Woher stammen die Quantenoperatoren für ppp und EEE im Standard-QM?

Vor der Quantenmechanik waren wir mit Impulsteilchen vertraut$\mathbf{p}$und ebene Wellen $\propto \exp i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega_\mathbf{k} t\right)$mit$\mathbf{k}$der Wellenvektor und$\omega_\mathbf{k}$A$\mathbf{k}$-abhängige winkelabhängige, nicht lineare, Frequenz. (Die Formel bez$\omega$Zu$\mathbf{k}$wird als Dispersionsrelation bezeichnet .) Obwohl elektromagnetische Strahlung als Welle angesehen wurde, war bekannt, dass sie einen Impuls hat. Nach der Hypothese von Planck hat elektromagnetische Strahlung Energiequanten$E=hf=\hbar\omega$für einige Konstanten$h>0,\,\hbar=\tfrac{h}{2\pi}$, de Broglie neu geordnet, um zu geben$\lambda = \tfrac{c}{f} = \frac{h}{p}$, da Geschwindigkeit-$c$Materie in der speziellen Relativitätstheorie erfüllt$p:=\left|\mathbf{p}\right|=\tfrac{E}{c}$. Tatsächlich wurde angenommen, dass diese Bedingung sogar für massive Materie galt; Tatsächlich unterstützten frühe Teilchenwellen-Dualitätsexperimente dies. Aber es wurde die Wellenzahl erkannt $k=\tfrac{2\pi}{\lambda}=\tfrac{p}{\hbar}$ist vielleicht hilfreicher, da wir sofort auf eine Vektorhypothese verallgemeinern können$\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}$. Partnerschaft damit$E=\hbar\omega$, sehen wir, dass die Quantenmechanik mithilfe der Operatoren die korrekten Eigenwerte der Impulskomponenten und der Energie einer ebenen Welle erreichen kann$\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\boldsymbol{\nabla},\,E=i\hbar\partial_t$. Darüber hinaus setzt dieser Ansatz auch Energie-Impuls-Beziehungen mit Dispersionsbeziehungen in Beziehung. Zum Beispiel,$E=\tfrac{p^2}{2m}$wird$\omega=\tfrac{\hbar k^2}{2m}$, während$E^2=c^2p^2+m_0^2c^4$wird$\omega^2=c^2\left(k^2+m^2\right)$mit$m:=\tfrac{m_0 c}{\hbar}$.