Gelten Lagrange-Punkte für exzentrische Umlaufbahnen oder Binärsysteme?

1. Die Umlaufbahn des Planeten ist exzentrisch, kein perfekter Kreis

Anscheinend weiß @DavidHammen gerade genug über solche Dinge , um gefährlich zu sein . Ich kann nicht mathematisch mit dem Thema sprechen, aber in der Abbildung ist die kleine blaue Zigarre die Erde, die auf ihrer leicht elliptischen Umlaufbahn zur Sonne hin und von ihr weg schwingt, und die cool aussehende Umlaufbahn ist in diesem Fall SOHO, wer war in einer Halo-Umlaufbahn für mehr als 20 Jahre und führte seine stationären Manöver getreulich zur Sonne hin oder von ihr weg aus, außer wenn dies nicht der Fall war (siehe Roberts 2002, dort verlinkt).

Die nahezu geradlinige Halo-Umlaufbahn des vorgeschlagenen , zukünftigen Stargate äh... , Wurmloch , äh... Gateway wird eine (nahezu geradlinige) Halo-Umlaufbahn ( 1 , 2 und Antworten darin) um den Erde-Mond L1 und/ oder L2 , und die Exzentrizität davon ist viel größer als die der heliozentrischen Umlaufbahn der Erde ($\epsilon$=0,055 gegenüber 0,017).

Ich bringe meine Science-Fiction immer wieder durcheinander. (Space Force!, Raketenrennen! usw.)

Auch die Funkverbindung von Chang'e-4 zum Erde - Queqiao-Relaissatelliten wird eine Erde-Mond L2 sein.

Also für signifikant elliptische Systeme, ja. Bei sehr signifikanten elliptischen Systemen muss jemand anderes über das ER3BP antworten, und natürlich hat jemand bereits gefragt: Gibt es natürliche kreisförmige Umlaufbahnen? zunächst.

2. Die beiden massiven Körper haben eine vergleichbare Masse und umkreisen einen gemeinsamen Schwerpunkt (wenn auch beide auf kreisförmigen Umlaufbahnen). Insbesondere, wie würden sie sich verwandeln/bewegen?

In dieser Antwort zeige ich, wie man die Positionen von L1 und L2 für zwei Massen berechnet. Ich werde versuchen, ein Diagramm zu erstellen, wie sich die beiden Punkte bewegen, wenn sich das Verhältnis der beiden Massen ändert, was einen halben Tag dauern wird, um stabile 10-20 zu erhalten, bevor ich mir die stabilen Punkte ansehe.

GIF: SOHO-Umlaufbahn, Daten von Horizons , Plot von hier

unten links: Draufsicht, elf Jahre. rechts: Seitenansicht, ein Jahr. (Sonne links) Umlaufbahn des James-Webb-Teleskop-Prototyps, Daten von Horizons , Plot von hier

$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\i}{\mathbf{i}}$

Lagranges Satz von Lösungen für das Dreikörperproblem ist allgemeiner als nur die Punkte, die Spezialfälle einer breiteren Familie von Möglichkeiten sind. Die Bedingungen, unter denen sie existieren, sind sehr restriktiv, aber weniger streng als die von Ihnen aufgeführten Standardannahmen. Alles hier gilt für das vollständige Dreikörperproblem (bei dem alle drei Massen nicht vernachlässigbar sind), nicht für das eingeschränkte Dreikörperproblem (bei dem eine Masse als klein genug angesehen wird, um einen vernachlässigbaren Einfluss auf die Bewegung der beiden größeren zu haben). . Diese Lösungen beinhalten eine Form willkürlicher elliptischer Bewegung, die ich zu beschreiben versuchen werde. Der Text, dem ich folge, ist Richard Battins An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics , Kapitel 8. Eine mögliche kostenlose Alternative zum Kauf des Buches ist die Nutzungdiese Vorlesungsnotizen von MIT Open Course Ware, wie sie von Battin selbst zum Unterrichten aus seinem eigenen Buch verwendet werden, aber sie bieten viel weniger erklärende Worte zwischen den Gleichungen und enden, bevor sie die endgültige elliptische Form erreichen, auf die ich verweisen werde.

Die Lösungen von Lagrange sind nur dann exakt, wenn sich drei Körper in derselben Ebene befinden und alle um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt kreisen. Alle drei Körper befinden sich immer augenblicklich in derselben Ebene, egal was sonst noch vor sich geht, aber diese Lösungen erfordern alle, dass die drei interessierenden Körper für alle Zeiten in derselben Ebene bleiben. Sie sind "Punkte" nur aus der Perspektive eines Koordinatensystems, das sich mit einem bestimmten Wert konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht ($\omega$) um den Massenmittelpunkt der drei Körper. Die drei Körper müssen entweder alle entlang einer Linie (L1, L2 und L3) oder an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks (L4 und L5) angeordnet sein. Es gibt noch viele andere seltsame und interessante Dinge, die in Mehrkörpersystemen passieren können, aber das sind die einzigen, die in dieser relativ einfachen Form genau beschrieben werden können.

Bei den Dreieckslösungen muss das Dreieck genau gleichseitig sein, also müssen die Körper immer gleich weit voneinander entfernt sein, aber die drei Massen können beliebige Werte haben. Wenn die drei Massen gleich sind, ist der Massenmittelpunkt des Dreiecks gleich weit von den drei gleichen Massen entfernt, sodass sich alle drei auf derselben kreisförmigen Umlaufbahn um ihn herum drehen, die einen Abstand von 120 Grad hat. Wenn die Massen ungleich sind, verschiebt sich der Schwerpunkt (Schwerpunkt) zu einem anderen Punkt als dem geometrischen Mittelpunkt (Schwerpunkt), sodass die Abstände der drei Massen zum Schwerpunkt nicht mehr gleich sind, sondern die Abstände der drei Massen zueinander müssen gleich bleiben. Die Positionen der Körper relativ zum Massenmittelpunkt sind per Definition gegeben$m_1 \r_1 + m_2 \r_2 + m_3 \r_3 = \mathbf{0}$; wenn die Vektoren zufällig so angeordnet sind, dass die drei Seiten des Dreiecks ($\r_1-\r_2$,$\r_2-\r_3$, und$\r_3-\r_1$) alle gleich lang sind, dann könnten die Bedingungen erfüllt sein. Die Sonderbahnen liegen vor, wenn sich die Geschwindigkeiten der drei Objekte zufällig auch so verhalten, dass die gleichseitige Form erhalten bleibt (mehr dazu weiter unten). In den speziellen Umlaufbahnen bewegt sich der schwerste Körper auf dem kleinsten Kreis (da der Schwerpunkt dem schwersten Objekt am nächsten liegt) und der leichteste auf dem größten Kreis, aber alle drei Kreisbahnen haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Dies steht im Gegensatz zu unserer üblichen Erfahrung, wo je weiter entfernt ein Körper ist, desto langsamer ist seine Winkelgeschwindigkeit; aber das ist eine Erwartung, die aus Keplers drittem Gesetz ($\omega^2 = GM/r^3$), und Keplers "Gesetze" gelten nur exakt in einem Zweikörpersystem . Die korrigierte Version, die genau im Fall des gleichseitigen Dreiecks mit drei Körpern zutrifft (die Version mit geraden Linien ist viel chaotischer), ist$\omega^2 = G(m_1 + m_2 + m_3)/r^3$, wo$r$ist der Abstand der drei Massen zueinander .

Wenn alle drei Massen in einer Linie liegen, werden die Gleichungen, die die zulässigen Bedingungen beschreiben, komplizierter. Da der Massenmittelpunkt auch auf dem Liniensegment liegen muss, das die drei Massen verbindet, befinden sich zwei der Massen auf einer Seite davon und drehen sich genau phasengleich zueinander, während die dritte um genau 180 Grad phasenverschoben mit der anderen rotiert zwei (im degenerierten Fall, wenn die Massenverhältnisse genau richtig angeordnet sind, könnte sich der mittlere Körper im Massenmittelpunkt befinden, in diesem Fall hat seine "Umlaufbahn" einen Nullradius, wobei die anderen beiden genau ausbalanciert sind, um ihn zu umkreisen) . Auch hier ist jede Umlaufbahn ein perfekter Kreis, wenn man sie in Bezug auf den Massenmittelpunkt betrachtet, aber wenn man versucht, sie als Pfade umeinander herum darzustellen, sind sie keine Kreise mehr. Die Körper in irgendeiner Reihenfolge nummerieren,$\i$vom Massenmittelpunkt entlang der Linie, as$\r_1=r\i$,$\r_2=(r+\xi)\i$, und$\r_3=(r+\xi+\xi\chi)\i$, und versuchen Sie zu lösen$\xi$und$\chi$in Bezug auf die Massen und$r$um herauszufinden, wo auf der Linie die drei platziert werden müssen. Einige Algebra-Ergebnisse führen zu einer Gleichung für die zulässigen Werte von$\chi$, welches ist

$$(m_1 + m_2)\chi^5 + (3m_1 + 2m_2)\chi^4 + (3m_1 + m_2)\chi^3 - (m_2 + 3m_3)\chi^2 - (2m_2 + 3m_3)\chi - (m_2 + m_3) = 0$$ Dies und entsprechende Gleichungen für$\xi$und$\omega$, sind die Quelle der "lustigen Konstanten", die in den Formeln für L1, L2 und L3 zu finden sind. Battins Kommentar lautet: „Die Bedingungsgleichung hat eine und nur eine positive Wurzel, wie aus der Tatsache ersichtlich ist, dass die Koeffizienten nur einmal das Vorzeichen wechseln. Es gibt jedoch insgesamt drei verschiedene geradlinige Lösungen, da zwei weitere durch eine zyklische Permutation erhalten werden können der Ordnung der Massen."

Es gibt eine Möglichkeit, Ellipsen wieder hineinzubekommen, wenn wir in Betracht ziehen, die Allgemeingültigkeit dessen, was bisher gekommen ist, zu maximieren. Sowohl im dreieckigen als auch im linearen Fall ist die zulässige Form der Positionen, die zu exakten Lösungen führen, eng durch die Verhältnisse der Entfernungen eingeschränkt, aber es gibt auch einen allgemeinen Skalierungsfaktor , mit dem wir noch nicht gespielt haben. Das heißt, für drei beliebige Massen, deren Positionen$\r_1$,$\r_2$, und$\r_3$einen der bisher beschriebenen Fälle für einen beliebigen Skalierungsfaktor erfüllen$\rho$, die Positionen$\rho\r_1$,$\rho\r_2$, und$\rho\r_3$erfüllen auch den gleichen Fall, obwohl die Rotationsgeschwindigkeit$\omega$muss als abnehmen$\rho$erhöht sich. Dies funktioniert unter bestimmten Bedingungen sogar dynamisch, wobei der Skalierungsfaktor mit der Zeit variiert. Insbesondere wenn wir nun ein mit variabler Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem betrachten$\omega=d\theta/dt$, die Konsistenzbedingungen an$\rho(t)$und$\theta(t)$erweisen sich als identisch mit der standardmäßigen keplerschen Zweikörperlösung! Die drei Umlaufbahnen der drei Massen um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt können jede gewünschte Exzentrizität haben, solange die drei Umlaufbahnen alle dieselbe Exzentrizität aufweisen und so abgestuft sind, dass das gleichseitige Dreieck oder die kollineare Anordnung zusammenwächst und schrumpft, wenn sie rotieren zusammen, über das Vertraute

$$\frac{d}{dt} \left( \rho^2 \frac{d\theta}{dt} \right) = 0 \,\,\, \mathrm{and}\,\,\, \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = -\frac{\mu}{\rho^2}$$ Bei mehr als drei Körpern stimmen alle diese Gleichungen nicht mehr; aber wenn die Massen von allem anderen sehr klein sind im Vergleich zu den großen Drei, dann werden sie zumindest für die großen Drei selbst ungefähr richtig bleiben. Dies ist im Wesentlichen die gleiche Aussage wie die Aussage, dass die Keplerschen Gesetze, die nur im Fall von nur zwei Punktmassen exakt wahr sind, ungefähr richtig bleiben, wenn eine Vielzahl kleiner Korrekturterme hinzugefügt werden. Ich kenne kein tatsächliches Drei-Sterne-System, das auch nur annähernd die Struktur hat, die für exakte Drei-Körper-Langrange-Lösungen erforderlich ist, um sie überhaupt gut zu beschreiben, aber wenn Sie eine Science-Fiction-Geschichte über Lagrange Drei- Körper umkreist, wäre es eine unterhaltsame Art, die drei Sterne aufzustellen und Dinge mit relativ vernachlässigbarer Masse in ihrem Gravitationsfeld bewegen zu lassen.