Warum versucht ein System potentielle Energie zu minimieren?

Dies ist eher eine physikalische als eine mathematische Begründung - ignorieren Sie meine Antwort, wenn Sie das nicht wollten!

Alle Systeme haben eine gewisse thermische Bewegung, sodass sie den Phasenraum in ihrer unmittelbaren Umgebung erkunden. Wenn es in der Nähe einen Punkt mit einer um einen bestimmten Betrag niedrigeren freien Energie gibt$\Delta G$dann ist die relative Wahrscheinlichkeit, das System an diesem Punkt zu finden$\exp(-\Delta G/RT)$. Wenn also die Energie minimiert wird, indem man sich zu diesem Punkt bewegt, dh$\Delta G < 0$, wir müssen nur warten und wir werden feststellen, dass das System dorthin verschoben wurde. Der einzige Ort im Phasenraum, an dem sich das System nicht bewegt, ist, wenn die freie Energie ein (lokales) Minimum hat. Deshalb minimiert ein System (lokal) immer seine freie Energie, wenn man lange genug wartet.

Beachten Sie den Titel des von Ihnen angegebenen Links:

Prinzip der minimalen potentiellen Gesamtenergie

fett meins.

Die einzige Antwort auf „Warum“-Fragen zu Prinzipien in der Physik ist, „weil festgestellt wurde, dass die davon abhängigen theoretischen Modelle alle bekannten Daten beschreiben und neue vorhersagen können“.

Warum-Fragen in der Physik, wenn sie Postulate und Gesetze treffen, sind wie die Frage nach dem Warum für ein Axiom in der Mathematik. Prinzipien sind Teil der Definition der Theorie, und physikalische Theorien werden aufgestellt, wenn sie kontinuierlich durch die Daten validiert werden.

Man kann dieses Prinzip nur erklären, indem man es auf Beobachtungen zurückführt, die uns zwangen, es axiomatisch zu verwenden.

Die Frage nach der Minimierung der potentiellen Energie und die Antworten, dass solche Fragen wenig Sinn machen, ist ein typisches Gespräch zwischen einem Physiker und einem Mathematiker:

Physiker: - Warum neigen Systeme dazu, potentielle Energie zu minimieren?

Mathematiker: - Schau dich um, viele Dinge folgen diesem Prinzip: potentielle Energie, Entropie...

Physiker: - Okay, das sehe ich, und deshalb frage ich. Wieso den? Warum ist eine niedrigere Zahl besser? Was ist daran so besonders? Warum nicht größere Zahlen?

Mathematiker: - Stellen Sie solche Fragen nicht. Dies wurde durch Experimente bewiesen. Wir müssen es nur als Tatsache, als Axiom akzeptieren. Und Axiome sind einfach. Also werde nicht metaphysisch.

... und hier hört der arme, neugierige Physiker auf zu fragen, ob er Karriere machen will, da die Bezeichnung "Philosoph" vielleicht nicht sehr hilfreich ist ...

Tja ... das Mysterium der Tendenz zur Minimierung potentieller Energie löst sich schnell auf, sobald man sich andere Fragen stellt: Woher kommt diese potentielle Energie? Was es darstellt? Was ist die zugrunde liegende Quelle/Ursache?

Im Fall, dass der Ball den Hang hinunterrollt, ist die Antwort offensichtlich. Diese Ursache ist die Schwerkraft. Massive Körper ziehen einfach alle anderen massiven Körper an, und da das Gravitationspotential in Bezug auf die Entfernung zur Gravitationsquelle (Zentrum) definiert ist, minimiert die Kugel, die sich zum Schwerpunkt bewegt, offensichtlich ihr Potential. Die wichtige Frage hier ist also: Was ist grundlegender – Schwerkraft oder Gravitationspotential? Ist das Axiom der Potenzialminimierung eine ultimative Antwort? Oder ultimative Ursache? Im Falle der Schwerkraft sagt Ihnen das Potential nur in gewisser Weise, wie weit die anziehenden Körper entfernt sind und ob die Kraft eine Bewegung erzeugen kann (und wie viel von dieser Bewegung) oder nicht. Minimales Potential bedeutet, dass keine Bewegung aufgrund der Kraft möglich ist; Maximales Potenzial bedeutet, dass (viel) Bewegung möglich ist. Und die Quelle der Bewegung ist die Kraft, nicht das Potential. Und die durch die Kraft verursachte Bewegung kann nur von größeren Zahlen (Entfernung) zu kleineren Zahlen gehen. So funktioniert es: Die Kraft zieht Dinge an, sodass der Abstand kleiner wird. Und so ist das Potenzial tatsächlich definiert. Daher ist die Antwort nicht, dass die Natur (aus irgendwelchen metaphysischen Gründen) eine Vorliebe für kleine Zahlen entwickelt hat. Es ist vielmehr so, dass die Natur diese sehr grundlegende Anziehungskraft – Gravitation genannt – bereitstellt, die Materie „zusammenkommen“ lässt. Und die Tendenz, das Potenzial zu verringern, ist eine Art zu sagen, dass die anziehende Kraft bewirkt, dass Körper zusammenkommen und somit den Abstand zwischen ihnen verringern. Und die durch die Kraft verursachte Bewegung kann nur von größeren Zahlen (Entfernung) zu kleineren Zahlen gehen. So funktioniert es: Die Kraft zieht Dinge an, sodass der Abstand kleiner wird. Und so ist das Potenzial tatsächlich definiert. Daher ist die Antwort nicht, dass die Natur (aus irgendwelchen metaphysischen Gründen) eine Vorliebe für kleine Zahlen entwickelt hat. Es ist vielmehr so, dass die Natur diese sehr grundlegende Anziehungskraft – Gravitation genannt – bereitstellt, die Materie „zusammenkommen“ lässt. Und die Tendenz, das Potenzial zu verringern, ist eine Art zu sagen, dass die anziehende Kraft bewirkt, dass Körper zusammenkommen und somit den Abstand zwischen ihnen verringern. Und die durch die Kraft verursachte Bewegung kann nur von größeren Zahlen (Entfernung) zu kleineren Zahlen gehen. So funktioniert es: Die Kraft zieht Dinge an, sodass der Abstand kleiner wird. Und so ist das Potenzial tatsächlich definiert. Daher ist die Antwort nicht, dass die Natur (aus irgendwelchen metaphysischen Gründen) eine Vorliebe für kleine Zahlen entwickelt hat. Es ist vielmehr so, dass die Natur diese sehr grundlegende Anziehungskraft – Gravitation genannt – bereitstellt, die Materie „zusammenkommen“ lässt. Und die Tendenz, das Potenzial zu verringern, ist eine Art zu sagen, dass die anziehende Kraft bewirkt, dass Körper zusammenkommen und somit den Abstand zwischen ihnen verringern. Daher ist die Antwort nicht, dass die Natur (aus irgendwelchen metaphysischen Gründen) eine Vorliebe für kleine Zahlen entwickelt hat. Es ist vielmehr so, dass die Natur diese sehr grundlegende Anziehungskraft – Gravitation genannt – bereitstellt, die Materie „zusammenkommen“ lässt. Und die Tendenz, das Potenzial zu verringern, ist eine Art zu sagen, dass die anziehende Kraft bewirkt, dass Körper zusammenkommen und somit den Abstand zwischen ihnen verringern. Daher ist die Antwort nicht, dass die Natur (aus irgendwelchen metaphysischen Gründen) eine Vorliebe für kleine Zahlen entwickelt hat. Es ist vielmehr so, dass die Natur diese sehr grundlegende Anziehungskraft – Gravitation genannt – bereitstellt, die Materie „zusammenkommen“ lässt. Und die Tendenz, das Potenzial zu verringern, ist eine Art zu sagen, dass die anziehende Kraft bewirkt, dass Körper zusammenkommen und somit den Abstand zwischen ihnen verringern.

Um unseren Gravitationsfall zusammenzufassen: Die Tendenz eines Systems, potenzielle Energie zu minimieren, ergibt sich aus der zugrunde liegenden Kraft, die einen Körper zu seiner Quelle zieht. (oder einen Körper wegdrücken, wenn die Natur der Kraft abstoßend ist). Dies führt zu einer Minimierung des Abstands und damit zu einer Minimierung der potentiellen Energie. Mehr potenzielle Energie entspricht also mehr potenzieller Bewegung, und weniger potenzielle Energie entspricht weniger potenzieller Bewegung. (Wenn die beiden anziehenden Körper bereits zusammen sind, ist die Kraft offensichtlich nicht in der Lage, eine Bewegung zu erzeugen, daher null potentielle Energie.)

Diese Argumentation gilt nun gleichermaßen für elektrische potentielle Energie oder elastische potentielle Energie. In all diesen Fällen gibt es eine zugrunde liegende Kraft, die Materie bewegt. Wenn also die Natur der Kraft anziehend ist, wächst die zugehörige potenzielle Energie mit der Entfernung, was eine potenzielle Bewegung darstellt, die diese Kräfte erzeugen können.

Sie hatten also vollkommen Recht, nach dem „Warum“ zu diesem Axiom zu fragen. Auf diese Weise ist es wahrscheinlicher, dass Sie fundiertere Antworten finden, die Sie zu grundlegenderen Phänomenen und letztendlich zu einem besseren Verständnis der Natur führen. Es gibt wahrscheinlich eine Grenze für das Verständnis, warum die Dinge so sind, wie sie sind, aber die Tendenz, potenzielle Energie zu minimieren, ist sicherlich nicht die ultimative Ursache.

Übrigens sagten Sie, Sie würden die Antwort lieber nicht in Bezug auf die Entropie erhalten. Sie hatten Recht, denn Entropie ist nicht wirklich notwendig, um die Antwort auf das Potential zu finden. Doch der Fall mit dem Ball zeigt uns eine sehr interessante Sache – Gravitation und Entropie sind zwei grundlegende gegensätzliche Phänomene. Die Schwerkraft wirkt der Entropie entgegen. Die Schwerkraft zieht Moleküle zusammen, während die Entropie sie dazu bringt, sich zu entfernen. Dies ist leichter zu verstehen, nachdem der Begriff „Entropie“ geklärt und entmystifiziert wurde. Entropie ist einfach das Phänomen, das mit der Bewegung von Molekülen (oder Teilchen) verbunden ist. Moleküle mit höherer Energie, dh mit schnellerer Bewegung, tendieren dazu, in Regionen zu wandern, in denen mehr Moleküle mit niedrigerer Energie, dh mit langsamerer Bewegung, vorhanden sind. Wieso den? Sicher kann man fragen warum, das ist auch kein letztes Axiom oder Metaphysik. Dies liegt einfach daran, dass Moleküle, die sich schneller bewegen, eher aneinander stoßen, wenn sie gruppiert sind. Aber es ist weniger wahrscheinlich, dass sie diejenigen anstoßen, die sich langsamer bewegen. Die Folge ist, dass sich schnell bewegende Moleküle gegenseitig in ihrer Bewegung einschränken, da sie öfter aufeinander treffen. Daher dringen die sich schnell bewegenden Moleküle häufiger in Bereiche ein, in denen sich viele langsamer bewegende Partikel befinden. In jedem gegebenen Zeitraum "besetzen" die langsameren weniger Platz und lassen somit den schnellen mehr Bewegungsspielraum (in einem gegebenen Zeitraum). Die sich schnell bewegenden Moleküle dringen häufiger in Bereiche ein, in denen sich viele langsamer bewegende Partikel befinden. In jedem gegebenen Zeitraum "besetzen" die langsameren weniger Platz und lassen somit den schnellen mehr Bewegungsraum (in einem gegebenen Zeitraum). Die sich schnell bewegenden Moleküle dringen häufiger in Bereiche ein, in denen sich viele langsamer bewegende Partikel befinden. In jedem gegebenen Zeitraum "besetzen" die langsameren weniger Platz und lassen somit den schnellen mehr Bewegungsspielraum (in einem gegebenen Zeitraum).$\Delta t$notwendig, damit ein schnelles Molekül reisen kann$\Delta x$das seiner Größe entspricht, legt ein langsameres Teilchen eine kürzere Strecke zurück als ein schnelleres). Und wenn sich die schnelleren Moleküle mit den langsameren vermischen, geben sie einen Teil ihrer Geschwindigkeit (Energie) an die langsameren ab (durch Kollisionen, die ebenfalls, wenn auch seltener, auftreten). Auf diese Weise geht das System von "höherer Entropie" zu "niedrigerer Entropie". Dies geschieht jedoch nicht, weil die Natur kleine Zahlen einfach lieber mag, wie Sie sehen können. Es kann perfekt mechanisch erklärt werden, ohne Axiome anzunehmen.

Wie Anna V sagte, sind Prinzipien wie mathematische Axiome. Ein Prinzip ist richtig, wenn die daraus ableitbaren physikalischen Gesetze alle experimentellen Daten korrekt beschreiben. Einige Leute wählen die Newtonschen Gesetze als Grundlage der Mechanik. Manche Menschen entscheiden sich für das Prinzip der kleinsten Wirkung (AKA Hamilton-Prinzip).

Aus den Newtonschen Gesetzen lässt sich das Prinzip der kleinsten Wirkung ableiten. Diese Vorlesungen über klassische Dynamik tun es auf wenigen komprimierten Seiten in Kapitel 2.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung beschreibt die Bewegung eines Teilchens in Form von Bahnen. Ein Pfad beginnt an einer Position und einem Impuls und endet an einer anderen. Der Weg beschreibt die Position des Teilchens als Funktion der Zeit. Damit beschreibt der Weg auch die Geschwindigkeit und den Impuls des Teilchens.

Viele Wege verbinden Start und Ziel. Das Prinzip der kleinsten Wirkung sagt Ihnen, wie Sie den einen Weg finden, für den die Newtonschen Gesetze an jedem Punkt gelten.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung kann verallgemeinert werden, um alle Gesetze der Physik abzudecken.

Möglicherweise finden Sie Kapitel 1 der Vorlesungen relevant. Es spricht über Energie und leitet Erhaltungssätze für Einteilchen- und Vielteilchensysteme ab.

Ein Teilchen bewegt sich nicht immer in eine Richtung, die die potenzielle Energie minimiert. Bei Masse und Feder geht die potentielle Energie auf und ab. Für einen Planeten auf einer Kreisbahn bleibt sie konstant.

Es stimmt, dass die Kraft in die Richtung zeigt, die die potenzielle Energie minimiert. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der potentiellen Energie.

Die Kräfte auf ein Teilchen sind oft nur eine Funktion der Teilchenposition, nicht der Teilchengeschwindigkeit. In diesem Fall gibt es eine andere Möglichkeit, die Kraft zu beschreiben. Sie können eine Menge definieren$U$das hängt nur von der Position ab, wo$U = - \bigtriangledown F$.$U$ist die potentielle Energie.

Der Grund für die Definition$U$ist, dass es nützlich ist. Du kannst zeigen$U + T$wird konserviert. Gegeben$T$An einer Stelle kann man mit dem Erhaltungssatz rechnen$T$an jeder anderen Position, ohne alle Kräfte dazwischen kennen zu müssen.

Entropie wird verwendet, wenn Sie so viele Teilchen haben, dass Sie nicht alle verfolgen können. Man muss auf Eigenschaften zurückgreifen, die die Bewegung zusammenfassen.

Beispielsweise fasst die Temperatur die durchschnittliche kinetische Energie in inneren Schwingungen der Partikel zusammen, aus denen ein starrer Körper besteht.

Wir müssen hier zwei Dinge trennen:

• Kraft minimiert potentielle Energie nicht . Eher könnte man sagen, „es verändert den Impuls so, dass die potentielle Energie nicht unendlich steigen kann“.
  Die Funktionsweise (Differentialgleichung 2. Ordnung → Oszillationslösungen) bringt das System übrigens tendenziell immer wieder in einen Zustand niedriger potentieller Energie, was aber nicht wirklich notwendig ist (man denke an das Sonnensystem, wo die potentielle Energie der Planeten bleibt mehr oder weniger konstant).

• Das Prinzip der minimalen potentiellen Energie ist ein ganz anderes Thema. Es wird davon ausgegangen, dass es viele mikroskopische Freiheitsgrade gibt (molekulare Rotation und Vibration, Elektronenwellen usw.); solche sind immer notwendig, damit Reibungskräfte wirken.
  Sehr einfach ausgedrückt ist dieses Gesetz nur das Gleichverteilungstheorem : Wenn Sie etwas Energie in die makroskopischen Freiheitsgrade des Systems stecken, wird diese Energie im Laufe der Zeit in die mikroskopischen Grade "durchsickern", bis jeder Grad im Durchschnitt die gleiche (sehr kleine) Energie hat . Da es so viel mehr mikroskopische als makroskopische Grade gibt, diese aber „unsichtbar“ sind, wird es so aussehen, als ob die potentielle Energie abnimmt.

Das war früher auch für mich unintuitiv. Erkennen Sie zunächst die allgemeine Definition von Arbeit.

$W = \int \vec{F_{net}} \cdot \vec{ds}$

Nehmen Sie nun den Farbverlauf auf beiden Seiten:

$\nabla W = \nabla \int \vec{F_{net}} \cdot \vec{ds}=$

$\int \nabla\vec{F_{net}} \cdot \vec{ds}= \int \sum_{i}\, \frac{\partial \, \vec{F_{net}}}{\partial\, x_i} dx_i$

wo$x_{i}$gibt eine Positionskoordinate an. Auch weiterhin:

$\int \sum_{i}\, \frac{\partial \, \vec{F_{net}}}{\partial\, x_i} dx_i= \int d \vec{F_{net}} = \vec{F_{net}}$So:$\nabla W =\vec{F_{net}}$

Beachten Sie, dass der Gradientenoperator$\nabla$gibt einen Vektor der maximalen Änderung einer Funktion in Bezug auf ihre unabhängigen Variablen an, in diesem Fall die Positionskoordinaten. Alles, was die vorherige Gleichung aussagt, ist also einfach, dass die maximale Zunahme der Arbeit in Richtung der Nettokraft auf das System (der Wirkungslinie) erfolgt. Dies scheint intuitiv zu sein und ist eigentlich die allgemeinere Aussage dessen, was ich gleich zeigen werde. Nun definieren wir für ein konservatives System – ein System, auf das nur konservative Kräfte wirken – die potentielle Energiefunktion aus der Austrittsarbeit durch:

$U = - W = - \int \vec{F_{net}} \cdot \vec{ds}$

Angesichts der zuvor abgeleiteten Formel:

$\nabla W =\vec{F_{net}} = -\nabla U$

Dies ist die berühmte Formel für konservative Systeme, die Kraft und potentielle Energie verbindet. Es sagt etwas Ähnliches über die Arbeit. Die größte räumliche Abnahme der potentiellen Energie erfolgt in der gleichen Richtung wie die Nettokraft auf das System. Da die Bewegung des Systems durch die Nettokraft ungleich Null auf das System bestimmt wird, die in die gleiche Richtung wie die größte räumliche Abnahme wie die potentielle Energie weist, folgt ein konservatives System dem Pfad, der seine potentielle Energie minimiert. Alles in allem sagt man, wenn man sagt, dass ein konservatives System seine potenzielle Energie minimieren möchte, dass ein System der Richtung der Nettokraft folgt, die nicht Null auf das System wirkt.

Ich hoffe, das hat geholfen!

Es ist nur ein Zufall, die meisten Universen ohne diese Funktion sind halb chaotisch und kurzlebig. Es ist, als würde man sagen, warum Eier in Omeletts verwendet werden, denn es ist kein Omelette ohne Eier. Warum gibt es viele Regeln (Gesetze), um ein Universum zu schaffen, in dem Leben existiert, das ist sein Zweck. Liebe