Was ist die Definition von Temperatur, ein für alle Mal? [Duplikat]

Da Fabian Ihnen eine thermodynamische Perspektive gegeben hat, werde ich versuchen, Ihnen den Standpunkt der statistischen Physik zu vermitteln. Sie sind tatsächlich sehr nahe gekommen, als Sie das Gleichverteilungstheorem zitiert haben, da das allgemeine Bild sehr ähnlich ist.

Extrem knappe Version: Die Temperatur ist die Umkehrung des Lagrange-Multiplikators, der die Energieerhaltung bei der Maximierung der statistischen Entropie sicherstellt.

Ich werde in einem klassischen Rahmen bleiben, damit ich Sie nicht mit der quantenmechanischen Maschinerie des Dichteoperators überfordern muss. Nehmen wir an, wir haben ein System von$N$Partikel. Wir geben uns eine Phasendichte$D(x_1, p_1, x_2, p_2, \cdots, x_N, p_N)$: die Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Teilchen eine Position dazwischen hat$x_i$und$x_i + \delta x_i$, und ein Momentum dazwischen$p_i$und$p_i + \delta p_i$ist proportional zu$D(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)\delta x_1 \delta p_1 \cdots \delta x_N \delta p_N$. Dann konstruieren wir die statistische Entropie$S(D)$. Es handelt sich also um ein Funktional, also eine Funktion der Funktion$D$:

$$S(D) = -k \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D \log D$$

wo ich die Argumente nicht geschrieben habe$D$für Lesbarkeit.

Jetzt ist das Spiel zu finden$D$das maximiert$S(D)$unter der Bedingung, dass einige makroskopische Größen bekannt sind. Das einfachste Beispiel ist das des kanonischen Ensembles, in dem die makroskopische Energie$U$ist bekannt.

$$U = \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D\ u$$

wo$u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)$ist die mikroskopische Energie für den gegebenen Punkt im Phasenraum. Zum Beispiel können wir für das perfekte Gas nur kinetische Energie berücksichtigen,

$$u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N) = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m},$$

wo$m$wäre die Masse jedes Moleküls im Gas.

Diese eingeschränkte Maximierung wird dann durch tatsächliche Maximierung in eine uneingeschränkte umgewandelt

$$S(D) + \beta U + \lambda_0 \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N D$$

wo$\lambda_0$eingeführt wird, um die immer vorhandene Einschränkung zu erzwingen, dass$D$auf 1 normiert werden, damit die obige probabilistische Definition sinnvoll ist.$\beta$und$\lambda_0$werden als Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet. Das Ergebnis ist das

$$D = \frac{1}{Z} e^{-\beta u}$$

wo die Normalisierung$Z$heißt Partitionsfunktion. Dies ist die Boltzmann-Gibs-Verteilung. Schließlich können wir die Temperatur definieren$T$wie

$$\beta = \frac{1}{kT}$$

Aus logischer und thermodynamischer Sicht muss die Definition der Temperatur durch den nullten Hauptsatz der Thermodynamik gegeben sein.

Nehmen wir an, wir wissen nicht, was die Temperatur ist. Wir wissen jedoch, dass, wenn wir zwei Körper interagieren lassen, sie einige thermometrische Eigenschaften (wie Volumen, Druck, elektrischer Widerstand, ...) voneinander ändern können. Wenn sich überhaupt keine thermometrischen Eigenschaften ändern, sagen wir, dass die Körper ein thermisches Gleichgewicht erreicht haben. Das nullte Gesetz beruht auf der empirischen Tatsache, dass wenn$A$befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit$B$und$B$befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit$C$, dann$A$befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit$C$. Dies ist eine Äquivalenzbeziehung, die eine Menge von Körpern in Teilmengen klassifiziert, die als Äquivalenzklassen bezeichnet werden . Wir beschriften dann jede Klasse mit einer Nummer$T>0$die wir Temperatur nennen werden. Das nullte Gesetz erlaubt es uns, ein thermisches Gleichgewicht nur in Bezug auf eine neu definierte Variable namens Temperatur herzustellen.

Die obige Definition ist jedoch nicht absolut. Die Zahl, die wir jeder Untergruppe von Körpern im thermischen Gleichgewicht zuordnen, ist willkürlich. Um diese Willkür (zumindest teilweise) zu beseitigen, verwenden wir den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, um die sogenannte absolute oder thermodynamische Temperatur zu definieren . Der zweite Hauptsatz impliziert, dass jede reversible Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei Quellen arbeitet, einen gegebenen Wirkungsgrad hat durch

$$\eta_R=1-\frac{T_2}{T_1},$$ wo $T_1$und $T_2$sind die Temperaturen der Quellen. Angesichts der Allgemeingültigkeit dieses Ergebnisses kann man beispielsweise die Temperatur der Kältequelle willkürlich definieren $T_2$, messen - mechanisch - den Wirkungsgrad des Motors und dann die Temperatur $T_1$wird bestimmt durch $$T_1=\frac{T_2}{1-\eta_R}.$$ Beachten Sie, dass der Temperaturbegriff nicht mehr willkürlich ist, außer bei der Wahl der Temperatur der Kältequelle. Daher ist es sinnvoll, einen Referenzpunkt zu verwenden, der überall gut reproduzierbar ist. Eine Standardauswahl ist der Tripelpunkt von Wasser , der definiert ist $273.16\, \mathrm K$.

Hier ist die Definition der Temperatur in der Thermodynamik:

• der erste Hauptsatz definiert die Wärme $Q$als "fehlende" Energie $$\delta Q = d U - dW \tag{1}$$ wo$U$ist die gesamte (innere) Energie und$W$ist die Arbeit.

Beachten Sie jedoch, dass die Wärme nicht für einen Zustand des Systems definiert ist, sondern dass Sie den Prozess (Pfad) kennen müssen, durch den Sie den gegenwärtigen Zustand erreicht haben. Das heißt nur die Änderung$\delta Q$in (1) definiert ist und nicht$Q$selbst.

• im zweiten Hauptsatz die (absolute) Temperatur$T$ist definiert als der integrierende Faktor , der rendert$\delta Q$in ein totales Differential$dS$. Physikalisch gesehen ist es der Faktor, der ausmacht$\delta Q$eine Menge$S$das hängt nur vom Zustand des Systems ab $$dS = \frac{\delta Q}{T}. \tag{2}$$

Über (2) wird die Temperatur bis auf eine multiplikative Konstante definiert. Diese Konstante wird üblicherweise (über die Boltzmann-Konstante) so definiert, dass zwischen der Gefrier- und der Siedetemperatur von Wasser bei Umgebungsdruck 100 Einheiten liegen.

Bearbeiten:

Dank Valter Moretti habe ich herausgefunden, dass man die Bedingung zu (2) hinzufügen muss$S$muss umfangreich sein.

Mathematisch:

$$T = \frac{\partial U}{\partial S}_{V,N}$$

Die Temperatur ist die Änderung der inneren Energie in Bezug auf die Entropie, wenn Volumen und Zahl konstant gehalten werden.

Klartext: Temperatur ist ein Maß für die freie Energie in einem Objekt. Verschiedene Objekte haben unterschiedliche Kapazitäten, Energie zu speichern. Beispielsweise kann Ammoniak bei Raumtemperatur etwa die 10-fache Energie von gasförmigem Argon (pro Gramm) speichern. Erschwerend kommt hinzu, dass sich die Kapazität eines Materials, freie Energie aufzunehmen, mit der Temperatur ändert. Anstatt nur die freie Energie in einem Objekt zu melden, gibt die Temperatur die freie Energie an, die darauf normalisiert ist, wie viel Kapazität dieses Objekt bei dieser Temperatur hat. All dies bringt uns zurück zu dieser Definition, die sich sehr kreisförmig anfühlt und nicht wirklich viel aus dem Kontext heraus erklärt:

Heuristik: Temperatur ist die Eigenschaft der Materie, die gleich ist, wenn sich berührende Objekte ein thermisches Gleichgewicht erreichen.

Mechanistische Überarbeitung: Sie haben von der Bewegung von Molekülen in einem Gas und dem Wackeln von Atomen in einem Festkörper gehört, und das ist eine Möglichkeit, die Dinge zu verstehen, aber es gibt auch Photonen und (mathematische) Phononen, die den Dingen Temperatur geben. Es stellt sich heraus, dass wir die Temperatur der Sonne nicht kennen, weil wir ein Thermometer geschickt haben, sondern weil sie wie alles andere Photonen ausstrahlt und die Frequenzverteilung des austretenden Lichts damit übereinstimmt, dass die Sonnenoberfläche bei etwa 5800 K liegt. Wir wissen sogar, dass der größte Teil des Weltraums aufgrund derselben Eigenschaft eine konstante Temperatur von etwa 3 K hat.

Leitartikel: Energie geht die ganze Zeit von Objekt zu Objekt und von Typ zu Typ. Energie ist ein abstraktes Konzept, das jede physikalische Wissenschaft betrifft (und Hunderte von Energieformen beschreibt), daher können wir nicht wirklich erwarten, dass seine Ableitung in Bezug auf die Entropie nur ein Phänomen ist. Erkunden Sie weiter.

Was ist Temperatur? Auf diese Frage gibt es sehr formale mathematische Antworten. Die beste Antwort, die mir in meiner sechsjährigen Physikausbildung begegnet ist, war jedoch in meinem ursprünglichen Thermodynamikkurs im zweiten Jahr, in Schroeder's Thermal Physics , Seiten 85-91. Mein Verständnis hat sich jedoch mit der Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeits- und Informationstheorie entwickelt.

Temperatur ist eindeutig definiert als „um wie viel sich die Entropie eines Systems ändert, wenn sich die Energie dieses Systems ändert“.

Daher ist jedes Verständnis von Temperatur, das man erreichen möchte, grundsätzlich durch ihr Verständnis dessen, was Entropie ist, begrenzt. Entropie ist ein Maß dafür, wie viele Informationen (in Bits, da wir uns gerade auf Computern befinden) erforderlich sind, um den Zustand eines Systems zu kennen.

Der Zustand eines Systems (eigentlich Quantenzustand) ist alles, was möglicherweise gleichzeitig über ein System bekannt sein kann. Sobald Sie alles wissen, was Sie über ein System wissen müssen, haben Sie seinen Zustand bestimmt.

Die Entropie entspricht der erwarteten Anzahl von Ja/Nein-Fragen, die mindestens erforderlich sind, um den Zustand eines Systems zu bestimmen . Bitte beachten Sie das Wort „erwartet“ (was durchschnittlich bedeutet) und das Wort „minimal“ (was bedeutet, dass Sie die bestmöglichen Fragen stellen).

Sie haben diese Definition von Entropie wahrscheinlich noch nie gehört, aber diese Definition ist eigentlich völlig richtig, außer in der Physik multiplizieren wir diese Zahl mit$k_b ln(2)$(eine Zahl) nur aus historischen Gründen. Wenn Sie also Entropie lesen , sollten Sie versuchen, die erwartete Anzahl von Ja/Nein-Fragen zu denken . Wenn Sie nicht wissen, ob eine Münze Kopf oder Zahl ist, ist die Entropie 1 binäre Frage: "Ist die Münze Kopf?".

Es gibt ein einfaches Gesetz, das besagt, dass die erwartete Anzahl von Ja/Nein-Fragen, die erforderlich sind, um den Zustand eines geschlossenen Systems zu bestimmen, niemals abnehmen kann . Dies ist als 2. Hauptsatz der Thermodynamik bekannt. Es ist ein cooles Gesetz. Und wenn Entropie als die erwartete Anzahl von Fragen definiert wird, ist es ein exaktes Gesetz, das immer gilt. Es gilt sogar für Maxwell's Demon.

Die zu erwartende Anzahl an Fragen zur Zustandsbestimmung eines geschlossenen Systems kann durchaus steigen . Und das wird es sicherlich, bis es an eine Grenze stößt. Ein System, das diese "Grenze der Unerkennbarkeit" erreicht hat, nimmt jeden möglichen Zustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein, und ich nenne dieses System ergodisch . Dies passiert immer , wenn Sie lange genug warten, dank der Mathematik der Markov-Ketten (jedes geschlossene System ist notwendigerweise eine irreduzible, ergodische Markov-Kette, die sich einer stationären Verteilung nähert). Dies wird in der Physik als Ergodenhypothese bezeichnet.

Betrachten Sie zwei ergodische Systeme, ein hohes und ein niedriges Temperatursystem.

Wenn ein System eine hohe Temperatur hat, bedeutet dies, dass kleine Änderungen in der Energie des Systems große Änderungen in der Entropie des Systems verursachen (tatsächlich ist dies die Definition von Temperatur). Wenn Sie sich die Entropie als die erwartete Anzahl von Ja/Nein-Fragen vorstellen, bedeutet dies, dass Sie viel mehr Fragen stellen müssen, um den Zustand des Systems zu bestimmen, wenn Sie ein wenig Energie hinzufügen.

Wenn ein System eine niedrige Temperatur hat, bedeutet dies, dass kleine Änderungen in der Energie des Systems die Entropie des Systems nicht sehr ändern. Sie müssen nicht wesentlich mehr Fragen stellen, um den Zustand des Systems zu bestimmen, wenn es etwas mehr Energie hat.

Betrachten Sie nun das kombinierte System, das vom Rest des Universums abgeschlossen ist. Das 3. Gesetz beschränkt die erwartete Anzahl von Ja/Nein-Fragen, um den Zustand des kombinierten Systems zu bestimmen. Überlegen Sie, was passiert, wenn die Systeme Energie (und nur Energie!) austauschen können.

Wenn zwischen dem Niedertemperatur- und dem Hochtemperatursystem keine Energie ausgetauscht wird, ist die erwartete Anzahl von Fragen für das gesamte System erforderlich$N_{1+2}$ist nur die Summe der erwarteten Anzahl von Fragen für jedes Teilsystem:$N_{1+2} = N_1 + N_2$.

Was passiert jedoch, wenn die beiden Subsysteme Energie austauschen können und tun? Der 3. Hauptsatz sagt, dass, was auch immer passiert, die erwartete Anzahl von Fragen, die erforderlich sind, um den Zustand des kombinierten Systems zu bestimmen, nicht kleiner werden kann .

Wenn Sie wissen, dass mehr Energie vom Hochtemperatursystem zum Niedertemperatursystem floss (was sicherlich passieren kann, Energie fließt zufällig), wissen Sie aus der Definition von Temperatur, dass die Anzahl der Fragen erforderlich ist, um den Zustand des kombinierten Systems zu bestimmen verringert, in offensichtlicher Verletzung des 2. Hauptsatzes:$N_{1+2} < N_1 + N_2$. Dieses Wissen über den "Rückwärtsfluss von Energie" kann jedoch nicht erlangt werden, ohne eine bestimmte Anzahl von Fragen zu stellen$N_q$des Systems: die genaue Anzahl, die vom 2. Gesetz gefordert wird$N_{1+2} \geq N_1+ N_2 + N_q$.

Wenn Sie andererseits nur wissen, dass in diesem kombinierten System Energieaustausch stattfindet, steigt die erwartete Anzahl von Fragen, die Sie stellen müssen, gemäß der ergodischen Hypothese nur an und nähert sich schnell der ergodischen Grenze. Dies setzt voraus , dass Energie im Mittel (zufällig) vom heißen zum kalten Ding fließt. Und die ergodische Grenze ist, wenn das heiße Ding und das kalte Ding die gleiche Temperatur haben.