Wie viel Auswahl hatte Einstein bei der Auswahl seiner GR-Gleichungen?

Ich denke , Hawking, Ellis „The Large Scale Structure of Space-Time“ 3.4 wäre eine interessante Lektüre für Sie.

Aus diesem Buch:

Mit Ricciscalar$R$, kosmologische Konstante$\lambda$und Materie Lagrange$L_m$

$$I=\int_M (A (R - 2 \lambda ) + L_m)$$

Man könnte sich fragen, ob das Variieren einer Aktion, die von einer anderen Skalarkombination der Metrik- und Krümmungstensoren abgeleitet wird, nicht einen vernünftigen alternativen Satz von Gleichungen ergibt. Der Krümmungsskalar ist jedoch der einzige derartige Skalar, der in zweiten Ableitungen des metrischen Tensors linear ist; Nur in diesem Fall kann man also ein Oberflächenintegral wegtransformieren und mit einer Gleichung zurückbleiben, die nur zweite Ableitungen der Metrik beinhaltet.

Wenn man einen anderen Skalar wie z$R_{ab}R^{ab}$oder$R_{abcd}R^{abcd}$man würde eine Gleichung erhalten, die vierte Ableitungen des metrischen Tensors beinhaltet. Dies erscheint verwerflich, da alle anderen Gleichungen der Physik erster oder zweiter Ordnung sind. Wenn die Feldgleichungen vierter Ordnung wären, müssten nicht nur die Anfangswerte der Metrik und ihre ersten Ableitungen angegeben werden, sondern auch die zweiten und dritten Ableitungen, um die Entwicklung der Metrik zu bestimmen.

Eine weitere nette Lektüre ist Carroll „Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity“ 4.8. Alternative Theorien . Es gibt eine kürzere Version kostenlos online in Kapitel 4 hier

Die empirischen Einschränkungen sind einige offensichtliche, z. B. wenn Sie die Gleichungen haben, sollten die irdischen Ergebnisse bis zu einem gewissen Grad Newtonsch aussehen, siehe z .

Abgesehen von diesem praktischen Vergleich mit dem Experiment steckt natürlich viel konzeptionelle Arbeit in der Theorie, insbesondere der Überwindung der Probleme der Newtonschen Mechanik an sich und dann auch der Vereinigung der speziellen Relativitätstheorie mit der Gravitation. Aber Ihre Frage scheint bereits mit der Idee einer Raumzeitmetrik usw. zu beginnen.

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Was Sie sicherlich gerne haben, sind geometrische Gleichungen, dh Tensorgleichungen, die Sie auch in indexfreier Form schreiben könnten. Die vorliegende Energiegröße ist der klassische Spannungsimpulstensor und die Theorie wird hoffentlich seine Beziehung vorhersagen

$$T_{\mu\nu}=\dots$$ zur Raumzeitmetrik auf die eine oder andere Weise. Beginnen Sie dort, sammeln Sie alle Dinge, die Sie eingeben müssen, dies sind die Metrik, ihre Ableitungen und vielleicht einfachere (skalare) Größen. Der Tensor forciert die rechte Seite $$\dots=G_{\mu\nu}$$ einige Eigenschaften zu haben, z. B. ist es ein symmetrischer Tensor, er hat aufgrund von verschwindender Divergenz $\nabla T=0$und dann gibt es noch einige Trace-Features und so weiter. Sie sehen zB einige Erklärungen für elektromagnetische Felder.

Sie finden immer diese unangenehme Form "schöne Tensorgröße minus irgendein konstruiertes Objekt", wenn Bedingungen eingearbeitet sind. Ich meine, die Einstein-Gleichungen selbst haben diese Art von Form mit

oder gleichwertig

Es liest sich auf jeden Fall

$$T\propto G,$$ wo man das argumentieren könnte $T$ist das kleinste Objekt, das Sie dynamisch ausdrücken möchten. Einstein arbeitete die linke Seite in dieser Gleichung aus. Anscheinend hat sich David Hilbert die Theorie-Features parallel zu Einstein ausgedacht (es gibt viel über diesen "Hilbert-Einstein-Prioritätsstreit" zB hier ), aber er hat den ausgefallenen Tensor nicht aufgeschrieben. Ich meine, es ist immerhin der Einstein- Tensor .

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Zu guter Letzt ist hier eine schwindelerregende Liste von Ideen, mit denen Sie vielleicht nicht vertraut sind. Und diese sind klassisch.

Ich finde es auch interessant festzustellen, dass es Theorien gab, die vor der allgemeinen Relativität existierten

Abgesehen von diesen direkten (komplizierteren?) alternativen Ideen habe ich außerdem einige explizite theoretische Arbeiten von (Quanten-) Ansätzen "über" der allgemeinen Relativitätstheorie gesehen, die diese und jene geometrischen Ausdrücke hervorgebracht haben, die Krümmungstensoren und ihr Produkt und alles, was Sie denken können, beinhalten von. Aber ich schätze, sie werden erst dann erwähnt, wenn sie mit kosmologischen Beobachtungen verglichen werden können, die Erklärungen benötigen, die die Allgemeine Relativitätstheorie nicht liefert.