Wie ändert sich der Hubble-Parameter mit dem Alter des Universums?

Um die Hubble-Konstante zu berechnen, benötigen wir den Skalierungsfaktor ,$a(t)$. Dies ist ein Maß dafür, wie stark sich das Universum ausgedehnt hat. Wir nehmen den Skalierungsfaktor im aktuellen Moment als Eins an, also wenn$a = 2$Das heißt, das Universum hat sich doppelt so stark ausgedehnt wie jetzt. Ebenfalls$a = 0.5$bedeutet, dass sich das Universum nur halb so stark ausgedehnt hat wie jetzt. Die Hubble-Konstante wird anhand des Skalierungsfaktors berechnet ( siehe Antwort von Pulsar hier für Details ):

$$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \tag{1}$$

Rechnen wie$a$variiert mit der Zeit wird unter Verwendung der Gleichung durchgeführt (siehe erneut Pulsars Antwort):

$$t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}} \tag{2}$$

Die Berechnung ist nicht so schwer. Es gibt eine Google-Tabelle mit der Berechnung hier . Die Werte für die verschiedenen Parameter werden den Planck-Daten entnommen:

$$\begin{align} H_0 &= 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} &= 9.24\times 10^{-5},\\ \Omega_{M,0} &= 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} &= 0.685,\\ \Omega_{K,0} &= 0 \end{align}$$

Und die Ergebnisse sehen so aus:

Die Zeiteinheiten sind die aktuelle Hubble-Zeit,$1/H_0 \approx 14.5$Milliarden Jahre, also$1$auf der Zeitachse entspricht$14.5$Milliarden Jahre. Beachten Sie, dass die Linie nicht durch den Punkt verläuft$(1,1)$weil die aktuelle Hubble-Zeit größer ist als das Alter des Universums ,$13.798$Milliarden Jahre. Das liegt daran, dass sich die Expansion des Universums seit dem Urknall mit der Zeit verlangsamt hat.

In frühen Zeiten erwarten wir, dass der Skalenfaktor von Materie dominiert wird, und dies ergibt a$t^{2/3}$Abhängigkeit. In späteren Zeiten erwarten wir, dass der Skalierungsfaktor von dunkler Energie dominiert wird, und dies ergibt eine exponentielle Abhängigkeit von$t$. Die Grafik zeigt dies schön, wobei die Umstellung ungefähr eine halbe Hubble-Zeit dauert.

Als Nebensache ist es ein Schmerz, für den es keine analytische Formel gibt$a(t)$Also habe ich die folgende Funktion angepasst, um eine einigermaßen genaue Näherungsformel zu erhalten:

$$a(t) \approx c_1 t^{2/3} + c_2 \left( e^{t/c_3} - 1\right)$$

Die besten Anpassungswerte für die Koeffizienten waren:

$$\begin{align} c_1 &= 0.822 \\ c_2 &= 0.0623 \\ c_3 &= 0.645 \end{align}$$

Und die Passform sieht so aus:

Keine schlechte Passform, aber seien Sie vorsichtig, wenn Sie darüber hinaus extrapolieren$t = 2/H_0$.

Und schließlich können wir die Hubble-Konstante mit Gleichung (1) berechnen. Beachten Sie die logarithmische Skala - die Hubble-Konstante geht ins Unendliche als$t \rightarrow$Null.:

Und die Hubble-Zeit ist die gerechte$1/H_0$:

Die Diagramme zeigen, dass die Hubble-Konstante definitiv nicht konstant ist, obwohl sie zu einem späteren Zeitpunkt zu einem konstanten Wert tendiert. Dies liegt daran, dass die Spätzeitexpansion von dunkler Energie dominiert wird und die Expansion mit der Zeit exponentiell wird. Der exponentielle Anstieg bedeutet, dass es eine konstante Verdopplungszeit gibt (das Gegenteil eines exponentiellen Abfalls, bei dem es eine konstante Halbwertszeit gibt) und die Verdopplungszeit ist nur die Hubble-Zeit. Die Hubble-Zeit tendiert also zu einer Konstante.

Ich lasse den Beitrag hier. Wenn jemand Details darüber haben möchte, wie die Gleichungen (1) und (2) erhalten werden, kommentieren Sie und ich kann eine weitere Antwort mit den blutigen Details hinzufügen.

Eine kürzere Version von Johns Antwort, die sich nur darauf konzentriert, was in Zukunft mit dem Hubble-Parameter passiert.

Die Lösung der Friedmann-Gleichung in einem flachen Universum ist

$$H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda c^2}{3},$$ wo $\rho$ist die Materiedichte (einschließlich dunkler Materie) und $\Lambda$ist die kosmologische Konstante.

Während sich das Universum ausdehnt,$\rho$nimmt natürlich ab$a(t)^{-3}$, aber$\Lambda$bleibt konstant. Somit wird der erste Term auf der rechten Seite, wenn überhaupt, unwichtig$\Lambda$ist eine kosmologische Konstante.

Somit nimmt der Hubble-Parameter tatsächlich von seinem aktuellen Wert ab$H_0$und tendiert asymptotisch dazu$H = \sqrt{\Lambda c^2/3}$wenn die Zeit gegen unendlich strebt.

Eine bequemere Art, das Obige zu schreiben, besteht darin, alle Dichten als kritische Dichte auszudrücken. In welchem ​​Fall

$$H^2 = H_0^2 (\Omega_m a^{-3} + \Omega_{\Lambda}),$$ wo $H_0$ist der heutige Hubble-Parameter, $\Omega_m$ist das heutige Verhältnis der Materiedichte zur kritischen Dichte, die sich als inverse Kubikzahl des Skalenfaktors entwickelt $a$, und $\Omega_{\Lambda}$ist die (angenommene) konstante Energiedichte des Vakuums, ausgedrückt als Verhältnis zur kritischen Dichte.

Also als$a$groß wird, dann tendiert der Hubble-Parameter dazu$H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sim H_0 \sqrt{2/3}$.