Ich hoffe, Sie finden dieses Papier nützlich: J. Weiner, Rep. Prog. Phys. 72 (2009) 064401 . Obwohl es hauptsächlich um Lichtwellen geht, kann die Idee (und sogar die Ergebnisse) allgemein sein. Für sehr kleine Aperturen (Subwellenlängenaperturen) wird eine starke Reflexion erwartet. Nach Bethes Theorie der Lichtübertragung durch kleine Löcher skaliert die Transmission wie$(a/\lambda)^4$, mit$a$die Größe des Lochs und$\lambda$die Wellenlänge. In der mesoskopischen Physik gibt es eine Struktur namens "Quantum Point Contact" (QPC), die auf ähnliche Weise wirkt. Grob gesagt ist die Transmission extrem klein, wenn die elektronische Wellenlänge die QPC-Dimension weit übersteigt.

Dieses Problem ist eng mit dem Tunneln (völlig analog zum Quantentunneln) und evaneszenten Wellen verbunden . Die Ergebnisse, die Sie aus Analysen wie den folgenden erhalten, hängen entscheidend davon ab, wie angenommen wird, dass das Loch mit dem einfallenden Feld interagiert.

Ich werde das Problem mit der skalaren optischen Theorie betrachten, die analog zu Schallwellen oder der Akustik ist: Es wird angenommen, dass die Helmholtz-Gleichung vorherrscht. Dies wird nicht genau dasselbe sein wie Oberflächenwasserwellen, aber ich denke, es ist aufschlussreich, sich die Dämpfung anzusehen, die ein kleines Loch einem Helmholtz-erfüllenden Feld auferlegt. Die Helmholtz-Gleichung ist die zeitharmonische Form der D'Alembert-Wellengleichung.

Nehmen wir zunächst an, dass der Wellenschirm perfekt reflektierend oder unendlich absorbierend ist, so dass, obwohl der Schirm unendlich dünn sein kann, auf der Ausgangsseite des Lochs die Randbedingungen sind (wir verwenden Polarkoordinaten in der Querebene) :

dh wir gehen einfach von einer geraden Abschirmung des Feldes aus und es gibt ein vernachlässigbares Reaktionsfeld ( zB erzeugt in einem leitfähigen Schirm).

Was hier passiert, wenn Sie das Problem im Detail analysieren (siehe meinen Anhang), ist, dass die Form der Fernfeldvariation mit der Position fast genau das ist, was uns das Huygens-Prinzip sagen würde: Das kleine Loch sieht genau wie eine Punktquelle aus (mit einem Dipol-Strahlungsfeld Form). Was uns das Prinzip von Huygens jedoch nicht sagt, ist die Skalierungskonstante für diese Variation. Die Amplitude des Fernfeldes (wenn ich ein stationäres Phasenintegral richtig gemacht habe) ist

Wo$R$ist die Entfernung vom Loch,$\theta$die Kolatitude (sphärisch$\theta$koordinieren) und$\lambda$die Wellenlänge.

Das Prinzip von Huygens würde einfach davon ausgehen, dass die gesamte auf das Loch einfallende Energie das Fernfeld als sich ausbreitende Wellen erreichen würde und dass wir eine Punktquelle haben. Ohne Kirchoffs berühmten Schiefefaktor würde das Huygenssche Prinzip daher das folgende Skalarfeld vorhersagen:

das Obige wird einfach durch Gleichsetzen der einfallenden Leistung (gleich$\mathcal{Z}_0\,E_0^2\, \pi\,d^2/4$, Wo$\mathcal{Z}_0$ist die charakteristische Impedanz des Freiraums) und die gesamte Fernfeldleistung (gleich$\mathcal{Z}_0\,E_{far}^2\, 2\,\pi\,R^2$) und auflösen nach$E_{far}$. Selbst wenn wir die dipolare Abhängigkeit (die$\cos\theta$Begriff) ad-hoc , das Huygens-Prinzip gibt nicht die richtige Wellenlängenabhängigkeit. Was ist los?

Schauen wir uns zunächst an, wie gültig das Prinzip von Huygens ist. Die rigorose Grundlage dieses Prinzips ist das Kirchoff-Beugungsintegral (Born und Wolf, "Principles of Optics", Sixth Edition, §8.3)

für das Skalarfeld$\psi\left(\mathbf{r}\right)$innerhalb eines Volumens$V$in Bezug auf seine Werte und normale Ableitungen$\nabla \psi\left(\mathbf{u}\right) \cdot \hat{\mathbf{n}}\left(\mathbf{u}\right)$an der Grenze$\partial\,V$dieses Bandes. Wir müssen vernünftige Werte für die Grenze annehmen: Es kann gezeigt werden, dass das Huygenssche Prinzip (z. B. in Born und Wolf §8.3) resultiert, wenn wir annehmen, dass die Werte des Felds und seiner normalen Ableitungen an Löchern in einem Bildschirm gleich den Werten von that sind ohne den Bildschirm dort durchsetzen würde. Wenn die Löcher eine vernünftige Größe haben, ist dies eine gute Annäherung. Allerdings verfälscht unter anderem die Einführung des Rasters die Werte der normalen Ableitungen an den Rändern von Löchern stark. Dies ist bei großen Löchern kein Problem: Der Fehlerterm wird durch den Beitrag des Lochs selbst in den Schatten gestellt. Diese Annahme geht jedoch für Löcher im Subwellenlängenbereich mit Sicherheit schief.

Huygens kann uns also, obwohl er den allgemeinen Charakter des Feldes, das durch das Loch geht, sagt, die feinen Details nicht sagen. Tatsächlich geht nicht die gesamte auf das Loch einfallende Leistung durch es hindurch. In einer Skalartheorie ist der Grund dafür das evaneszente Feld. Eine vollständige Maxwell-Theorie für zBB. ein perfekt leitender Schirm, zeigt auch das Vorhandensein des evaneszenten Feldes, aber darüber hinaus, dass dieses evaneszente Feld als Ergebnis einer Rückreflexion eines Teils der auf das Loch einfallenden Leistung aufgebaut wird. Eine schöne Maxwellsche Analyse, um eine Intuition für das zu geben, was hier vor sich geht, ist ein perfekt leitender Schirm mit einem Loch von einer Dicke ungleich Null. In diesem Fall ist das Loch wie ein zylindrischer Wellenleiter mit leitenden Begrenzungen. Ein solcher Wellenleiter kann alle seine Moden abschneiden und sie evaneszent machen. Die Fortpflanzungsleistung wird also von der anderen Seite des Schirms durch Tunneln ausgegeben : Genug der evaneszenten Mode erreicht die andere Seite, um wieder zu einer fortschreitenden Welle zu werden. Die Moden eines zylindrischen Wellenleiters variieren wie folgt:

seit$d<<\lambda$. Hier$\omega_n$ist der$n^{th}$Nullpunkt der Bessel-Funktion$J_0$: Das am langsamsten schwindende Feld ist das entsprechende$\omega_1 \approx 2.405$. Jetzt haben wir also einen Ausdruck dafür, wie viel Strom in Abhängigkeit von der Dicke des leitfähigen Schirms durch ein kleines Loch dringt: Es ist:

Wo$t$ist die Dicke des Bildschirms. Diese Formel lässt uns sehen, wie dick wir zum Beispiel in einem Mikrowellenherd ein Netz machen müssen, um die Mikrowellen im Ofen auf ein sicheres Niveau zu unterdrücken, damit das hungrige Tier draußen drinnen gafft, damit sein Abendessen fertig ist (und Dabei wird der mikrowellengefährdete Teil seines Körpers - die Augen - der Show ausgesetzt).

Abklingende Wellen im Detail

Was sind das für seltsame Kreaturen, diese flüchtigen Wellen? Kommen wir zurück zum perfekt absorbierenden Bildschirm ohne Dicke.

Die kartesischen Komponenten unseres EM-Feldes erfüllen also die Helmholtz-Gleichung, wenn das Feld nur positive ebene Wellen umfasst$z$Richtung, unser Algorithmus zur Analyse der Ausbreitung ist:

Dies sieht beängstigend aus, ist aber einfach die Verwendung der Fourier-Transformation, um das Feld in ebene Wellen aufzubrechen, diese ebenen Wellen (als bekannte Lösungen der Helmholtz-Gleichung) auszubreiten und dann die ausgebreiteten ebenen Wellen bei jedem wieder zusammenzusetzen$z$-Flugzeug wollen wir. Dh wir verwenden einfach das lineare Superpositionsprinzip für die lineare Helmholtz-Gleichung. Ausführlicher:

1. Nehmen Sie die Fourier-Transformation des Skalarfelds über eine transversale Ebene, um es als Überlagerung von Skalarebenenwellen auszudrücken$\psi_{k_x,k_y}(x,y,0) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right)$mit Überlagerungsgewichten$\Psi(k_x,k_y)$;
2. Beachten Sie, dass sich ebene Wellen im ausbreiten$+z$Richtung, die die Helmholtz-Gleichung erfüllt, variieren als$\psi_{k_x,k_y}(x,y,z) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)$;
3. Propagieren Sie jede solche ebene Welle von der$z=0$Flugzeug zum General$z$Ebene unter Verwendung der in Schritt 2 notierten Lösung für ebene Wellen;
4. Inverse Fourier-Transformation der fortgepflanzten Wellen, um das Feld am allgemeinen wieder zusammenzusetzen$z$Ebene.

In unserem einfachen, kreissymmetrischen Problem können wir stattdessen Hankel-Transformationen nullter Ordnung verwenden: Die radialsymmetrische "Prototyp"-Lösung für die Helmholtz-Gleichung lautet:

Wo$k_\perp$ist die transversale Komponente des Wellenvektors (diese "Prototyp" -Lösung ist eigentlich die Summe aller ebenen Wellen mit unterschiedlichen$k_x,\,k_y$in (1) dessen transversaler Wellenvektor ist$k_\perp=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$). (1) wird also:

Jetzt natürlich die Gewichtsfunktion$\Psi(k_\perp) = \frac{d}{2\, k_\perp}\,J_1\left(\frac{d\, k_\perp}{2}\right)$hat keine kompakte Unterstützung: es ist ungleich Null für Werte von$k_\perp>k$. Die Überlagerungskomponenten, für die diese natürlich zu a führen$z$Variation in unserer Prototyp-Helmholtz-Gleichungslösung (2) und in der ersten Gleichung von (3) gegeben durch$\exp\left(i\,\sqrt{k^2-k_\perp^2}\,z\right) = \exp(-\sqrt{k_\perp^2-k}\,z)$die daher mit zunehmender Höhe schnell gedämpft werden$z$. Dies sind die evaneszenten Wellen, sie stellen induktive und kapazitive, sich nicht ausbreitende Energiespeicher dar, die an den Bildschirm "gebunden" bleiben. Sie erzeugen das sogenannte "Nahfeld" (Warnung: Beachten Sie, dass ich mit diesem Begriff ausschließlich das evaneszente Feld meine: Dieser Begriff wird im Zusammenhang mit der Fresnel-Refraktion anders verwendet, die sich ausschließlich mit sich ausbreitenden, nicht evaneszenten Feldern befasst ).

Allerdings bleibt immer noch ein sich ausbreitender, freier Photonenanteil des Feldes übrig$z\to\infty$und die flüchtigen Felder sind verschwunden:

wobei ich in der letzten Zeile die Bessel-Funktion durch ihre integrale Definition umgerechnet habe$J_0(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\exp(i\,z\,\cos\phi){\rm d}\phi$, so dass ich die Methode der stationären Phase zum Tragen bringen kann (wir erinnern uns, dass die Bessel-Funktion eine stark oszillierende Funktion von ist$r$). Der Integrand hat eine stationäre Phase, wenn$(k_\perp,\,\phi) = (k\, r/\sqrt{r^2+z^2},\,0)$Und$(k_\perp,\,\phi) = (-k\, r/\sqrt{r^2+z^2},\,\pi)$und was uns näherungsweise erlaubt:

Im Wesentlichen ist die Form dieser Variation das, was wir aus dem Huygens-Prinzip erhalten würden, aber das Huygens-Prinzip gibt uns nicht die Amplitude des Fernfelds.

Was Sie sich vorstellen müssen, ist die Tatsache, dass Wellen, wenn sie (idealerweise) von einer Wand reflektiert werden, zu einer stehenden Welle führen. Wenn in der Wand ein winziger Schlitz ist, zerstreuen sich die Komponenten der reflektierten Wellen links und rechts des Schlitzes in Richtung des Schlitzes (Kugelwellen in jedem Punkt nach Huygens Beschreibung). Diese Komponenten unterminieren die ankommende Welle an der Schlitzposition, führen aber nicht zu einer stehenden Welle. Ein kleiner Teil der Energie der ankommenden Welle geht also in den Spalt.

Was dort passiert, ist der nächste Dissipationsprozess . Wir müssen uns vorstellen, dass in tiefem Wasser immer Dissipation vorhanden ist (oder Sie erhalten eine Reflexion vom Boden). Die Energie der Welle in dem winzigen Schlitz schwindet also sehr schnell aufgrund der geringen Energie, die aus der Differenz der einfallenden und reflektierten Wellen übertragen werden könnte. Je dünner die Wand ist, desto weniger Wellenenergie schwindet.

Wie Sie darauf hingewiesen haben, ist das Größenverhältnis zwischen der Wellenlänge und der Schlitzbreite einer der Gründe dafür, dass mehr oder weniger einer ankommenden Welle durch diesen Schlitz geht. Der zweite Grund ist die Dicke der Wand an der Position des Schlitzes.

Ich kann nicht dafür sprechen, wie man mit einem mechanischen Resonator übereinstimmt, aber Sie können jeden EM-Strahler, der im Verhältnis zu seiner Wellenlänge bei einer (1) Frequenz klein ist, beliebig gut anpassen. Das bedeutet, dass der Strahler (Schleife oder Dipol, Monopol usw.) alle Strahlung absorbiert, die aus Richtungen kommt, in die er als Quelle ohne Reflexion strahlen kann. Der Rest ist gebeugt. Alle elementaren Dipole, seien sie elektrisch oder magnetisch, sind durch die Bandbreite begrenzt und nicht durch die Fähigkeit zu strahlen, wenn sie durch einen endlichen Satz von Induktivitäten und Kondensatoren richtig angepasst werden, und aufgrund der Reziprozität gilt diese Eigenschaft sowohl für Empfänger- als auch für Sendeantennen.

Nun - es kommt darauf an, was Sie unter "Beugung" verstehen.

Jeder Punkt entlang einer Wellenfront fungiert als Punktquelle von Wellenfronten, die sich radial nach außen ausbreiten. Während also eine ebene Welle an der Öffnung ankommt, sehen die Wellen, die von der anderen Seite kommen, fast kreisförmig aus.

Für mich ist das Beugung. Obwohl es keine Bereiche geben wird, in denen eine Auslöschung in der Weise auftritt, wie dies bei breiteren Öffnungen der Fall wäre.

Hier ist ein Bild, das beschreibt, wovon ich spreche:

Siehe auch dieses gif für eine animierte Version

Beachten Sie, dass das obige für ein isolierendes Loch gilt . Wenn eine elektromagnetische Welle auf ein Loch in einem Leiter trifft , ändert sich die Situation, da die induzierten Ströme am Rand des Lochs eine bedeutende Rolle bei der Formung der übertragenen Strahlung spielen. Wie in dem von Ben Crowell zitierten Bethe-Papier gezeigt, ist die Übertragung in diesem Fall (für einen kleinen,$r\lt\lambda$kreisförmiges Loch in einem perfekten Leiter) fällt schnell mit der Lochgröße ab - es skaliert mit$(r/\lambda)^4$stattdessen, wie Sie vielleicht erwarten, mit$(r/\lambda)^2$.

Aber Ihre Frage bezog sich auf Wellen auf Wasser - Sie müssen sich also keine Sorgen um den elektromagnetischen Fall machen.

http://www.nature.com/nature/journal/v445/n7123/box/nature05350_BX1.html Eine vollständige Antwort finden Sie im obigen Link. Die vorgestellte Theorie kann für mechanische Wellen wie Schall- und Wasserwellen gelten.