderungsrate ausgeben und nur die Ableitung von behalten $F$ wrt $q$ und bekomme $\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial {q}} F$ , welches ist $\frac{\partial}{\partial {q}} \frac{d F}{d t}$ das ist das gleiche wie der vierte Term und heben sich daher gegenseitig auf.

Ohne das $d/dt$ vor $F$ das hätte nicht funktioniert. Addieren Sie also zum Lagrange-Operator eine Gesamtzeitableitung einer Funktion von $q$ Und $t$ ändert nichts an den Bewegungsgleichungen

MUSAIB UL FAYAZ · Answer 5

Dies kann leicht berechnet werden, wie im angehängten Bild zu sehen ist.

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cyksmy

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MUSAIB UL FAYAZ

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