Warum sind die meisten Verteilungskurven glockenförmig? Gibt es ein physikalisches Gesetz, das dazu führt, dass die Kurven diese Form annehmen?

Erstens sind Verteilungen nicht immer glockenförmig. Ein sehr wichtiger Satz von Verteilungen nimmt von einem Maximum bei ab$x=0$, wie die Exponentialverteilung (Verzögerungszeiten bis zu einem zufälligen Ereignis wie einem radioaktiven Zerfall) oder Potenzgesetze (Größenverteilungen von zufällig zersplitternden Objekten, Erdbeben, Erzgehalt und vielem mehr).

Stabile Distributionen

Dennoch gibt es eine verdächtige Ähnlichkeit zwischen vielen Distributionen. Diese entstehen aufgrund statistischer Gesetze, die sie zu „Attraktoren“ machen: Verschiedene sehr unterschiedliche Zufallsprozesse laufen ab, aber ihre Ergebnisse neigen dazu, sich zu ähnlichen Verteilungen zu kombinieren. Wie Bob erwähnte, führt der zentrale Grenzwertsatz dazu, dass sich die Addition unabhängiger Zufallsfaktoren (mit endlicher Varianz!) einer Gaußschen Verteilung nähert (da sie so häufig vorkommt, wird sie als Normalverteilung bezeichnet). Genau genommen gibt es noch ein paar andere Möglichkeiten . Werden stattdessen zufällige Faktoren multipliziert, ist das Ergebnis die logarithmische Normalverteilung . Wenn wir das Maximum einiger zufälliger Dinge nehmen, nähert sich die Verteilung einer Weibull-Verteilung (oderein paar andere ). Grundsätzlich neigen viele wiederholte oder komplexe Prozesse dazu, immer wieder die gleichen Verteilungen zu erzeugen, und viele davon sehen aus wie Glockenformen.

Maximale Entropieverteilungen

Warum das? Die tiefe Antwort ist Entropiemaximierung . Diese stabilen Verteilungen neigen dazu, die Entropie der Zufallswerte, die sie erzeugen, zu maximieren, vorbehaltlich einiger Einschränkungen. Wenn Sie etwas Positives und einen bestimmten Mittelwert haben, erhalten Sie die Exponentialverteilung. Wenn es positiv ist, aber es keine bevorzugte Skala gibt, erhalten Sie ein Potenzgesetz. Angegebener Mittelwert und Varianz: Gaussian. Maximale Entropie im Phasenraum bei gegebener mittlerer Energie: Maxwell-Boltzmann .

Statistische Mechanik

Hier kommen wir zurück zur Physik. Viele physikalische Prozesse gehorchen der statistischen Mechanik, die dem Postulat der gleichen a priori Wahrscheinlichkeit folgt:

Für ein isoliertes System mit genau bekannter Energie und genau bekannter Zusammensetzung kann das System mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem Mikrozustand gefunden werden, der mit diesem Wissen übereinstimmt.

Wenn wir die Energie und Anzahl der Teilchen genau kennen, ist jeder erlaubte Mikrozustand gleich wahrscheinlich (maximiert die Entropie), aber alles Makroskopische, das wir berechnen oder messen, ist eine Funktion dieser zufälligen Mikrozustände - daher wird seine Verteilung gebündelt, wenn es viele gibt Mikrozustände, die diesen Makrozustand erzeugen können. Wenn es feste Teilchen hat, wir aber nur die durchschnittliche Energie kennen , hat jeder Zustand eine Wahrscheinlichkeit$(1/Z)e^{-E/k_B T}$Wo$E$ist ihre Energie,$Z$ist eine Normalisierungskonstante und$T$die Temperatur: Diese Verteilung, die Boltzmann-Verteilung, maximiert die Entropie mit der Einschränkung, dass die durchschnittliche Energie fest ist. Ähnliche Verteilungen funktionieren, wenn sich die Anzahl der Partikel ändern kann .

Quantenmechanik

Schließlich verbindet sich dies mit der Quantenmechanik: QM beschreibt die Menge möglicher Mikrozustände, und daraus plus statistischer Mechanik kann man die statistischen Verteilungen makroskopischer Dinge wie emittierte Photonen unterschiedlicher Wellenlängen, Gasmolekülgeschwindigkeiten oder kinetische Energieverteilungen berechnen. Die Anzahl der verfügbaren Zustände beeinflusst, welche Kurven wir erhalten, und die Einschränkungen des Experiments legen Parameter wie Energie oder Temperatur fest, aber da die Natur entropiemaximierend ist, erhalten wir die entropiemaximierenden Verteilungen, die zu diesen Eingaben passen.

Sie sind oft locker glockenförmig, da für hohe Energien mehr Zustände verfügbar sind (die Kurve wächst von niedrigen Werten bei niedriger Energie), aber das System kann nicht alle Teilchen in hochenergetische Zustände versetzen, während die (durchschnittliche) Energie konstant bleibt (die Kurve hat über einen bestimmten Punkt hinaus abfallen). Dies ist jedoch der Durchschnitt einer Vielzahl von Mikroereignissen, die alle komplexere oder diskretere Verteilungen aufweisen.

„Glockenkurve“ bezieht sich oft auf eine Gaußsche Verteilung. Diese Verteilung ist so häufig, dass sie auch als Normalverteilung bezeichnet wird. Es kommt sehr häufig vor, weil es immer dann auftaucht, wenn man die Summe vieler Dinge aus einer einzelnen Verteilung betrachtet: dh viele winzige Schwankungen, die sich nach dem zentralen Grenzwertsatz zu einer Gaußschen Verteilung addieren.

Obwohl sie glockenförmig aussehen, ist jedoch keines der Beispiele hier tatsächlich Gaußsch. Sie haben etwas kompliziertere Ursachen.

Von den dreien kommt die Maxwell-Verteilung am nächsten. Es ist am oberen Ende etwas höher als bei einem Gaußschen und geht im Gegensatz zu einem Gaußschen bei Null auf Null. (Die Geschwindigkeitsverteilung entlang einer einzelnen Achse ist Gaußsch) Physikalisch wird dies durch den Phasenraum verursacht : Um eine Geschwindigkeit von genau Null zu haben, benötigt ein Teilchen alle Vx, Vy und Vz Null, was sehr unwahrscheinlich ist.

Die anderen beiden Verteilungen sind noch weiter von Gauß entfernt.

Die Wien-Verteilungen haben einen quantenmechanischen Grund, obwohl sie etwas spezifisch für die zugrunde liegende Planck-Strahlung sind: Sie kommt von der Notwendigkeit, dass die Strahlung mit höherer Energie (niedrigerer Wellenlänge) in Quanten mit bestimmter Größe kommt. Dies führt dazu, dass die von links einlaufende Erhöhung bei Null umschlagen muss, um Null zu erreichen.

Die Beta-Abklingform entsteht auch nicht durch die Kombination vieler kleiner Effekte. Vielmehr kommt es auch aus dem Phasenraum : Wenn das Beta-Teilchen eine mittlere Energie hat, gibt es viele Möglichkeiten für die Richtung und Energie von Kern und Neutrino. Bei sehr hohen oder sehr niedrigen Energien gibt es jedoch viel weniger Möglichkeiten: Alles muss genau richtig ausgerichtet sein, daher ist die Wahrscheinlichkeit geringer.

Viele physikalische Verteilungen, insbesondere in der thermischen oder stochastischen Physik, haben aufgrund der Grenzen des physikalisch Möglichen einen „runden zentralen Buckel, der auf beiden Seiten abnimmt“: Einige Prinzipien, wie Quantisierung oder Energieerhaltung, machen es sehr unwahrscheinlich oder sogar unmöglich über einen bestimmten Wert hinaus. In der Wärmephysik sind dies oft die Gesetze der Wahrscheinlichkeit: Sie kombinieren eine Reihe kleiner Effekte, es ist unwahrscheinlich, dass sie alle in die eine oder andere Richtung gehen. Es ist unwahrscheinlich, dass alle Ereignisse Sie in das eine oder andere Ende drängen, und je weiter Sie hinausgehen, desto unwahrscheinlicher wird diese Aufstellung. Daher ist es üblich, dass eine physikalische Verteilung von einer zentralen Spitze abfällt, die ungefähr dort liegt, wo sich alle +/- Schwankungen aufgehoben haben.

Nützliche Verteilungen in der Physik haben in der Regel die folgenden Merkmale:

• kontinuierliche/glatte Funktion
• asymptotischer Ansatz Null für groß$x$ und entweder sehr klein$x$(dh 0) oder negativ unendlich
• einen einzigen Peak haben

Dies sind so ziemlich die bestimmenden Merkmale glockenförmiger Funktionen :

Eine Glockenfunktion oder einfach „Glockenkurve“ ist eine mathematische Funktion mit einer charakteristischen „Glocken“-förmigen Kurve. Diese Funktionen sind typischerweise kontinuierlich oder glatt, nähern sich asymptotisch Null für große negative/positive Werte$x$, und haben ein einzelnes, unimodales Maximum bei klein$x$.

Natürlich gibt es in der Physik nützliche Verteilungen, die nicht allen diesen Eigenschaften folgen (und daher nicht glockenförmig sind). Zum Beispiel Potenzgesetzverteilungen (verwendet in der stellaren Anfangsmassenfunktion und kosmischen Strahlenflüssen ), diese Art der Verteilung ist immer noch kontinuierlich und einspitzig, nähert sich aber an beiden Enden nicht asymptotisch 0. Wenn man in diesem Fall über die Verteilung integrieren muss, würde man die physikalischen Grenzen für die Ober- und Untergrenze verwenden (z. B. 0,08$M_\odot$und ~150$M_\odot$für die Anfangsmassenfunktion vgl. diesen SE-Beitrag von mir ), eher als$(0,\,+\infty)$oder$(-\infty,\,+\infty)$

Soweit ich das beurteilen kann, müssen sie dazu neigen, wenn Sie möchten, dass sie kontinuierlich sind, am Ursprung beginnen, nicht negativ sind und ein bestimmtes uneigentliches Integral haben$0$bei$+ \infty$, beschränkt sein und ein Maximum annehmen.

Darüber hinaus haben sie, wenn sie genau ein lokales Maximum akzeptieren, eine ähnliche Form wie die von Ihnen geposteten Kurven.