Eigenwerte eines Quantenfeldes?

Wenn ich versuche, das Feld an einem Punkt in der Raumzeit zu messen, sollte ich einen realen Wert erhalten, der ein Eigenwert des Quantenfelds sein sollte, richtig? Ich schätze, die Eigenvektoren des Quantenfelds leben auch im Fock-Raum?

Ja, das ist grundsätzlich richtig. Wenn der Wert des Felds an einem Punkt beobachtbar ist, sind die Eigenwerte des Operators, der ihn darstellt, die Werte, die das Feld an diesem Punkt erreichen kann. Und die Eigenvektoren leben im Hilbert-Zustandsraum, den man sich (zumindest konzeptionell) so vorstellen kann$L^2(\{\mbox{initial boundary conditions}\})$. Dieser Hilbert-Raum ist in Freifeldtheorien ein Fock-Raum.

Es gibt ein paar Feinheiten, die es wert sind, erwähnt zu werden:

Der Wert des Feldes an einem Punkt ist möglicherweise keine physisch beobachtbare Größe. In der Elektrodynamik zum Beispiel kann man den Wert nicht wirklich messen$A_\mu(x)$einer Komponente der Verbindung 1-Form; Stattdessen können Sie eicheninvariante Größen wie die Krümmung messen$F_A(x)$und die Holonomie$Hol_L(A)$entlang einer Schleife$L$. Ebenso in nichtlinearen Sigma-Modellen, wo die klassischen Felder Karten sind$\phi: \Sigma \to X$Bei einer gekrümmten Mannigfaltigkeit kann man den Wert nicht messen$\phi(x)$. Eigenwerte sind komplexe Zahlen, keine Punkte auf einer Mannigfaltigkeit. Aber Sie erhalten eine echte Observable$\mathcal{O}_f(x)$für jede Funktion$f: X \to \mathbb{R}$; den Wert messen$f(\phi(x))$.

Es ist auch nicht ganz richtig zu sagen, dass Quantenfelder vom Operator bewertete Funktionen der Raumzeit sind. Das physikalische Problem besteht darin, dass Sie, wenn Sie den Wert des Felds an einem Punkt messen, das Feld in der Nähe dieses Punkts stören und die Werte an anderen nahe gelegenen Punkten beeinflussen. Je näher Sie an die Stelle schauen, an der Sie die Messung vorgenommen haben, desto größer ist die Störung; auch in der freien Skalarfeldtheorie die 2-Punkt-Korrelationsfunktion$\langle \phi(x) \phi(y) \rangle$explodiert als$x \to y$. Dies sagt Ihnen, dass die Felder nicht ganz Funktionen sind, weil Sie die beobachtbaren „Werte an einem Punkt“ nicht multiplizieren können, wenn sie genau an diesem Punkt leben.

Mathematisch korrekt ist es, sich das Feld (und allgemeiner aus Feldern konstruierte lokale Observablen) als eine operatorwertige Verteilung vorzustellen. Verteilungen sind eine milde Verallgemeinerung von Funktionen; es sind Objekte, die an einem Punkt keine Werte haben, die aber Mittelwerte in einem beliebig kleinen (aber endlichen) Bereich haben. Grundsätzlich für jede Testfunktion$f$In deiner Raumzeit bekommst du einen Operator$\phi(f)$was Sie sich als Messung des Wertes vorstellen können "$\int f(x) \phi(x) dx$" von$\phi$von einer Sonde mit Auflösung abgetastet$f$. Verteilungen können nur multipliziert werden, wenn ihre Singularitäten nicht übereinstimmen; Sie zeigen das gleiche unangenehme Verhalten wie Quantenfeldoperatoren.

Wahrscheinlich müssen Sie sich darüber nicht allzu viele Gedanken machen. Zum einen, auch wenn man (genau genommen) keinen Operator definieren kann$\phi(x)$, können Sie immer noch sicher über die Korrelationsfunktion sprechen$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$. (Es ist die Kernfunktion der multilinearen Karte$(f,g)\mapsto \langle \phi(f)\phi(g) \rangle$.)

Physiker verbringen nicht viel Zeit damit, sich Gedanken über die Lösung des Eigenwertproblems für die Feldoperatoren zu machen. Normalerweise ist das Spektrum alle$\mathbb{R}$, und das Finden der Eigenvektoren ist die Mühe nicht wert. Es gibt jedoch eine wichtige Ausnahme: Im Standardmodell ist es ziemlich wichtig, dass der Vakuumvektor ein Eigenvektor der Higgs-Feldoperatoren mit einem Eigenwert ungleich Null ist.

Die Eigenvektoren eines Quantenfeldes sind Zustände mit einem bestimmten Wert des Feldes:

Dies sind keine Zustände mit einer bestimmten Teilchenzahl, sondern Überlagerungen von Fock-Raum-Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl. Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, den Feldoperator in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (schematisch) zu schreiben:

und beachten Sie, dass dies nicht mit dem Teilchenzahloperator kommutiert$\hat{N} = \sum_k a^\dagger_k a_k$:

Sie können also keinen Zustand haben, der gleichzeitig ein Zustand mit einem bestimmten Wert des Feldes und ein Zustand mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen ist.