Rotieren im Orbit?

tl; dr: Leider wird Spaceman Spiff kein sehr gutes Seherlebnis haben. Das stellt sich übrigens als ein wirklich interessantes Problem heraus! Die einzigen Richtungen, in die Sie das Orbitalteleskop richten können und hoffen, dass es weiterhin in die gleiche Richtung auf einen Stern zeigt, ohne dass ein Lagekontrollsystem vorhanden ist, sind die Senkrechten zur Orbitalebene. Für eine äquatoriale Umlaufbahn der Erde wäre das zum Beispiel Himmlischer Norden, in der Nähe von Polaris oder Himmlischer Süden.

Das Gravitationspotential der Erde fällt mit 1/r ab, die Kraft mit 1/r^2. Bei jedem Orbiter mit einer Größe ungleich Null sind einige Teile näher an der Erde und werden stärker von der Erde gezogen als andere Teile. Dieser Schwerkraftgradient war sowohl ein Problem als auch eine Lösung.

Denken wir zunächst an die Ausrichtung in Bezug auf den Erdmittelpunkt, den Nadir oder die lokale vertikale Richtung. Für ein langes dünnes Objekt wie eine Röhre oder ein Teleskop gibt es zwei Möglichkeiten, es so auszurichten, dass es in diesem rotierenden Rahmen in einer Gleichgewichtsposition bleibt.

1. Senkrecht oder gerade nach unten zeigend. Wenn Sie das Teleskop in diese Richtung ausrichten und es so anstupsen, dass es sich langsam mit der gleichen Geschwindigkeit dreht, mit der es sich um die Erde dreht, bleibt es in dieser zum Nadir zeigenden Richtung. Es gibt kein Nettodrehmoment, außer bei Problemen höherer Ordnung, da die Erde kein perfekt kugelsymmetrisches Potential hat.

   Dies ist ein stabiles Gleichgewicht. Das bedeutet hier, dass, wenn Sie es leicht anstoßen; Sagen wir ein paar Grad, wird es langsam mit einer ziemlich konstanten Amplitude hin und her oszillieren.

2. Tangential oder genau seitwärts zeigend. Wenn Sie das Teleskop so ausrichten, dass es genau 90 Grad von der lokalen Vertikalen oder Nadirrichtung weg zeigt, dann gibt es auch kein Nettodrehmoment. Es könnte "vorwärts" in die Richtung zeigen, in der es umkreist, oder "seitwärts", was senkrecht zur Umlaufbahnebene bedeutet, oder irgendwo anders innerhalb der Ebene, die durch die Senkrechte zur lokalen Vertikalen definiert ist.

   Dies ist ein instabiles Gleichgewicht. Wenn Sie es leicht in Richtung der Vertikalen anstoßen, beginnt es sich in diese Richtung zu drehen und zu beschleunigen und schließlich eine oszillierende Bewegung zu zeigen. Es ist wie ein Tal zwischen zwei Hügeln; Wenn Sie einen Ball von der Spitze eines Hügels (dem instabilen Gleichgewichtspunkt) nach unten stoßen, wird er weiterhin zwischen den beiden oszillieren.

   Wenn Sie es jedoch in der Ebene der Senkrechten zur Vertikalen anstoßen, gibt es kein Drehmoment, um ihm entgegenzuwirken, und es dreht sich nur langsam und stetig.

Die einzigen Richtungen, in die Sie das Orbitalteleskop richten können und hoffen, dass es weiterhin in die gleiche Richtung auf einen Stern zeigt, ohne dass ein Lagekontrollsystem vorhanden ist, sind die Senkrechten zur Orbitalebene. Für eine äquatoriale Umlaufbahn der Erde wäre das zum Beispiel Himmlischer Norden, in der Nähe von Polaris oder Himmlischer Süden

Informationen zu Mathematik finden Sie in dieser Frage und insbesondere in der Antwort von @Litho . Für einen dünnen Massestab$m$und Länge$l$auf einer Kreisbahn mit einem senkrechten Trägheitsmoment$\frac{1}{12}ml^2$, in der Ebene um die kurze Achse drehend, ist das Drehmoment (erster Ordnung) gegeben durch

und die momentane Winkelbeschleunigung ist einfach

Das ist ein ziemlich erstaunliches Ergebnis! Mit$GM_E$von etwa 3.986E+14 m^3/s^2 und einer Höhe von 400 km,$\ddot{\theta}$kann bis zu 0,4 Grad pro Minute^2 bei 45 Grad betragen, und das unabhängig von der Länge!

Wenn ein Stab aus dem Gleichgewicht geraten ist, schwingt er sehr, sehr lange, es sei denn, Ihr Objekt verfügt über eingebaute Dämpfer, um die Winkelbeschleunigung beim ersten Drehen langsam zu absorbieren, oder erreicht schließlich eine "Erfassung" in einer Stabilisierung des Schwerkraftgradienten, wo es wird oszillieren und langsam abklingen. Die Details hängen von den Anfangsbedingungen ab.

Zu den natürlichen Dämpfungsmechanismen gehören ein unterschiedlicher atmosphärischer und Photonenwiderstand sowie induzierte Gezeitenverzerrungen in der Erde durch die Schwerkraft des Teleskops. Diese sind auf einer orbitalen Zeitskala sehr, sehr klein!

Dies ist alles aus Gravity Gradient Stabilization of Earth Satellites von RE Fischell:

Der maximale Winkel, bis zu dem der Satellit schwingen wird, ist von großem Interesse. Wenn dieser Winkel weniger als 90° beträgt, ergibt sich ein Einfangen des Satelliten in eine Lagestabilisierung des Schwerkraftgradienten. Der Winkel kann ziemlich einfach berechnet werden, indem die kinetische Winkelenergie, die der Satellit entwickeln muss (um eine Winkelgeschwindigkeit von 1,0 rpo zu erreichen), mit der Arbeit gleichgesetzt wird, die durch das Gravitationsgradientendrehmoment geleistet wird, wenn sich der Satellit auf diesen maximalen Winkel bewegt.

Die Berechnung zeigt, dass, wenn der Satellit zum Zeitpunkt des Ausfahrens des Auslegers vertikal ist, er auf einen Spitzenwinkel von 35,36° ausschwenkt. Wenn der Satellit anfänglich einen Winkel von mehr als 54° von der Vertikalen aufweist, wird er auf ausschwenken 90°; dies ist daher der Grenzwinkel für das Fangen.

Python-Skript: https://pastebin.com/yVq6WuCu

$\theta$Und$\dot{\theta}$im Inertialsystem für einen dünnen Stab in einer kreisförmigen Umlaufbahn von 400 km, beginnend bei verschiedenen Anfangswinkeln in Bezug auf den Nadir, ohne anfängliche Rotation im Inertialsystem (dh Blick auf einen Stern):