Slinky Base fällt aufgrund der Schwerkraft nicht sofort herunter

Was für eine tolle Frage! Übrigens, soweit ich weiß, ist das Originalvideo hier für Interessierte.

Ein Schlüssel zum Verständnis ist die folgende Tatsache aus der klassischen Mechanik, die eine Version von Newtons zweitem Gesetz für Teilchensysteme ist:

Die auf ein Teilchensystem wirkende äußere Nettokraft ist gleich der Gesamtmasse$M$des Systems multipliziert mit der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts

$$\mathbf F_{\mathrm{ext},\mathrm{net}} = M\mathbf a_\mathrm{cm}$$ Im Fall des Slinky, das wir als System aus vielen Teilchen modellieren können, ist die äußere Nettokraft auf das System einfach das Gewicht des Slinky. Dies ist einfach durch seine Masse multipliziert mit gegeben $\mathbf g$, die Erdbeschleunigung, also erhalten wir aus der obigen Aussage $$M\mathbf g = M\mathbf a_\mathrm{cm}$$ also folgt das $$\mathbf a_\mathrm{cm} = \mathbf g$$ Mit anderen Worten, wir haben das gezeigt

Der Massenmittelpunkt des Slinky muss sich bewegen, als wäre es ein Teilchen, das unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt.

Es ist jedoch nicht erforderlich, dass sich die einzelnen Teilchen im System so bewegen müssen, als ob sie jeweils frei unter dem Einfluss der Schwerkraft fallen würden. Dies liegt daran , dass neben der Schwerkraft Wechselwirkungen zwischen den Teilchen bestehen , die ihre Bewegung beeinflussen. Insbesondere im Slinky gibt es Spannung , wie Sie betonen.

Sie haben absolut Recht, dass sich die Unterseite des Slinkys nicht bewegt, da die Spannung des restlichen Slinkys beim Hochziehen die Kraft aufgrund der Schwerkraft beim Herunterziehen ausgleicht, bis der Slinky vollständig komprimiert ist und das Ganze mit der fälligen Beschleunigung fällt zur Schwerkraft. Unabhängig davon bewegt sich der Schwerpunkt die ganze Zeit, als ob er frei fallen würde.

Übrigens gibt es einige nette Kommentare zu diesem Experiment aus dem Winkel der Wellenausbreitung auf dem Blog des Physics.SE-Benutzers @Mark Eichenlaub, der hier zu finden ist .

Dieses Problem wurde bereits früher in der Literatur behandelt, wobei die erste Instanz [1] zu sein scheint, in der eine exakte Lösung für die Bewegung einer idealen Feder in dieser Konfiguration gefunden wird. Es enthält auch einige Diskussionen über subtile Unterschiede zwischen einem Slinky und der unten betrachteten Feder, die unsere Schlussfolgerungen qualitativ nicht ändern werden. Insbesondere fehlt jede Diskussion über Kollisionen; Federelemente werden als frei ineinander greifend angenommen. Diese Annahme ist für den Zeitbereich, mit dem wir es zu tun haben, meist irrelevant.

Das Erste, was hier anzumerken ist, ist, dass der größte Teil unserer Intuition über Systeme mit Federn aus dem idealisierten Fall einer masselosen Feder stammt, die eine Masse an ihrem Ende hält, so dass die Spannung über die gesamte Feder hinweg konstant ist; in diesem Fall ist das Ergebnis eine einfache harmonische Bewegung. Die Ausgangsbedingung ist hier eine ganz andere: Die Masse, die die Feder ausdehnt, ist die Masse der Feder selbst, die sich über die gesamte Länge der Feder verteilt. Dies ist im Bild sichtbar, da oben größere Lücken zwischen den Spulen vorhanden sind. Daher sollten wir für die Feder keine einfache harmonische Bewegung erwarten.

Die Bewegung der Feder wird stattdessen durch die Differentialgleichung beschrieben

$$m \frac{\partial^2 }{\partial t^2} y(t,\xi)= k \frac{\partial^2}{\partial \xi^2}y(t,\xi) + mg.$$

Hier$\xi$reicht von$0$zu$1$und$y(t,\xi)$ist die vertikale Position des Punktes auf der Feder zum Zeitpunkt$t$die (zunächst) Masse hat$\xi m$über diesem Punkt und$(1-\xi)m$darunter. Im Speziellen$y(t,1)$ist die Position des Federbodens zur Zeit$t$.

Anders als die$mg$Begriff ist dies nur die Wellengleichung. Das$mg$verkompliziert die Dinge hier nicht wirklich; Wir können es nach dem Äquivalenzprinzip entfernen, indem wir zu einem beschleunigten Rahmen gehen. Eine wichtige Eigenschaft der Wellengleichung ist, dass sich Wellen mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten$v =\sqrt{k/m}$. Dies ist notwendig, damit zB in der Elektrodynamik die Kausalität gewahrt bleibt.

Bis sich die Wellen vom Ort der Störung ausbreiten$\xi =0$nach unten, das untere hat keinen Zugriff auf die Information, dass das obere freigegeben wurde. Somit bewegt es sich genau so weiter, wie es sich bewegt hat, während die Spitze der Feder hochgehalten wurde, was nur bedeutet, dass es (exakt!) stationär bleibt. Sobald die Welle kommt$\xi=1$bei$t=1/v=\sqrt{m/k}$der Boden beginnt sich zu bewegen. Die wichtigsten Fakten hier sind, dass die Spannung in der Feder lokal ist (das erlaubt uns, die obige Gleichung zu schreiben), dass die Feder bei$t<0$sich so eingerichtet hat, dass alle Kräfte im Gleichgewicht bleiben, um stationär zu bleiben, und dass die Störung ihren Ursprung hat$\xi=0$breitet sich nur mit endlicher Geschwindigkeit aus.

Verweise:

[1] MG Calkin, „ Bewegung einer fallenden Feder “, Am. J. Phys. 61(3), 261–264 (1993).

Coole Frage.

Alles basiert auf dem zweiten Newtonschen Gesetz. Schauen Sie sich diesen Teil des Slinky an

Auf das darüber liegende Teil wirken drei Kräfte. Die Spannung vom oberen Teil des Slinky, die Spannung vom unteren Teil des Slinky und$mg$. Alle sind ausgeglichen.

Aber wenn Sie über diesen Teil des Slinky sprechen:

Die Kräfte sind Spannung,$mg$und diese Kraft durch die Hand. Beachten Sie, dass$mg$und Spannung sind in die gleiche Richtung, dh nach unten, und sie sind offensichtlich auch ausgeglichen.

Wenn Sie den Slinky loslassen, wird die Nettokraft auf das oberste Element$tension+mg$und ist nach unten gerichtet, aber auf den restlichen Teilen des Slinky sind die Kräfte NOCH ausgeglichen.

Was Sie also sehen, ist der oberste Teil, der nach unten stürzt, während die anderen einfach in ihrer Position bleiben.

Ziemlich interessant, es scheint der Logik zu trotzen. Aber hier ist, was passiert. Normalerweise würde ein horizontaler Slinky, der in zwei Händen gestreckt und losgelassen wird, beide Enden zur Mitte hin bewegen. Aber vertikal gehalten, und wo die Schwerkraft die unsichtbare andere Hand ist, die den Slinky nach unten streckt, kommt der Boden, wenn er von oben gehalten wird, an einem Gleichgewichtspunkt zur Ruhe, an dem die Feder aufgrund der Schwerkraft nicht mehr gedehnt werden kann, und aufgrund der Schwerkraft Die Feder zieht den Boden nicht höher als diese ausgewogene Länge.

Wenn Sie jetzt das obere Ende loslassen, denken Sie daran, dass sich normalerweise beide Enden einer Feder normalerweise aufeinander zu bewegen, es sei denn, ein Ende wird noch gehalten, in diesem Fall durch die Schwerkraft. Das Oberteil kommt schneller herunter, als Sie es vom freien Fall erwarten würden, da Sie die Wirkung der Schwerkraft und die Wirkung der Feder haben, die gleichzeitig arbeiten möchte. Der Boden will nach oben, kann aber nicht, weil er die Schwerkraft überwinden müsste, und in jedem Moment des Fallens wird die Feder weniger gedehnt, und daher nimmt die Federkraft ab.

Obwohl also der Boden leichter wird, der gedehnte Teil der Feder kürzer wird und es gleichzeitig einfacher wird, sich zu erheben, um den Gipfel zu treffen, nimmt die Federkraft ab und kann den Boden überhaupt nicht anheben. Der Po fällt nie, solange er überhaupt gedehnt wird, denn wenn er überhaupt gedehnt wird, hängt er eher, als dass er fällt. Es ist eine Frage des Kräfteausgleichs, des Aufziehens der Feder, des Herabziehens durch die Schwerkraft, eines sich ständig ändernden ─ leichter werdenden ─ Gewichts (der noch gedehnte Teil) und einer sich ständig ändernden ─ weniger stark werdenden ─ Federkraft (der Grad der Dehnung zwischen den Windungen).

Und diese beiden Kräfte, die sich ständig ändern, aber immer im Gleichgewicht bleiben, die sich gegenseitig so aufheben, dass der "hängende" Teil des Slinky schwerelos erscheint. Aber schwereloser oder in einer konstanten Höhe, ähnlich wie ein Flugzeug, würde als schwerelos angesehen werden; Ausgeglichene Kräfte wären eine bessere Erklärung als Schwerelosigkeit. Ein Blatt Papier kann mit dem perfekten Luftdruck darunter in der Luft schweben, der das Gewicht des Papiers ausgleicht.

Die Kraft auf den Schwerpunkt ist NICHT = mg. Es ist m(g - T), wobei T die Spannung in der Feder an der Position des Schwerpunkts ist. Ich denke, dass eine strengere Behandlung feststellen wird, dass die oberste Spule F = ma = mg erfährt, da T eine rein nach unten gerichtete Komponente hat.

Der Weg, dies zu klären, besteht darin, ein Experiment durchzuführen, bei dem der Fall eines schleichenden und eines frei fallenden starren Körpers verglichen wird, und zu sehen, ob es der Schwerpunkt ist, der bei g beschleunigt, oder die oberste Spule, wie ich vorhergesagt habe.