Wie variiert die Steiggeschwindigkeit mit der Dichte/Druckhöhe?

Bei Propellerflugzeugen ist die Steigrate eine Funktion von

• verfügbare Leistung
• verlangte Macht
• Gewicht
• Luftdichte
• Flügel heben

Fünf Variablen, und der Flügelauftrieb selbst ist eine Funktion der Mach-Zahl, der Reynolds-Zahl, der Flügel-AoA und der Flügelfläche. Die verfügbare Leistung ist eine Funktion der Luftdichte, der Drosselklappenstellung, des Propellereinfalls - die angeforderte Leistung eine Funktion der Luftgeschwindigkeit, der Luftdichte, des Anstellwinkels, der Mach- und Reynolds-Zahlen. Insgesamt also eine sehr große Matrix unabhängiger Variablen - um Gleichungen über eine Analyse zu finden, müssen wir einige Annahmen und Vereinfachungen treffen. Zum Beispiel, dass der Schubvektor des Flugzeugs einigermaßen horizontal bleibt, damit$T \cdot sin(\Gamma)$ist nahe Null und kann vernachlässigt werden. Auch dieser Auftrieb = Gewicht während des Aufstiegs.

Für den stetigen Anstieg wird die Gewichtsgleichung dann

$$W = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho V^2 \cdot S \Rightarrow V = \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{1}{C_L}} \tag{1}$$

Für den Luftwiderstand im Horizontalflug:

$$D_h = C_D \cdot \frac{1}{2}\rho V^2 \cdot S = \frac{C_D}{C_L} \cdot W \tag{2}$$

und die erforderliche Leistung im Horizontalflug$(P_r)_h$wird:

$$(P_r)_h = D_h \cdot V = W \cdot \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{3}$$

Die Kraft, die erforderlich ist, um die Steiggeschwindigkeit aufrechtzuerhalten$C$Ist$W \cdot C$und verfügbare Leistung$P_a = (P_r)_h + W \cdot C$, somit:

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_C}{W} \tag{4}$$
Kombiniere (3) und (4):

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_a}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} = \frac{\eta \cdot P_{br}}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{5}$$

Das obige Bild zeigt eine Grafik von$P_{br}$der P&W Wasp: Funktion von Ladedruck und Höhe. Dieser Motor hatte einen Turbolader für verbesserte Höhenleistung, die Motoren von GA-Flugzeugen haben diese möglicherweise nicht. Diagramme von Verstellpropellern zeigen einen Propellerwirkungsgrad$\eta$von etwa 0,8.

Wie dies mit der in OP gezeigten Grafik zusammenhängt:

• Die Gleichungen beinhalten die Luftdichte$\rho$. Dies ist eine Funktion des statischen Drucks und der Temperatur: Eine Gleichung zur Umrechnung in statischen Druck und umgekehrt finden Sie hier.
• Die verfügbare Leistung für einen normal angesaugten Kolbenmotor nimmt in Abhängigkeit von der Höhe etwa entsprechend ab$\frac{({P_{br}})_h}{({P_{br}})_o} = (1 + c) \frac{\rho_h}{\rho_o}$. Tests an einigen amerikanischen Kolbenmotoren zeigten, dass für viele von ihnen ein Wert von$C$= 0,132 angemessen wäre, siehe Abbildung unten, die auch die Höhen-Leistungs-Funktion eines Kolbenmotors mit Kompressor zeigt.

Alle Referenzen und Bilder aus einem Universitätslehrbuch, nur Papierexemplar.

Die Steigrate hängt von der überschüssigen Leistung ab, die verfügbar ist, nachdem der Luftwiderstand vom Nettoschub abgezogen wurde. Bleibt das Flugzeug beim Steigflug am gleichen Polarpunkt, muss es beschleunigen, um die Abnahme der Luftdichte auszugleichen. Daher muss neben dem Luftwiderstand auch diese Beschleunigungsarbeit abgezogen werden, bevor der verbleibende Schub zum Steigen genutzt werden kann.

Lassen Sie uns zunächst die Begriffe klären:

X$_g$, j$_g$, z$_g$: Erdfestes Koordinatensystem
x$_f$, j$_f$, z$_f$: Flugzeugfestes Koordinatensystem
x$_k$, j$_k$, z$_k$: Kinetisches Koordinatensystem, wobei x die Bewegungsrichtung
L ist$\;\;$:
D anheben$\;\;$:
T ziehen$\;\;$: Stoß
m$\;\:$: Masse
$\alpha\;\;$: Anstellwinkel (zwischen den x-Achsen des flugzeugfesten und kinetischen Koordinatensystems)
$\gamma\;\;$: Flugbahnwinkel (zwischen den x-Achsen des erdfesten und kinetischen Koordinatensystems)
$\sigma\;\:$: Schubwinkel relativ zum flugzeugfesten Koordinatensystem
$v_{\infty}$: Fluggeschwindigkeit

Der Polarpunkt sollte derjenige für die optimale Steiggeschwindigkeit sein . Es gibt auch einen für den optimalen Steigwinkel , aber diese Vereinfachung ist gerechtfertigt. Es hilft auch, die Mathematik zu vereinfachen, da Propellerflugzeuge am besten am Polarpunkt steigen, wo die minimale Leistung erforderlich ist, um den Flug aufrechtzuerhalten. Dies ist bei

$$c_L = \sqrt{3\cdot c_{D0}\cdot AR\cdot\pi\cdot\epsilon}$$ mit
$c_L\;\;$: Auftriebskoeffizient
$c_{D0}$: Nullauftriebswiderstandsbeiwert
$AR$: Flügelseitenverhältnis
$\epsilon\;\;$: Flügeleffizienzfaktor

Der Nullauftriebswiderstandsbeiwert von Propellerflugzeugen liegt bei etwa 0,025 bis 0,04, wobei der hohe Wert für Flugzeuge mit festem Fahrwerk und der niedrigere für solche mit Einziehfahrwerk gilt. Sie nimmt mit der Höhe leicht zu, da die Reynolds-Zahl aufgrund des Temperaturabfalls abnimmt. Hier müssen Sie einen Wert auswählen, der für jedes spezifische Flugzeug geeignet ist.

Am gleichen Polarpunkt zu bleiben bedeutet auch, dass das Gewicht nur die Geschwindigkeit beeinflusst, mit der das Flugzeug am besten steigt, nicht den Auftriebskoeffizienten. Die Geschwindigkeit$v$ändert sich mit der Quadratwurzel der Gewichtsdifferenz, weil

$$v = \sqrt{\frac{m\cdot g}{\frac{\rho}{2}\cdot S_{ref}\cdot c_L}}$$ mit $S_{ref}$der Referenzbereich des Flugzeugs ist und $\rho$die Luftdichte.

Neben dem Korrekturterm$C$zur Beschleunigung. Sie hängt von der örtlichen Schallgeschwindigkeit ab, der Gaskonstante für feuchte Luft$R_h$und der Temperaturgradient (Abfallrate$\Gamma$) der Atmosphäre. Diese Antwort erklärt im Detail, wie es berechnet wird, und ich wiederhole hier nur das Ergebnis für atmosphärische Standardbedingungen:

$$C = 1 - 0.13335\cdot Ma^2 + \frac{(1+0.2\cdot Ma^2)^{3.5}-1}{(1+0.2\cdot Ma^2)^{2.5}}$$ mit $Ma$ist das Verhältnis zwischen Fluggeschwindigkeit und lokaler Schallgeschwindigkeit.

Jetzt Ihre Steiggeschwindigkeit$v_z$wird

$$v_z = \frac{v}{C}\cdot sin\gamma = \frac{v}{C}\cdot\frac{T\cdot cos(\sigma)-D}{m\cdot g} = \frac{P\cdot\eta_{prop}\cdot cos(\sigma) - D\cdot v}{C\cdot m\cdot g}$$ mit $\eta_{Prop}$der Propellerwirkungsgrad u $P$die Motorbremsleistung bei der gegebenen Höhe und Gaseinstellung.

Dies hinterlässt eine Reihe unbekannter Variablen, um die Steigrate korrekt zu berechnen:

• Motorleistung
• Nullauftriebswiderstandsbeiwert eines Flugzeugs
• Propeller-Effizienz

Daher ist es am besten, die möglichen Steiggeschwindigkeiten in verschiedenen Höhen und Leistungseinstellungen von jedem POH nachzuschlagen und zwischen diesen Werten zu interpolieren. Oder Sie begnügen sich mit einer Annäherung und verwenden Faustregelwerte für die unbekannten Parameter.

• für$\epsilon$0,8 annehmen
• für$\sigma$null annehmen
• für$c_{D0}$Nehmen Sie 0,026 in niedriger und 0,03 in großer Höhe für ein eingefahrenes Fahrwerk und 0,035 in niedriger und 0,04 in großer Höhe für festes Fahrwerk an.
• für$D$verwenden$\left(c_{D0} + \frac{c_L^2}{AR\cdot\pi\cdot\epsilon} \right) \cdot\frac{\rho\cdot v^2\cdot S_{ref}}{2}$
• für$\eta_{Prop}$Verwenden Sie 0,75 für einen festen Pitch und 0,8 für einen Propeller mit konstanter Geschwindigkeit.
• bei normal angesaugten Motoren die Leistung proportional zur Dichte reduzieren. Bei aufgeladenen Motoren gehen Sie bis zu ihrer kritischen Höhe von konstanter Leistung aus und reduzieren die Leistung proportional zur Dichte darüber. Lassen Sie die Benutzer Ihres Programms die Gaseinstellung selbst vornehmen.

Wenn Ihnen Leistungsdiagramme zur Verfügung stehen, vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit veröffentlichten Zahlen und optimieren Sie die Variablen so, dass Sie eine gute Anpassung erhalten. Sehen Sie sich zum Beispiel die veröffentlichte optimale Steiggeschwindigkeit an und passen Sie sie an$c_{D0}$bis Ihr Ergebnis aus dem optimalen Auftriebsbeiwert übereinstimmt. Usw. Dies sollte Ihnen sehr brauchbare Ergebnisse liefern.