Wie weit wäre der Lagrange-Punkt Mars L1 vom Mars entfernt?

Wikipedia sagt, dass die Formel für den Radius der Hill-Sphäre als Annäherung an die Entfernung eines Planeten zu seinem L1 (und L2) verwendet werden kann:

wo$R$ist die Entfernung vom Planeten zur Sonne,$M_2$ist die Masse des Planeten und$M_1$die Masse der Sonne. Von hier aus ist es nicht schwer herauszufinden, dass der L1-Punkt ungefähr 1 Million Kilometer vom Mars entfernt ist. Dies ist eine Annäherung, gültig wann$M_1 \gg M_2$was hier mit angemessener Genauigkeit der Fall ist.

Dieselbe Wikipedia-Seite listet die Lage der Lagrange-Punkte für alle etwas weiter unten liegenden Planeten auf, ausgedrückt als Entfernungen von der Sonne.

Lagrange hat nur wirklich mit kreisförmigen Umlaufbahnen gerechnet, aber wenn Sie etwas in eine elliptische Umlaufbahn bringen, die die gleiche Form und Ausrichtung wie die des Mars hat, aber ungefähr 99,5% der Größe beträgt, sollte das Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft des Mars und der Schwerkraft der Sonne immer noch funktionieren aus, also würde es zwischen Sonne und Mars bleiben. In diesem Fall würde seine Entfernung vom Mars in jeder Richtung um etwa 10 % vom Durchschnitt abweichen.

@SteveLintons Antwort erklärt die Situation gut. Ich füge einfach die vollständigen Formeln und den Radius der Hügelkugeln hinzu.

Um den Abstand zu L1 zu erhalten, suchen Sie den kleinsten Wert von$r$so dass

Um den Abstand zu L2 zu erhalten, suchen Sie den kleinsten Wert von$r$so dass

Obwohl der Mars 50% weiter von der Sonne entfernt ist als die Erde, beträgt seine Masse nur 11% der Masse der Erde , während die Entfernungen zum Lagrange-Punkt der Erde etwa 1% der Entfernung zur Sonne für die Erde betragen, die des Mars nur etwa 0,5 % der Entfernung zur Sonne für den Mars.

In beiden Fällen würde ein Diagramm zwei Punkte sehr nahe bei jedem Planeten zeigen. Die Diagramme im Internet übertreiben dies normalerweise stark , um es besser sichtbar zu machen.

Die Werte für den Abstand der Planeten zur Sonne und zu ihren sonnenzugehörigen Punkten L1 und L2 sehen so aus.

a_Earth:     149598023  km
Sun-Earth L1:  1491524  km
Sun-Earth L2:  1501504  km
Earth r_Hill:  1496531  km

a_Mars:      227939200  km
Sun-Mars L1:   1082311  km
Sun-Mars L2:   1085748  km
Mars r_Hill:   1084032  km

Das Python-Skript basierend auf Brentq von scipy.optimize :

def solve_L1 (r, R, M1, M2):
    return M2/r**2 + M1/R**2 - r*(M1 + M2)/R**3 - M1/(R-r)**2

def solve_L2 (r, R, M1, M2):
    return M1/R**2 + r*(M1 + M2)/R**3 - M1/(R+r)**2 - M2/r**2

def r_Hill(R, M1, M2):
    return R * (M2 / (3.*M1))**(1./3.)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import brentq

a_Earth  = 149598023.   # Earth's semi-major axis (km)
a_Mars   = 227939200.   # Mars'   semi-major axis (km)
r_low    =   1000000.   # 1.0  million km  (lower guess)
r_high   =   1600000.   # 1.6  million km  (upper guess)

M_Sun    = 1.9886E+30  # approximate mass (kg)
M_Earth  = 5.9724E+24  # approximate mass (kg)
M_Mars   = 6.4171E+23  # approximate mass (kg)

r_Hill_Earth = r_Hill(a_Earth, M_Sun, M_Earth)
r_Hill_Mars  = r_Hill(a_Mars,  M_Sun, M_Mars)

r = np.linspace(r_low, r_high)
if True:
    plt.figure()
    plt.plot(r, solve_L1(r, a_Earth, M_Sun, M_Earth), '-g')
    plt.plot(r, solve_L1(r, a_Mars,  M_Sun, M_Mars), '-r')

    plt.plot(r, solve_L2(r, a_Earth, M_Sun, M_Earth), '--g')
    plt.plot(r, solve_L2(r, a_Mars,  M_Sun, M_Mars), '--r')

    plt.plot([r_Hill_Earth], [0], 'ok')
    plt.plot([r_Hill_Mars ], [0], 'ok')

    plt.text(1040000, 1.1E+11, 'L1 Mars L2', fontsize=14)
    plt.text(1450000, 3.0E+11, 'L1 Earth L2', fontsize=14)

    plt.plot(r, np.zeros_like(r), '-k')
    plt.ylim(-4E+11, 4E+11)

    plt.show()

# for Mars:
r_L1_Mars = brentq(solve_L1, r_low, r_high, args=(a_Mars, M_Sun, M_Mars))
r_L2_Mars = brentq(solve_L2, r_low, r_high, args=(a_Mars, M_Sun, M_Mars))

# for Earth:
r_L1_Earth = brentq(solve_L1, r_low, r_high, args=(a_Earth, M_Sun, M_Earth))
r_L2_Earth = brentq(solve_L2, r_low, r_high, args=(a_Earth, M_Sun, M_Earth))

print "a_Earth:    ", int(a_Earth), " km"
print "Sun-Earth L1: ", int(r_L1_Earth), " km"
print "Sun-Earth L2: ", int(r_L2_Earth), " km"
print "Earth r_Hill: ", int(r_Hill_Earth), " km"
print ''
print "a_Mars:     ", int(a_Mars), " km"
print "Sun-Mars L1:  ", int(r_L1_Mars), " km"
print "Sun-Mars L2:  ", int(r_L2_Mars), " km"
print "Mars r_Hill:  ", int(r_Hill_Mars), " km"