"Finden Sie die Nettokraft, die die südliche Hemisphäre einer gleichmäßig geladenen Kugel auf die nördliche Hemisphäre ausübt"

Dies ist Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 2.43, falls Sie das Buch haben.

Das Problem lautet: Finden Sie die Nettokraft, die die südliche Hemisphäre einer gleichförmig geladenen Kugel auf die nördliche Hemisphäre ausübt. Drücken Sie Ihre Antwort in Bezug auf den Radius aus$R$und die Gesamtgebühr$Q$. Hinweis: Ich werde sagen, dass seine einheitliche Ladung ist$\rho$.

Mein Lösungsversuch:

Meine Idee ist, das von der Südhalbkugel erzeugte Feld auf der Nordhalbkugel zu finden und das Feld zur Berechnung der Kraft zu verwenden, da das Feld eine Kraft pro Ladungseinheit ist.

Dazu beginne ich mit der Einführung einer Gaußschen Schale mit Radius$r < R$an der gleichen Stelle wie unsere Kugel zentriert. Dann in dieser Sphäre,

$$\int E\cdot\mathrm{d}a = \frac{1}{\epsilon_0}Q_{enc}$$

Was ist nun$Q_{enc}$? ich fühle mich wie$Q_{enc} = \frac{2}{3}\pi r^3\rho$, da wir nur die Ladung aus der unteren Hälfte der Sphäre zählen (der Teil, der sich auf der Südhalbkugel unserer ursprünglichen Sphäre befindet). (Vielleicht liegt hier mein Irrtum, soll ich die Ladung aus der ganzen Kugel zählen?, wenn ja warum?)

Mit dieser erhalten wir

$$\left|E\right|4\pi r^2 = \frac{2\pi r^3\rho}{3},$$ Also $$E = \frac{r\rho}{6\epsilon_0}.$$ Mit diesen berechne ich die Kraft pro Volumeneinheit als $\rho E$oder $$\frac{\rho^2 r}{6\epsilon_0}$$

Dann wissen wir durch Symmetrie, dass jede Nettokraft, die von der Unterseite auf die obere Schale ausgeübt wird, in der sein muss$\hat{z}$Richtung, so bekommen wir

$$F = \frac{\rho^2}{6\epsilon_0} \int^{2\pi}_0\int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^R_0 r^3\sin(\theta)\cos(\theta) \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

Integration bekommen wir$F = \frac{1}{4}\frac{R^4\rho^2\pi}{6\epsilon_0}$.

Jetzt fordert uns Griffiths auf, dies in Bezug auf die Gesamtgebühr auszudrücken, und dazu schreiben wir$\rho^2 = \frac{9Q^2}{16\pi^2R^6}$

Stecken Sie diese wieder ein$F$wir bekommen

$$F = (\frac{1}{8\pi\epsilon_0})(\frac{3Q^2}{16R^2})$$

Das Problem ist nun, dass dies um einen Faktor von abweicht$2$...

Ich habe versucht, zurückzublicken und den einzigen Ort, den ich sehe, wo ich irgendwie einen Faktor gewinnen könnte$2$ist die Stelle, die ich in der Lösung erwähnt habe, an der ich die gesamte Gebühr aufnehmen könnte, aber ich sehe nicht ein, warum ich die gesamte Gebühr aufnehmen sollte. Wenn dies der Grund ist, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, warum ich müssen die gesamte Gebühr enthalten.

Wenn das nicht der Grund ist und dieser Lösungsversuch vielleicht nur völliger Quatsch ist, würde ich mich freuen, wenn Sie mir sagen könnten, wie ich stattdessen vorgehen sollte, um dieses Problem zu lösen. (Aber Sie müssen es nicht vollständig für mich lösen.)