Teilchen in Gravitationsfeldern unterliegen der Gravitationszeitdilatation. Je näher ein Teilchen an einer Gravitationsquelle ist, desto langsamer läuft seine Uhr. Ich würde gerne mehr über die Beziehung zwischen Gravitation und gravitativer Zeitdilatation erfahren.
Um einen ungefähren Eindruck zu bekommen, habe ich die Newtonsche Gravitationsgleichung verwendet (die für schwache Felder verwendet werden kann, und ich fand heraus, dass Gravitation und Zeitdilatation (ungefähr) proportional sind: Kann dieses Ergebnis auf der Basis von Einsteins Feldgleichung bestätigt werden (vielleicht sogar für stärkere Felder)?
dτ = Eigenzeit eines Teilchens im Gravitationsfeld der Erde, dt = Eigenzeit eines Beobachters im Unendlichen, rs = Schwarzschildradius der Erde, r = Abstand Teilchen – Erdmittelpunkt
Gravitationszeitdilatation:
Zeitdilatation (Differenz):
Gravitationskraft (Newtonsche Gleichung):
(Infolgedessen wäre die Zeitdilatation ungefähr die Gravitation, dividiert durch die Ruheenergie des Teilchens, multipliziert mit seiner Entfernung.)
Wenn Sie sich meine Antwort auf Ableiten eines Schwarzschild-Radius unter Verwendung relativistischer Masse ansehen, erörtere ich, wie die Annäherung an schwache Felder uns eine ungefähre Metrik für das Newtonsche Gravitationspotential liefert :
Um die Zeitdilatation daraus zu extrahieren, nehmen wir ein stationäres Objekt, also und verwenden Sie die Beziehung zwischen dem Linienelement und der Eigenzeit zu bekommen:
Um dies zu verdeutlichen, nehmen Sie zwei Beobachter Und mit Gravitationspotentialenergien Und , dann sagt uns die Gleichung, dass die von aufgezeichneten verstrichenen Zeiten Und sind verwandt durch:
Diese Gleichung ist nur gültig, wenn , in diesem Fall können wir die Binomialentwicklung verwenden:
und die höheren Terme fallen lassen und neu anordnen:
Und das ist in etwa das, was du beschreibst. Denken Sie daran, dass die potentielle Energie ist die potentielle Energie pro Masseneinheit, also wenn wir die Ober- und Unterseite der rechten Seite mit der Masse multiplizieren, erhalten wir die potentielle Gesamtenergie wir bekommen:
das ist in der Tat das Gravitationspotential dividiert durch die Ruheenergie.
Dies ist aber eine Näherung, die (zuverlässig) nur in der schwachen Feldgrenze funktioniert. Zufällig funktioniert der schwache Feldausdruck für alle Werte von in der Schwarzschild-Metrik, aber wie in der verknüpften Frage besprochen, ist dies ein zufälliger Zufall, auf den man sich nicht verlassen kann.
Sie müssen nicht verwandt sein.
Wenn Sie beispielsweise eine hohle kugelförmige Hülle aus Materie haben, dann ist das Innere der Kugel ein flacher Raumzeitbereich und hat die gleiche Zeitausdehnung wie die Hülle.
Aber da das Innere flach ist, gibt es keine Gravitationskraft innerhalb der Schale. Dennoch gibt es eine Zeitdilatation.
QMechaniker
Moonraker
David z
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