Wer hat den überdeckenden Homomorphismus zwischen SU(2) und SO(3) entdeckt?

Hamilton und Klein, Klein äußerte sich deutlicher dazu. Hamilton erkannte in Lectures on Quaternions (1853) , dass seine Darstellung der Drehungen starrer Körper durch die Einheitsquaternionen dies nicht war$1$-$1$, Aber$2$-$1$. Klein ersetzte in Lectures on the Ikosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree (1888) die Einheitsquaternionen durch$2 × 2$unitäre Matrizen mit der Determinante$1$, jetzt bezeichnet$SU(2)$. Dann erklärte er mehr oder weniger, dass die Einheit Quaternionen und$SU(2)$sind isomorphe Gruppen, die sind$2$-$1$epimorph auf die Gruppe der 3D-Rotationen$SO(3)$.

Pauli schlug 1924 die „ klassisch nicht beschreibbare Zweiwertigkeit “ vor, die später mit dem Elektronenspin identifiziert wurde , und formalisierte sie 1927 in der Matrixform Zustände eines einzelnen Teilchens, das später Nukleon genannt wurde, und integrierten es in ihr Proton-Neutron-Modell des Kerns .

Steiner führt diesen Homomorphismus als Paradebeispiel für "unvernünftige Effektivität" der Mathematik an. Beide Male war die entwickelte mathematische Maschinerie nicht einmal indirekt auf die Anwendung ausgerichtet, für die sie letztendlich nützlich war. Im Fall des Kerns fehlt jede sichtbare Verbindung zu Rotationen und 3D-Raum vollständig.

Vor Hamilton (1847) sollte man Euler (1771), Gauss (1819), Rodrigues (1840) und Cayley (1845) zitieren. Ausführliche Referenzen in zB

Pujol, J. , Hamilton, Rodrigues, Gauss, Quaternionen und Rotationen: eine historische Neubewertung , Commun. Mathematik. Anal. 13, Nr. 2, 1-14 (2012). ZBL1268.01010 .

Genauer gesagt auf vier Nummern$p,q,r,s$mit$pp+qq+rr+ss=u$, Euler (1771, §33) beigefügt

das ist genau (die Transponierung) der Drehung, die angehängt ist$(a,b,c,d)=\dfrac{(p,q,r,s)}{\sqrt u}$bei Wikipedia :

$$R = \begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2&2bc-2ad &2bd+2ac \\ 2bc+2ad &a^2-b^2+c^2-d^2&2cd-2ab \\ 2bd-2ac &2cd+2ab &a^2-b^2-c^2+d^2\\ \end{pmatrix}. \tag1$$ Also hatte er die Karte , wenn auch vielleicht nicht das Gruppengesetz für 4-Tupel, das es zu einem Homomorphismus macht : ¹ , das (oder weniger anachronistisch, eine "Formel für die Parameter einer zusammengesetzten Rotation") allgemein Rodrigues zugeschrieben wird (1840, S 408), die alles in die Notation gesteckt haben $$(a,b,c,d)=\left(\cos\tfrac\theta2,\ \sin\tfrac\theta2\cos g,\ \sin\tfrac\theta2\cos h,\ \sin\tfrac\theta2\cos l\right). \tag2$$ Dann identifizierte Cayley (1845, S. 123-124) Rodrigues' Multiplikation von 4-Tupeln$(2)$als Quaternion-Multiplikation und die Karte$(a,b,c,d)\mapsto R$als das, was wir die adjungierte Darstellung von nennen würden$\mathit{Sp}(1)$; und Hamilton (1847, S. 13-14) stimmten zu – ebenso wie Boole (1848) und Donkin (1851).

Man mag sich fragen, warum Euler damals nicht zitiert wurde. Soweit ich das beurteilen kann, liegt es daran, dass Monge (1786) (angeblich unabhängig) veröffentlicht hatte$(1)$in alternativer Schreibweise

$$(a,b,c,d)=\left(\sqrt{\tfrac{M\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{N\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{P\vphantom Q}4},\sqrt{\tfrac{Q}4}\,\right), \tag3$$ und viele Jahre lang haben alle, ² bis einschließlich Rodrigues (S. 405), das stattdessen zitiert. Erst als Eulers Aufsatz in einem Buch (1849, S. 440) nachgedruckt wurde, ging jeder ^dazu über, ihn zu zitieren.

Bisher war alles in Bezug auf die Sphäre$S^3\subset\mathbb R^4$, oder Einheitsquaternionen. Wenn Sie den Homomorphismus buchstäblich wollen

$$SU(2) =\left\{\begin{pmatrix}a+bi &-c+di\\c+di&\phantom{-}a-bi\end{pmatrix}: (a,b,c,d)\in S^3\right\}, \tag4$$ Es stellt sich die Frage, wer zuerst Quaternionen auf diese Weise dargestellt hat. Die ersten Memoiren über Matrizen von Cayley (1858), Laguerre (1867) und Frobenius (1877) erwähnen alle die Möglichkeit , überließen es aber offenbar Peirce (1882) und vier Arbeiten von Sylvester (1882-83). Andererseits könnte man argumentieren, dass Hermite (1850, Fußnote) es „vor Matrizen“ hatte, oder fragen, wer zuerst Drehungen der (Riemann-)Sphäre als Homographien identifiziert hat$\smash{z\mapsto\frac{Az+B}{Cz+D}}$mit$\smash{\left(\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}\right)}$In$(4)$: dafür schreibt Klein eindeutig Cayley (1879) zu.

Schließlich, wie es oft der Fall ist, stellte sich später heraus, dass unveröffentlichte Arbeiten von Gauß (um 1819) bereits sowohl die Quaternion-Multiplikation (S. 359) als auch Rotationen als Homographien (S. 355) enthielten.

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^{1. Die Meinungen gehen auseinander: zB Cartan-Study (Link unten) sagt, dass Euler die Zusammensetzungsformel hatte. Vielleicht meinen sie, er hätte es offensichtlich gefunden oder an die Bijektion gedacht $\smash{\mathbb{RP}^3}\to SO(3)$eher die Abdeckung$\smash{S^3}\to SO(3)$, was die Frage strittig macht; oder sie verstehen besser als ich, warum sein nächstes § ein 4 x 4-Array zeigte , das fast ein Quaternion-Produkt ist: es ist}

$$\left(\begin{array}{rr|rr} p&-q&-r&-s\\ q&p&s&-r\\ \hline r&-s&p&q\\ s&r&-q&p \end{array}\right) \begin{pmatrix} 1&\\ &-1\\ &&-1\\ &&&-1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{rr|rr} a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ \hline c&-d&a&b\\ d&c&-b&a \end{array}\right). \tag5$$ (Die erste Spalte dieser Reihe stammt direkt aus seinem berühmten Brief an Goldbach (1748) und ist auch in seinen Papieren E242 (1760) und E445 (1773) sowie in Lagrange (1772), Legendre (1797) und die englische Übersetzung seiner Algebra (1810).)

^{2. ZB Monge (1787), Lacroix (1797), Hachette (1813), Encke (1830), Grunert (1832), Grunert (1833), Cayley (1862).}

^{3. Bsp. Hamilton (1853), Cayley (1855), Lebesgue (1856), Salmon (1866), Hankel (1867), Hoüel (1874), Jacobi (1884), Darboux (1887), Study (1890), Beez ( 1896), Koenigs (1897), Schoenflies (1902), Cartan-Study (1908), Müller (1910), Muir (1911), Whittaker (1917), Bourbaki .}