Analyse der Bewegung einer Kugel, die in einer halbkugelförmigen Schale rollt, ohne zu rutschen

Stellen Sie sich eine feste Kugel mit Radius vor R und Masse M rollt ohne zu rutschen in einer halbkugelförmigen Schüssel mit Radius R (einfache Hin- und Herbewegung). Nun gehe ich davon aus, dass die Schwingungen klein sind und daher die Näherung für kleine Winkel gilt. Ich möchte die Schwingungsdauer finden und die Bewegung auf zwei Arten analysieren, erstens mit Energieerhaltung und zweitens mit Dynamik. Allerdings bekomme ich zwei widersprüchliche Antworten. Eine oder beide Lösungen müssen falsch sein, aber ich kann nicht herausfinden, welche und was noch wichtiger ist, ich kann nicht herausfinden, warum.

Methode 1 : Wir schreiben die Energieerhaltungsgleichung für den Ball

M G H + 1 2 M v 2 + 1 2 ICH ω 2 = C Ö N S T A N T

vom Massenmittelpunkt nehmen wir die Höhe als H = R − ( R − R ) C Ö S θ Wo θ ist der Winkel zur Vertikalen. Anwenden der No-Slip-Bedingung v = R ω und das Trägheitsmoment für eine feste Kugel nehmen ICH = 2 5 M R 2 Wir können die Energiegleichung schreiben als

M G ( R − ( R − R ) C Ö S θ ) + 7 10 M R 2 ω 2 = C Ö N S T A N T

Differenzierung nach Zeit:

M G ( R − R ) S ich N θ ⋅ ω + 7 5 M R 2 ω ⋅ a = 0

unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung S ich N θ = θ wir bekommen

G ( R − R ) θ + 7 5 R 2 a = 0

− 5 G ( R − R ) 7 R 2 θ = a

von denen wir bekommen können T = 2 π 7 R 2 5 G ( R − R )

Methode 2 : Das einzige Drehmoment, das an jedem Punkt seiner Bewegung auf die Kugel wirkt, ist die Reibungskraft F . Damit wir schreiben können

τ = ICH a = F R

wieder unter Verwendung der rollenden Bedingung A = R a und das Trägheitsmoment für eine feste Kugel,

2 5 M A = F

Die auf das System wirkende Nettokraft ist die tangentiale Komponente der Schwerkraft und der Reibungskraft, also

F = M A = M G S ich N θ − F

7 5 A = G S ich N θ

Nehmen der Kleinwinkelnäherung und Umwandeln A Zu a wir bekommen

a = 5 G 7 R θ

und einem entsprechenden Zeitraum von T = 2 π 7 R 5 G

Jetzt sind die Lösungen sehr unterschiedlich und ich würde es begrüßen, wenn jemand darauf hinweisen würde, wo ich falsch gelaufen bin.

Daran ist vieles falsch. Das Auffälligste ist, dass Sie beim ersten Ansatz die Energie als konstant annehmen, beim zweiten jedoch Reibung einführen, die eine äußere Kraft ist, die die Energie im Laufe der Zeit verringert. Die beiden Ansätze werden also zwangsläufig zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, da Sie unterschiedliche Annahmen treffen.
@Mitchell, nein, das ist kein Problem. Die Reibungskraft leistet keine Arbeit. Ich denke, Yuqing hat das ziemlich klar erklärt.

Antworten (4)

Ihre erste Ableitung, die Energie verwendet, verwendet zwei verschiedene Bedeutungen für dasselbe Symbol ω . An einer Stelle interpretierst du es so

ω = θ ˙

die zeitliche Ableitung des Winkels der Linie vom Mittelpunkt der Kugel zum Mittelpunkt der Schüssel mit der Vertikalen.

An anderer Stelle interpretieren Sie ω als zeitliche Ableitung des unbenannten Winkels, um den sich die Kugel selbst gedreht hat.

Diese beiden Winkel stehen miteinander in Beziehung R / ( R − R ) Faktor, um den Sie daneben liegen.

Hallo, ich hatte genau die gleiche Verwirrung wie das OP, aber Ihre Antwort hat die Dinge für mich wirklich geklärt. Das einzige, was ich immer noch nicht herausfinden kann, ist, warum die beiden Winkel durch die miteinander in Beziehung stehen R ( R − R ) Faktor. Etwas Hilfe?
@GeeJay Die Mitte des Balls bewegt sich mit einer Geschwindigkeit ( R − R ) θ ˙ . Und die Winkelgeschwindigkeit der Kugel mit Radius R Ist ω . Dann ist die Netto-Tangentialgeschwindigkeit des Kontaktpunktes ( R − R ) θ ˙ − R ω , die Null sein muss, weil es kein Rutschen gibt.

Die Antwort, die Sie in der ersten Methode erhalten haben, war falsch.

Die Antwort in Sekunde ist fast erreicht, wir müssen nehmen R − R anstatt R weil du nehmen musst R vom Mittelpunkt der Kugel. Die richtige Antwort war 2 π 7 ( R − R ) / 5 G

Hallo und willkommen bei der Physics SE! Die Gleichungen werden mit mathjax viel besser lesbar und durchsuchbar . Es wäre toll, wenn Sie es in Ihren nächsten Beiträgen verwenden könnten.

Ein Problem, das ich in Ihrer ersten Lösung sehe, ist das v ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts. Sie vermuten v = R ω aber das ist die Geschwindigkeit der Unterseite des Balls. Parallel dazu bewegt sich der Massenmittelpunkt in einer Kreisbewegung, deren Radius gleich ist R − R , v = ( ( R − R ) / R ) R ω .

v des Schwerpunkts ist auch ( R − R ) θ ˙ . Ihre Beziehung impliziert ( R − R ) θ ˙ = R − R R R ω , oder θ ˙ = R R ω , was falsch ist (betrachten Sie den Fall, wo R Und R sind fast gleich. Dort θ ˙ ≠ 0 , Aber ω ≈ 0 ). Das richtige Verhältnis ist ( R − R ) θ ˙ = R ω .

Beide Antworten sind falsch. Die richtige Antwort unter Berücksichtigung beider Winkel, wie von anderen erwähnt, hat Rr im Zähler. Der Grenzfall, in dem die Kugel wirklich klein wird, ergibt eine Periode, die nicht auf Null gehen kann, und allein diese Überlegung kann verwendet werden, um Ihre beiden Antworten zu eliminieren.

Analyse der Bewegung einer Kugel, die in einer halbkugelförmigen Schale rollt, ohne zu rutschen
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