Beugung durch kleine Löcher

Es stellt sich heraus, dass es eine ziemlich detaillierte Analyse dazu in Jackson, Classical Electrodynamics, Abschnitte 3.13, 5.13 und 9.5 gibt. Obwohl Jackson es mit quälenden Details unter Verwendung von Bessel-Funktionen und unendlichen Reihen tut, ist es eigentlich ziemlich einfach, die Grundideen herauszuarbeiten.

Betrachten Sie zunächst ein einfacheres Problem. Ein dünnes, leitendes Blatt in der$x-y$Ebene hat ein kreisförmiges Loch darin mit Radius$a$. Nehmen Sie an, dass das elektrische Feld in großen Abständen über der Platte eine gleichmäßige Größe hat$E_0$und ist im$z$Richtung, aber das Feld ist Null unter dem Blatt. Dann kann das Feld näher am Loch in zwei Begriffe zerlegt werden: einen für das Feld, das Sie hätten, wenn das Loch nicht da wäre, und einen anderen Begriff, der existiert, weil das Loch da ist. Bei ausreichend großen Abständen kann der zweite Term als der eines elektrischen Dipols angenähert werden$p$, die durch Symmetrie in der sein muss$z$Richtung und durch Linearität proportional sein muss$E_0$. Aus dimensionalen Gründen müssen wir haben$p \propto E_0 a^3$. (Die einheitslose Konstante der Proportionalität ergibt sich zu$1/3\pi$, aber das spielt für meine Zwecke keine Rolle.)

Eine ähnliche Analyse gilt für ein Magnetfeld in der$x$Richtung, wobei am Loch ein magnetischer Dipol erscheint. (Die Proportionalitätskonstante ist$2/3\pi$.)

Betrachten Sie nun eine elektromagnetische Welle mit Wellenlänge$\lambda$von oben herunterkommen. Wenn$\lambda$ist groß im Vergleich zu$a$, dann gelten die obigen elektrostatischen und magnetostatischen Ergebnisse immer noch zu einem bestimmten Zeitpunkt. Daher haben wir eine Dipolstrahlung, die aus dem Loch kommt, mit einer Amplitude proportional zu$a^3$und Macht$P$proportional zu$a^6$. Die Macht$P_0$Einfall auf das Loch ist proportional zu$a^2$, also der Bruchteil der übertragenen Leistung$T=P/P_0$ist proportional zu$a^4$. Aus dimensionalen Gründen müssen wir daher haben$T\propto (a/\lambda)^4$, wobei die Proportionalitätskonstante einheitslos ist. Dies ist auch sinnvoll, da die von einem Dipol abgestrahlte Leistung proportional ist$\omega^4$.

Ich denke, es ist ziemlich einfach zu sehen, wie sich dies auf Oberflächenwellen auf Wasser auswirken würde. Ich würde ein schmales Loch der Breite erwarten$h$als Monopolquelle wirken, die proportional zur Leistung abstrahlen würde$\omega^2$. Daher muss die Übertragung wie gehen$\lambda^{-2}$, und aus Dimensionsgründen müssen wir daher haben$T\propto (h/\lambda)^2$.

All dies folgt direkt aus zwei sehr einfachen Überlegungen: (1) Dimensionsanalyse und (2) die Proportionalität der Amplitude von$\ell$-Pol-Strahlung zu$\omega^{2(\ell+1)}$. Das Prinzip von Huygens wird nie benötigt und wäre in einer geraden Anzahl von räumlichen Dimensionen (was wir im Fall der Wasserwellen haben) tatsächlich nicht gültig gewesen.

Das ist alles für ein dünnes Blatt. Wie CuriousOne in einem Kommentar feststellte, können Sie das Loch wie einen Wellenleiter behandeln, wenn das Blatt dicker ist. Ich habe versucht, die Grundideen von dieser Webseite zu extrahieren: http://www.cvel.clemson.edu/emc/tutorials/Shielding02/Practical_Shielding.html Die Grundidee scheint zu sein, dass die Welle exponentiell mit einer charakteristischen Länge abfällt$L \propto a/ \sqrt{1-((2a)/ \lambda)^2}$Ich habe angenähert$\lambda_c \approx 2a$wie die Grenzfrequenz, und die Abhängigkeit von Details der Geometrie (kreisförmiger Querschnitt, rechteckig, ...) ist alles in eine einheitslose Proportionalitätskonstante eingebaut, die meiner Meinung nach nur die Größe ist$T$zuvor in dieser Antwort besprochen. An der Grenze der langen Wellenlänge erhalten Sie also im Grunde genommen eine exponentielle Dämpfung durch die Dicke der Wand mit einer charakteristischen Ordnungslänge$a$.

Im langwelligen Grenzbereich, wo das Feld wie Gleichstrom wirkt, könnte man all dies vielleicht auch mit einem Faraday-Eiseimer vergleichen.

Da die Frage aus einer Wasserfrage entstanden ist, gebe ich zunächst eine Antwort nach Wasserwellen.

In einem Spalt beobachtet man die Welle an der Grenze zwischen zwei Medien. Wenn Sie zu einem Loch "tauchen" möchten, sehen Sie die damit verbundene Bewegung von Partikeln und die Kompression und Dekompression dieser Partikel zu jeder Welle in diesem Bereich. Was in der "Tiefe" passiert, ist - wenn man die Reflexionen vom Boden nicht berücksichtigt - ein Dissipationsprozess. Nun trifft die Welle auf eine Wand, wird reflektiert und führt an der Grenzfläche zu einer stehenden Welle. In der Tiefe ist dies niemals möglich, weil Sie eine Reflexion vom Boden oder eine Ableitung in Richtung des entfernten Bodens haben. Sie haben also nur an der Grenzfläche zwischen zwei Medien eine nahezu reine Transversalwelle . In der Tiefe hat man immer mehr Longitudinalwellen. Dies ist der Grund hinter Hyugens Prinzip über sphärische Wellen.

Um Ihr Loch zerstreuen die reflektierten Komponenten der ankommenden Quer- UND Längswellen die ankommenden Wellen. Je kleiner das Loch, desto weniger Energie bleibt übrig. Was bleibt, ist keine Sinuswelle. Also von Resonanz in der Rohrbohrung kann denke ich keine Rede sein. Und ja, je länger die Röhre, desto mehr entzieht die Wechselwirkung mit der Röhrenwand der Mediumkompression und -dekompression Energie und die Mediumoszillation lässt schnell nach.

Wie man diesen Teil der Antwort sehen kann, hat nichts mit einer Antwort im Bereich der elektromagnetischen Wellen zu tun. Und ich bin seit einiger Zeit fassungslos darüber, wie einfach Young aus dem sich ständig bewegenden (!) Muster von Wasserwellen auf die Wellennatur von Licht aus Streifen auf einem Bildschirm geschlossen hat. Es gibt mehr Unterschiede als Gemeinsamkeiten. Aber die Geschichte endet glücklich, denn wir wissen heute um die Schwingung der elektrischen und magnetischen Felder des Photons.

Was Bethe betonte, ist viel wichtiger als Youngs Schlussfolgerungen. Er schrieb in der oben genannten Arbeit: „Das Verfahren basiert auf der Verwendung von fiktiven magnetischen Ladungen und Strömen im Beugungsloch, was den Vorteil hat, dass die Randbedingungen auf dem leitenden Schirm automatisch erfüllt werden. Die Ladungen und Ströme werden so angepasst geben das richtige tangentiale magnetische und normale elektrische Feld im Loch. Nach meinem Verständnis berücksichtigt er die Wechselwirkung zwischen der EM-Strahlung und dem Material der Löcher. Dasselbe haben wir mit jeder EM-Strahlung also auch mit Licht zu tun.

Das Huygens-Prinzip ist also für EM-Strahlung obsolet oder nur eine Annäherung. Wenn Photonen auf die Kante "treffen" oder sich in der Nähe eines Lochs befinden, haben sie die Möglichkeit, reflektiert oder assimiliert zu werden (was dann zu einer gewissen Emission führt) oder - wenn ihr Aktionsradius kleiner ist als der Durchmesser des Lochs, in das sie eindringen können viele Schwierigkeiten, den elektrischen und magnetischen Feldern des Lochs zu entkommen. Einige Felder stammen von den Oberflächenelektronen, andere werden vom Photon induziert. Nur eine Aktion von vielen kollimierten Photonen mit der gleichen Frequenz und der gleichen Phase könnte die Röhre verlassen und auf der anderen Seite herauskommen.