Wie lassen sich die Ausdrücke Impulsoperator und Energieoperator ableiten bzw. begründen?

Hier wurde darauf hingewiesen$\! { \, }^{\text(1, 2)}$, zum Beispiel das

$$\mathbf{F} = \frac{d}{dt}\!\!\biggl[ \, \mathbf{p} \, \biggr]$$

ist in allen Zusammenhängen wahr.

Ebenso ist es in bemerkenswerten Kontexten offensichtlich wahr

$$\mathbf{F} = - \nabla \Phi := - \frac{d}{d\mathbf{r}}\!\!\biggl[ \, \Phi \, \biggr].$$

Ist dies, kurz gesagt, eine ausreichende und gültige Begründung dafür, (in den entsprechenden geeigneten Kontexten)
den Impulsoperator als zu setzen$\! { \, }^{\text(3)}$

$$\mathbf{\hat p } \propto -i \nabla := -i\frac{d}{d\mathbf{r}}$$

und Setzen des (potenziellen) Energieoperators als$\! { \, }^{\text(4)}$

$$\hat \Phi \propto i\frac{d}{dt}$$

und beide mit der gleichen Proportionalitätskonstante,$\hbar$, wobei

$$\mathbf{\hat F} = \frac{d}{dt}\biggl[-i\hbar\frac{d}{d\mathbf{r}}\biggr] = -\frac{d}{d\mathbf{r}} \biggl[i\hbar\frac{d}{dt}\biggr] \sim \frac{d^2}{dt \, d\mathbf{r}} = \frac{d^2}{d\mathbf{r} \, dt}$$

?

EDIT (bezieht sich nur auf Formalitäten):

(${ \, }^{\text 1}$: Bitte beachten Sie, dass die hier zu beachtende Behauptung ausdrücklich im Formular zum Ausdruck gebracht wurde

$F = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$ist in allen Zusammenhängen wahr.

Da es jedoch zulässig erscheint, eine Behauptung zur Kenntnis zu nehmen, ohne streng zu zitieren und sich an ihren ursprünglichen wörtlichen Ausdruck zu halten (wie dies bereits in der anfänglichen Formulierung meiner Frage stillschweigend angenommen wurde und so scheint es bestätigt), möchte ich , soweit es eindeutig möglich ist, die Operation „ Differentiation “ konsequent durch Verwendung (einer Form von) der Leibnizschen Notation auszudrücken .)

(${ \, }^{\text 2}$: Bitte beachten Sie, dass die Frage , auf deren bemerkenswerte Antwort oben verwiesen wurde, (hauptsächlich) mit " https://physics.stackexchange.com/questions/tagged/newtonian-mechanics " gekennzeichnet wurde .)

(${ \, }^{\text 3}$: Bitte beachten Sie, dass der angegebene Ausdruck des Impulsoperators dort explizit als angegeben ist

${\bf \hat p } = -i \hbar \nabla$

Und

In einer räumlichen Dimension wird dies zu:$\hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}$,

wo das Nabla-Symbol ($\nabla$) bezieht sich auf http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative#Notation .)

(${ \, }^{\text 4}$: Bitte beachten Sie, dass der angegebene Ausdruck des Energieoperators dort explizit als angegeben ist

$\hat{E} = i\hbar\frac{\partial }{\partial t}$.

)