Warum muss eine physikalische Theorie mathematisch in sich widerspruchsfrei sein?

Seit der Zeit von Newton geht es in der Physik darum, die Natur zu beobachten, Beobachtungen mit Messungen zu quantifizieren und ein mathematisches Modell zu finden, das die Messungen nicht nur beschreibt/abbildet, sondern vor allem prädiktiv ist. Um dies zu erreichen, verwendet die Physik ein rigoroses selbstkonsistentes mathematisches Modell, das zusätzliche Postulate als Axiome auferlegt, um die Verbindung von Messungen mit der Mathematik in Beziehung zu setzen, und so eine Teilmenge der mathematischen Lösungen für das Modell auswählt.

Die Mathematik ist durch die Konstruktion eines mathematischen Modells selbstkonsistent. Sein Nutzen in der Physik besteht darin, dass es neue zu messende Phänomene vorhersagen kann. Wenn die Mathematik zusammengeflickt und inkonsistent wäre, wie könnten dann die Vorhersagen des Modells irgendeine Gültigkeit haben?

Es ist die Forderung nach Selbstkonsistenz, die die Falsifizierung eines vorgeschlagenen mathematischen Modells ermöglicht, indem es ungültige Zahlen vorhersagt. Das konsistente euklidische Modell der flachen Erde wird beispielsweise auf dem Erdball verfälscht. Dies führte zur sphärischen Geometrie als Modell des Globus. Der gesamte Forschungsaufwand zur Validierung des Standardmodells am LHC zum Beispiel besteht in der Hoffnung, dass es falsifiziert wird und ein Fenster für neue Theorien öffnet.

Die Antwort von @annav beschreibt bereits gut, wie physikalische Theorien funktionieren und wie sie Selbstkonsistenz erfordern. Dazu möchte ich einige Bemerkungen aus einer anderen Perspektive hinzufügen.

TL;DR Physikalische Theorien müssen in sich widerspruchsfrei UND konsistent mit der Beobachtung sein.

Mathematische Selbstkonsistenz

Erstens, wenn wir eine physikalische Theorie als ein mathematisches Axiomensystem (dh eine Reihe von Regeln) behandeln, muss sie selbstkonsistent sein, einfach weil sie sonst keinen Sinn mehr macht. Hier ist ein Beispiel für ein Regelwerk, das nicht selbstkonsistent ist :

1. Der Himmel ist blau.

2. Der Himmel ist grün.

Nun, das macht keinen Sinn. Ich weiß, das Beispiel ist albern, aber das soll nur den Punkt veranschaulichen. Selbstkonsistenz bedeutet nur, dass es keine Regeln gibt, die sich widersprechen.

Was die Physik versucht

Die Physik versucht, solche Regeln zu finden, die beschreiben, was wir in der Natur sehen. Natürlich gibt es unterschiedliche philosophische Standpunkte darüber, wie viele Regeln es geben sollte, wie viele Parameter wir eingeben können (z. B. versucht die Stringtheorie, das zu reduzieren) und so weiter. Aber so oder so wollen wir eine Reihe von Regeln, die beschreiben, was wir sehen. Zitat aus der Frage:

Ich verstehe die Notwendigkeit strenger mathematischer Grundlagen, aber in der Physik haben wir Experimente, die entscheiden, was wahr ist und was nicht.

Das stimmt natürlich. Dies ist aber eine zusätzliche Anforderung an das Regelwerk. Sie müssen auch mit dem Experiment vereinbar sein . Der wichtigste Punkt, den ich zu machen versuche, ist: Wie könnten wir möglicherweise erreichen, dass die Regeln mit Experimenten übereinstimmen, wenn sie nicht einmal mit sich selbst übereinstimmen?

Wenn die einzigen mathematischen Aussagen, die in einer physikalischen Theorie zugelassen würden, solche wären, die einen unmittelbaren empirischen Inhalt hätten (dh sie könnten durch ein eindeutiges Experiment überprüft werden), dann hätte man sehr gute Gründe dafür. Wieso den? Denn die Konsistenz der Erfahrungswelt würde die Konsistenz des mathematischen Formalismus garantieren. Ende der Geschichte.

In Wirklichkeit aber ist die einer physikalischen Theorie zugrunde liegende Mathematik ein ausgeklügeltes Gerüst, das nur an ausgewählten Stellen mit empirischen Fakten in Berührung kommt.

Hier ist, was ich meine ...

Sie können die Einheitsgruppe nicht messen$U_t=\exp(iHt)$erzeugt zum Beispiel durch den Hamilton-Operator eines Quantensystems; Was Sie tatsächlich messen, ist ein Histogramm relativer Häufigkeiten von Ergebnissen, die mit dem Quadrat einer Wellenfunktion verglichen werden$|\psi(x)|^2$deren Form zu jeder Zeit durch ein unsichtbares mathematisches Gerüst bestimmt wird ($\psi_t(x)=U_t\psi_0(x)$in diesem Fall).

Wenn es im nicht-empirischen Teil eines mathematischen Rahmens eine Inkonsistenz gibt, ist es (per Definition) möglich, widersprüchliche empirische Vorhersagen zu treffen. Und das, da werden Sie mir sicher zustimmen, ist ein Problem.

Das soll natürlich nicht heißen, dass wir mit einer mathematisch inkonsistenten Theorie in der Physik nicht fertig werden. Geben Sie die Quantenfeldtheorie ein! Die Stellen, an denen eine mathematische Inkonsistenz bestehen könnte, müssen jedoch sorgfältig abgegrenzt und präzise Protokolle vorgeschrieben werden, um sicherzustellen, dass zwei Personen, die dieselbe Theorie verwenden, um dasselbe Problem zu lösen, dieselben empirischen Vorhersagen treffen.

Wenn Theorien nur verwendet würden, um zu beschreiben, was wir bereits wissen und beobachten, müssten sie vielleicht nicht selbstkonsistent sein; sie könnten sogar einfach zu großen Listen von beobachteten Phänomenen degenerieren. So sah die Wissenschaft vor 5000 Jahren in Sumer aus. Wenn wir wollen, dass physikalische Theorien prädiktiv sind, müssen sie in dem Sinne selbstkonsistent sein, dass sie dieselben (gültigen) Vorhersagen treffen müssen, unabhängig davon, wie Sie mathematisch damit arbeiten. Unter der Annahme einer ordnungsgemäßen Domänenabgrenzung sollten sie auch miteinander kompatibel sein, sodass mathematische Argumente nahtlos über eine Reihe physikalischer Phänomene hinweg funktionieren können. Dann haben wir vielleicht das Gefühl, dass wir etwas Tiefes berührt haben, das mit der Natur der Realität selbst zusammenhängt. Die Physik basiert auf der Idee, dass das, was wir beobachten, mehr ist als oberflächliche Korrelationen.

Mathematische Theorien, die nicht konsistent sind, beweisen widersprüchliche Dinge (dies ist nur eine Aussage über Mathematik und was es bedeutet, widersprüchlich zu sein, hat nichts mit Physik im Besonderen zu tun).

Wir wollen keine physikalischen Theorien, die widersprüchliche Dinge vorhersagen. Idealerweise wollen wir keine Theorien, die falsche Vorhersagen machen , aber wenn unsere Theorie zwei oder mehr widersprüchliche Vorhersagen über dieselbe Beobachtung macht, dann ist eine davon falsch, also ist die Theorie falsch.

Deshalb wollen wir keine physikalischen Theorien, die mathematisch widersprüchlich sind.

Es ist sogar noch schlimmer – in einer widersprüchlichen Theorie, die klassische Logik verwendet, ist jede Aussage ein Theorem. Es ist also nicht nur so, dass ein inkonsistentes Modell einige falsche Vorhersagen macht, es macht jede falsche Vorhersage, die Sie sich vorstellen können, und es macht auch jede richtige Vorhersage, die Sie sich vorstellen können. Das macht es für Physik nutzlos, da es Ihnen in keiner Weise hilft, zwischen wahren und falschen Dingen zu unterscheiden.

Es gibt nicht standardmäßige Logiken, die einige Widersprüche zulassen, ohne dass einem das Ganze um die Ohren fliegt, und es kann sein, dass einige Physiker davon erfolgreich Gebrauch gemacht haben, ich weiß es nicht. Wenn ja, dann gibt es vielleicht einige besondere Ausnahmen von der Regel „Physikalische Theorien müssen konsistent sein“, aber die meisten Physiker verwenden Standardlogik und können daher mit einer inkonsistenten Theorie nichts Nützliches anfangen.

Physik ist die Kunst, unser Wissen über das Universum zu komprimieren.

Immer wenn wir zwei massive Körper nahe beieinander halten (oder sie nahe beieinander bemerken), scheinen sie sich aufeinander zu zu bewegen. Nun könnten wir einfach die Tatsache festhalten, dass sich jeder massive Körper (einzeln) auf jeden anderen massiven Körper (einzeln) zubewegt. Dies ist eine große Menge an Informationen.

Wenn wir uns eine Komprimierungsstrategie ausdenken, sagen wir ein Gesetz der Schwerkraft, erhalten wir eine Beschreibung der Situation, die weitaus weniger Informationen verwendet, aber dennoch beschreibt, was vor sich geht. Wir brauchen nicht mehr mühsam die Position und Anziehungskraft jedes beobachteten massiven Körpers und ihre Tendenz, aufeinander zu zu beschleunigen, zu beschreiben, sondern wir schätzen ihre Masse und sagen: "Das Gravitationsgesetz gilt für alles, was Masse hat".

Dies ist eine fantastische Menge an Komprimierung in unserer Beschreibung des Universums und der Vorhersage, was es als nächstes tun wird.

Wiederholen Sie diesen Vorgang viele Male, und Sie erhalten moderne Physik, in der unsere Beobachtungen auf Gleichungen und Algorithmen herunterdestilliert werden, was bedeutet, dass wir nicht nur alle unsere Erfahrungen und Vorhersagen auflisten müssen, sondern „punten“ und sagen „benutzen Sie diese Tricks “, und das Universum scheint zumindest viel einfacher zu sein.

In komplexen Situationen funktionieren die Algorithmen und Gleichungen oft nicht gut (da es in dieser Größenordnung schwierig ist, sie "vollständig" zu bewerten). Aber mit bestimmten Annahmen können wir Regeln erstellen, die auf verschiedenen Skalen ziemlich gut funktionieren , wie das ideale Gasgesetz und Anpassungen daran.

Wir können dies verwenden, um unsere Techniken im kleinen Maßstab zu validieren, indem wir sehen, ob wir die Regeln im großen Maßstab aus den Regeln im kleinen Maßstab ableiten können. Wenn dem so ist, dann sind die großen keine zusätzlichen Regeln, sondern nur Folgen der kleinen.

Wenn sich andererseits herausstellt, dass die Regeln im großen Maßstab keine Folgen der Regeln im kleinen Maßstab sind, bedeutet dies, dass die Regeln im kleinen Maßstab auf eine Weise fehlerhaft sind, die wir noch nicht verstehen. Dies impliziert, dass die Qualität ihrer Komprimierung weniger als perfekt ist, und es möglicherweise neue Regeln gibt, die es uns ermöglichen könnten, die tatsächlichen Regeln im großen Maßstab daraus abzuleiten.

Wenn Sie eine inkonsistente Theorie haben, bedeutet dies, dass ihre Verwendung manchmal Dinge vorhersagt, die wir nicht erleben. Dies macht es zu einem schlechteren Komprimierungsalgorithmus, da Sie jetzt sowohl über den Algorithmus sprechen müssen als auch darüber, wo er nicht zutrifft. Zu beschreiben, wo es nicht zutrifft, ist zusätzliche Information und erfordert möglicherweise ein eigenes Muster: Wenn Sie jeden Fall einzeln beschreiben müssen, in dem es nicht zutrifft, ist diese Komprimierung kaum besser als nur eine Sammlung von Beobachtungen und Vorhersagen ohne zugrunde liegende Theorie .

Eine konsistente Theorie gibt Ihnen also die Möglichkeit, das Universum (Gegenwart und Zukunft) prägnanter zu beschreiben als eine inkonsistente.

Eine physikalische Theorie verwendet mathematische Objekte, um physikalische Systeme zu modellieren. Grob gesagt besteht die Theorie aus (a) Regeln, wie diese Objekte mit den Anfangsbedingungen eines Experiments in Beziehung gesetzt werden, (b) mathematischen Behauptungen über Eigenschaften, die das Modell haben muss, und (c) einer Beschreibung, wie mathematische Eigenschaften von das Modell führt zu überprüfbaren Vorhersagen über den Ausgang eines Experiments.

Von diesen Teilen (b) ist das, was als "mathematischer Inhalt" der Theorie angesehen werden kann. Bei der Newtonschen Mechanik besteht das Modell beispielsweise aus Funktionen, die die Positionen und Orientierungen verschiedener Körper als Funktionen einer Zeitvariablen angeben, und anderen Funktionen, die zeigen, woher die Kräfte kommen, und$F=ma$ist dann eine Anforderung, dass die verschiedenen Funktionen, aus denen das Modell besteht, in einer bestimmten Weise zusammenhängen.

Eine Theorie, die insofern nicht selbstkonsistent ist, als die Regeln aus Teil (b) dem Modellobjekt so viele Einschränkungen auferlegen, dass es tatsächlich kein mathematisches Objekt gibt, das alle erfüllt .

Es ist nicht ungewöhnlich, dass solche Theorien praktisch nützlich sein können, indem es Theoretikern gelingt, Vorhersagen aus ihnen herauszuholen, die Experimenten standhalten – aber die Situation ist unbequem, weil es mathematisch wahr ist, dass die Beschreibungen in (c) nichtssagend wären , zu irgendeiner Vorhersage über ein bestimmtes Experiment führen. Wir erhalten aus der Theorie nur funktionierende Vorhersagen, weil sich die Theoretiker auf bestimmte besondere Argumentationsweisen beschränken und nicht auf "alles, was eine mathematisch gültige Schlussfolgerung aus den Regeln in Teil (b) ist". Diese Einschränkungen, welche Art von Argumentation von der Theorie "erlaubt" wird, werden im Allgemeinen weder explizit angegeben noch von den Benutzern oder Herstellern der Theorie vollständig verstanden.

Physikalische Theorien sind keine Sammlung mathematischer Axiome, sie sind Versuche, die Natur zu beschreiben.

Nicht nur das. Auch physikalische Theorien sollen Vorhersagen treffen. Dies ist Teil der wissenschaftlichen Methode. Man erwartet nicht, neue Phänomene vorherzusagen - die später verifiziert werden können - unter Verwendung einer nicht selbstkonsistenten Theorie. Wir können nicht betrügen. Nach konsequenter Mathematik war Dirac in der Lage, Antiteilchen, Higgs, das Higgs-Boson und Einstein die Gravitationswellen vorherzusagen.

Ist es sinnvoll, davon zu sprechen, dass die Thermodynamik selbstkonsistent ist?

Nur um ein Beispiel zu nennen: Zu Beginn des 20. Jahrhunderts kannten die Menschen die wichtigsten Ergebnisse der Thermodynamik. Wenn Sie damals einen Studenten fragten, was die Temperatur ist, würde er wahrscheinlich sagen, dass dies das Maß für die thermische Bewegung der Moleküle ist. Aber man erhält dieses Ergebnis durch Vergleich der durch die kinetische Theorie und durch das ideale Gasgesetz berechneten Drücke. Die Sache ist die, dass die Temperatur ausgiebig verwendet wurde, bis sie im idealen Gasgesetz auftaucht. Es ist also nicht logisch konsistent, eine physikalische Größe zu verwenden, um zu einem Ergebnis zu gelangen und basierend auf diesem Ergebnis diese Größe zu definieren. Um die Thermodynamik in sich konsistent zu machen, muss man am Anfang die Temperatur definieren, und genau das tut das nullte Gesetz.

Kurz gesagt: Selbstkonsistenz ist erforderlich, weil wir von der Natur erwarten, dass sie sich an Gesetze hält, die mathematisch beschreibbar sind. Mathematische Beschreibungen müssen per definitionem in sich widerspruchsfrei sein.

Theoretische Physik ist der Versuch, ein System (eine Teilmenge der Natur) mathematisch zu beschreiben , wobei gewisse Annahmen und ggf. Idealisierungen getroffen werden. Anders gesagt, die Sprache der Theoretischen Physik ist die Mathematik. Grob gesagt braucht man eine Axiomatisierung des Begriffs von Zuständen , Observablen und einem dynamischen Gesetz . Die meisten physikalischen Theorien haben mehr als eine äquivalente Beschreibung (z. B. ist das Newtonsche Bewegungsgesetz äquivalent zu der Hamiltonschen Formulierung, die wiederum äquivalent zu einem Prinzip der kleinsten Wirkung ist).

Was einem Satz mathematischer Gleichungen Bedeutung verleiht, ist, dass Sie Vorhersagen für experimentelle Ergebnisse extrahieren können, und wenn diese Vorhersagen tatsächlich im Experiment bestätigt werden, dann sagen Sie, dass dieser Satz von Gleichungen Ihre Systeme beschreibt. Die Annahmen und Idealisierungen bestimmen auch den Gültigkeitsbereich: Sie erwarten nicht, dass die nicht-relativistische Quantenmechanik die Experimente am LHC genau beschreibt. Natürlich kann es vorkommen, dass ein einziger Satz von Gleichungen möglicherweise nicht alle Merkmale Ihres Systems beschreiben kann, und das liegt daran, dass verschiedene Effekte den Gültigkeitsbereich einer einzelnen Theorie überschreiten können. Beispielsweise lässt sich die Unmöglichkeit von Perpetuum Mobile aus dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ableiten , also wennwir in der Lage waren, einen zu bauen, dann würden wir daraus schließen, dass das Zweite Gesetz falsch wäre. Der Grund, warum Physiker den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik für selbstverständlich halten, liegt darin, dass er immer wieder experimentell getestet und für richtig befunden wurde.

Ungereimtheiten in Ihrer mathematischen Formulierung sind problematisch, wenn sie dazu verwendet werden können, widersprüchliche Vorhersagen zu treffen. Natürlich müssen nicht alle mathematischen Inkonsistenzen mit physikalischen Vorhersagen verknüpft sein, aber normalerweise weisen mathematische Inkonsistenzen auf Fehler in Ihrer theoretischen Beschreibung Ihres physikalischen Systems hin – und auf ein mangelndes Verständnis bestimmter Facetten. Das Wissen um mathematische Inkonsistenzen kann also für Physiker nützlich sein, weil es sie darüber informiert, in welche Richtung sie weiter forschen müssen.

Gute Frage. Ist die Viele-Welten-Interpretation mit ihrem Beharren auf Selbstkonsistenz und Schlussfolgerungen wie der, dass die Schwerkraft quantifiziert werden muss, wirklich der Kopenhagener Interpretation vorzuziehen, die in diesen Dingen einfach agnostisch bleibt? Ein Vorteil des Beharrens auf Selbstkonsistenz besteht darin, dass die Theorie falsifizierbarer wird, weil es ausreicht, eine ihrer Schlussfolgerungen zu widerlegen, um die Theorie selbst zu widerlegen. Ein weiterer Vorteil ist die Möglichkeit, die Theorie durch eine „fiktive Realität“ zu interpretieren, wie H. Dieter Zeh darauf hingewiesen hat.

Andererseits sollten wir anerkennen, dass die agnostische Position der Kopenhagener Interpretation ehrlicher ist in Bezug auf das, was wir wirklich wissen, und auch ehrlicher in Bezug auf die möglichen Konsequenzen einer Widerlegung der Theorie. Keine der praktischen Schlussfolgerungen, die wir aus der Quantenmechanik gezogen haben, wäre weniger gültig, wenn sie widerlegt würde, genauso wie keine der praktischen Schlussfolgerungen aus Newtons Theorie weniger gültig wurde, nachdem die Quantenmechanik ihre Grenzen aufgedeckt hatte. Die unbegründeten Extrapolationen aus Newtons Theorie wie Laplaces Dämon wurden sicherlich ungültig, aber diese hätten ohnehin vermieden werden sollen.

Wir können davon ausgehen, dass sowohl die Allgemeine Relativitätstheorie als auch die Quantenmechanik die physikalische Welt korrekt beschreiben, und diese Annahme nutzen, um Dinge wie die Hawking-Strahlung von Schwarzen Löchern vorherzusagen. Diese Vorhersage kann richtig oder falsch sein, aber sie wird nicht falsch, nur weil die kombinierte Theorie der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie nicht konsistent ist.