Was ist die Intuition hinter dem Lorentz-Faktor aus der Speziellen Relativitätstheorie?

Für mich persönlich ist die intuitivste Art, SRT zu verstehen, immer daran zu denken, dass in SRT das Intervall ist

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2=-c^2d\tau^2$$ muss unveränderlich sein. Aus dieser einfachen Formel scheint alles wie von selbst zu fließen. Insbesondere ist es leicht zu sehen, wie sich hieraus die Form des Lorentzfaktors ergibt, indem man verwendet $\frac{dx}{dt}=v\to dx=vdt$. Die Verwendung dieser Substitution gibt uns

$$c^2d\tau^2=dt^2(c^2-v^2)\to d\tau^2=dt^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\to d\tau=(\pm)dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=(\pm)\frac{dt}{\gamma}$$ Dies ist die Zeitdilatationsformel. Die Längenkontraktion kann ähnlich abgeleitet werden. Wenn Ihnen das gefällt, interessiert Sie vielleicht diese alte Frage von mir (obwohl Sie darauf achten müssen, nicht durch die Notationsunterschiede verwirrt zu werden).

So leiten Sie die Gleichung für die Zeitdilatation her.

Die in der speziellen Relativitätstheorie verwendete Metrik ist die Minkowski-Metrik:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

und das Grundprinzip der speziellen Relativitätstheorie ist das Linienelement$ds$ist eine Invariante, das heißt, alle Beobachter in allen Inertialsystemen messen, dass sie denselben Wert hat.

Angenommen, wir verwenden die Koordinaten$(t, x, y, z)$und wir beobachten ein Objekt, das sich mit Geschwindigkeit bewegt$v$im$x$Richtung (so$dy = dz = 0)$, Dann:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 \tag{1}$$

Aber wir erwarten die Position des Objekts in unseren Koordinaten,$x$, zu vergeben durch:

$$x = vt + x_0$$

und deshalb:

$$dx = vdt$$

und wenn wir dies in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 \tag{2}$$

Wechseln Sie nun zum Rahmen des sich bewegenden Objekts$(t', x', y', z')$. In diesen Koordinaten ist das Objekt also stationär$dx' = dy' = dz' = 0$So:

$$ds'^2 = -c^2dt'^2 \tag{3}$$

Wir begannen damit, dass alle Beobachter sich über den Wert des Linienelements und das bedeutet einig sind$ds = ds'$, also Gleichsetzen der Gleichungen (2) und (3) erhalten wir:

$$c^2dt'^2 = c^2dt^2 - v^2dt^2$$

Und beide Seiten durch dividieren$c^2$und ziehe die Quadratwurzel:

$$\begin{align} dt' &= dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\ &= \frac{dt}{\gamma} \tag{4} \end{align}$$

Und das ist die Grundlage der Zeitdilatation. Wenn wir die Zeit finden wollen$t'$einer Zeit entsprechend$t$dann integrieren wir einfach Gleichung (4), und weil$\gamma$ist eine Konstante, die integriert wird in:

$$t' = \int_0^t \frac{dt}{\gamma} = \frac{t}{\gamma}$$

Das ist die Gleichung, die wir alle kennen und lieben.

Dies mag wie eine umständliche Herleitung des Ergebnisses erscheinen, aber beachten Sie, dass diese Methode auf Situationen anwendbar ist, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Beziehung zwischen$dx$Und$dt$ist nicht linear, und das Integral wird schwieriger, aber die Arbeit ist genau die gleiche.

Anstatt die bereits erwähnten Gleichungen noch einmal aufzuwärmen, wollte ich zuerst das Michelson-Morley- Experiment behandeln. Michelson, Morley und sogar Lorentz waren tatsächlich in der Lage, beträchtliche Arbeit an der Vorhersage der erwarteten Existenz des Ätherwinds zu leisten . Die Grundlagen der zugrunde liegenden Gleichungen waren zu diesem Zeitpunkt stark.

Der Schock über die Entdeckung, dass es keinen Ätherwind gab, war wirklich enorm. Die Maschinerie zur Erklärung der Situation, die Fitzgerald -Lorentz-Längenkontraktionshypothese , erklärte jedoch schnell, was geschah, aber ohne eine Theorie wie die Relativitätstheorie gab es wirklich keine Grundlage dafür, zu verstehen, warum dies der Fall war.

Aus rein mathematischer Sicht besteht der Trick darin, von kreisförmigen Winkeln zu hyperbolischen Winkeln zu wechseln, wobei zu verstehen ist, dass die Lorentz-Kontraktion in Bezug auf hyperbolische Funktionen verstanden wird .

Hyperbolische Beziehungen sind in der Physik üblich und treten an mehreren Stellen auf, von der Relativitätstheorie bis zur Heisenberg-Unschärfe.

Für die Mathematik würde ich auf die Links und vorherigen Posts verweisen, aber dies sollte Ihrer Intuition hoffentlich ein wenig helfen.

Ich würde sagen, die Intuition ist die einfache Beobachtung (von Einstein, Lorentz, Poincare und anderen) dieser 2 Dinge:

1. Lichtgeschwindigkeit ($c$) Ist$c$-konstant über Zwischenrahmen (extrapoliertes Ergebnis aus Maxwell-Lorentz-Gleichungen )

2. Die Lichtgeschwindigkeit ($c$) ist eine Obergrenze für jede andere Geschwindigkeit, die ein materieller Körper oder ein Signal erreichen kann (in der Tat$c$nimmt in der Mathematik eine ähnliche Rolle ein wie die Unendlichkeit)

Diese beiden leiten die relativistische Geschwindigkeitsadditionsformel und die Lorentz-Transformationen ab , die die Galilei-Transformationen ersetzen.

Dann kann man basierend auf den Lorentz-Transformationen eine Minkowski-Raumzeit definieren, die geometrisch dadurch gekennzeichnet ist, dass sie das unendlich kleine Intervall hat:

$$ds^2 = -(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

eine Invariante der Geometrie.