Wie stark wirkt sich die Masse eines Fahrradreifens auf die Beschleunigung aus?

Ein paar vereinfachende Annahmen:

• Ich werde jede in der Fahrradkette gespeicherte Rotationsenergie ignorieren, die ziemlich klein sein sollte und sich nicht ändern würde, wenn Sie Fahrradreifen wechseln
• Ich werde 50 cm für den Radius des Fahrradreifens verwenden. Das ist wahrscheinlich etwas groß und Ihr Fahrrad wird wahrscheinlich einen anderen Radius haben, aber es erleichtert meine Berechnungen, also so. Ich werde trotzdem eine Formel hinzufügen.
• Ich gehe davon aus, dass der Fahrer den Rädern ein festes Drehmoment verleiht. Dies ist nicht ganz richtig, insbesondere wenn das Fahrrad unterschiedliche Gänge hat, aber es vereinfacht unsere Berechnungen, und noch einmal, das bereitgestellte Drehmoment ändert sich nicht, wenn Sie das Gewichtsprofil des Reifens ändern

Okay, analysieren wir jetzt unser idealisiertes Fahrrad. Wir werden das Ganze haben$m$jedes der beiden Räder konzentriert auf den Radius$R$der Reifen. Der Radfahrer und das Fahrrad haben eine Masse$M$. Das Fahrrad bewegt sich vorwärts, wenn der Radfahrer ein Drehmoment bereitstellt$\tau$zum Rad, das ohne Schlupf über den Boden rollt, mit den rutschfesten Bedingungen$v=R\omega$Und$a=\alpha R$erfordert eine Vorwärtsreibungskraft$F_{fr}$auf dem Fahrrad.

Rotationsbedingt haben wir mit dem Reifen:

$$\begin{align*} I\alpha &= \tau - F_{fr}R\\ mR^{2} \left(\frac{a}{R}\right)&=\tau-F_{fr}R\\ a&=\frac{\tau}{mR} - \frac{F_{fr}}{m} \end{align*}$$

Was großartig wäre, um die Beschleunigung des Fahrrads vorherzusagen, wenn wir die Größenordnung kennen würden$F_{fr}$, was wir nicht tun.

Aber wir können auch Newtons zweites Gesetz auf dem Fahrrad betrachten, das sich überhaupt nicht um das Drehmoment kümmert. Dort haben wir (der Faktor zwei ergibt sich aus zwei Reifen):

$$\begin{align*} (M+2m)a&=2F_{fr}\\ F_{fr}&=\frac{1}{2}(M+2m)a \end{align*}$$

Setzen wir dies in unsere erste Gleichung ein, erhalten wir:

$$\begin{align*} a&=\frac{\tau}{mR}-\frac{1}{m}\frac{(M+2m)a}{2}\\ a\left(1+\frac{M}{2m} +1\right)&=\frac{\tau}{mR}\\ a\left(\frac{4m+M}{2m}\right)&=\frac{\tau}{mR}\\ a&=\frac{2\tau}{R(4m+M)} \end{align*}$$

Nehmen wir also an, eine 75-kg-Radfahrer/Fahrrad-Kombination und ein 1-kg-Laufrad und einen Radius von 0,5 m für unser Laufrad. Das gibt$a=0.0506 \tau$. Eine Erhöhung der Masse des Radfahrers um 1 kg führt dazu, dass die Beschleunigung auf abnimmt$a=0.0500 \tau$. Eine Erhöhung der Masse der Räder um jeweils 0,5 kg führt zu einer Verringerung der Beschleunigung auf$a=0.0494$, oder ungefähr den doppelten Effekt des Hinzufügens dieser Masse zum Fahrer / Rahmen.

Dieses Ergebnis, z. B. eine Unze Gewicht an den Felgen, ist wie das Hinzufügen von zwei Unzen Rahmengewicht, gilt unabhängig von der Masse des Radfahrers/Fahrrads, dem Radradius oder dem Drehmoment des Fahrers. Um dies zu sehen, beachten Sie das

$$\begin{align*} \frac{da}{dm} &=\frac{-8\tau}{R(4m+M)^2}\\ \frac{da}{dM} &=\frac{-2\tau}{R(4m+M)^2} \end{align*}$$ Fügen Sie eine kleine Menge Masse hinzu $\delta m$zum rahmen ändert sich die beschleunigung durch $\delta m \frac{da}{dM}$während die Hälfte dieses Betrags zu jedem der Räder hinzugefügt wird, ändert sich die Beschleunigung um $\frac{1}{2} \delta m \frac{da}{dm}$. Das Verhältnis der Beschleunigungsänderungen ist $$\frac{\frac{1}{2} \frac{da}{dm}}{\frac{da}{dM}} = 2$$ unabhängig von den anderen Parameterwerten. Es ist nicht schwer zu sehen, dass dieses Ergebnis auch für Einräder und Trikes gilt (dh nicht von der Anzahl der Räder am Fahrrad abhängt).

Sie müssen Drehimpuls in die sich drehenden Räder bringen.

Die Energie eines rotierenden Objekts ist = I w^2 /2

Wobei I das Trägheitsmoment ist, das für einen Ring I = mr^2 /2 ist
und w die Winkelgeschwindigkeit in rad/s ist

Im Wesentlichen ist dies verschwendete Energie, da sie zusätzlich zu den 1/2 mv^2 von Fahrer + Fahrrad erzeugt werden muss.
Und da Sie zum Beschleunigen die Winkelgeschwindigkeit schnell erhöhen müssen, müssen Sie schnell viel Energie in die Winkeldrehung stecken, und da Sie nur eine begrenzte Leistung zur Verfügung stellen können, begrenzt dies die Änderungsrate von "w".