Was ist Farbladung?

Ich habe diese Frage vor ein paar Wochen gestellt und war mit den meisten Antworten, die ich im Internet fand, unzufrieden, also gelang es mir schließlich, eine Kopie von Griffiths ausgezeichnetem Text über Elementarteilchen (wirklich, alle seine Texte sind ausgezeichnet) zu beschaffen, der Folgendes enthält ein Abschnitt, der genau meine Frage mit dem beantwortet, wonach ich gesucht habe. Ich beschloss dann, es selbst zu beantworten, falls eine andere neugierige Person dies liest und wissen möchte.

Dies ist nur eine sehr oberflächliche Erklärung, die meine eigene Frage zu meiner eigenen Zufriedenheit beantworten soll.

Griffiths beginnt mit der Einführung von im Grunde drei Kopien der EM-Ladung, die als Farbladung bezeichnet werden, und schlägt vor, dass diese Spaltenvektoren mit drei Elementen sind:

$$c_{red} = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_{blue} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), c_{green}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right).$$ Diese könnten im Prinzip jeden beliebigen Vektorwert annehmen, mit Ausnahme von Symmetrieeffekten in der Theorie und Farbbegrenzung.

Um herauszufinden, wie diese Vektorladungen interagieren, wenden wir uns dem Gell-Mann zu$\lambda$-Matrizen, die zu$SU(3)$was die Pauli-Matrizen sollen$SU(2)$. Diese werden von Griffiths aufgelistet, aber das Schreiben von Matrizen wäre ein Schmerz; Sie können sie auf Wikipedia nachschlagen.

Griffiths nimmt dann Feynman-Streuamplituden in niedrigster Ordnung für die chromodynamische Wechselwirkung und entwickelt daraus Potentiale für verschiedene Wechselwirkungen.

Für Quark-Anti-Quark hat er

$$V_{q\bar{q}}(r) = -f\frac{\alpha_s\hbar c}{r}.$$ Dies ist im Prinzip eine weitreichende Kraft, aber sie wird aufgrund der Beschränkung auf kurze Reichweite gebracht. Es hat die gleiche Form wie das Coulomb-Potential. Wichtig ist hier die $f$, den Griffiths den "Farbfaktor" nennt. Dieser Farbfaktor ist wie $q_1q_2$in der Elektrostatik bzw $\mathbf{p}_1\circ\mathbf{p}_2$für Dipol-Dipol-Kräfte und hängt vom Farbzustand der fraglichen wechselwirkenden Teilchen ab. Es wird berechnet nach $$f = \frac{1}{4} (c_3^\dagger\lambda^\alpha c_1)(c_2^\dagger\lambda^\alpha c_4),$$ wo Summierung impliziert ist $\alpha$. Hier $c_1$ist die Ladung des ankommenden Quarks, $c_3$Ladung des ausgehenden Quarks und $c_2,c_4$Gebühren für ein- und ausgehendes Antiquark.

Als Beispiel berechnet Griffiths die Wechselwirkung zwischen Rot und Anti-Blau.

$$c_1=c_3=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_2=c_4=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right).$$ Somit $$f = \frac{1}{4}\left[(1,0,0)\lambda^\alpha\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) \right]\left[ (0,1,0)\lambda^\alpha \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right] = \frac{1}{4}\lambda^\alpha_{11}\lambda^\alpha_{22}.$$ Das heißt, es handelt sich um eine Summe über Produkte des 1. Diagonalelements und des 2. Diagonalelements jeder der Gell-Mann-Matrizen. Wenn man sich ihre Form ansieht, sind die einzigen Matrizen mit diesen beiden Elementen ungleich Null die von Griffiths gekennzeichneten $\lambda^3$und $\lambda^8$. Diese führen zu $$f = \frac{1}{4}[(1)(-1)+(1/\sqrt{3})(1/\sqrt{3})] = -\frac{1}{6},$$ $$V_{r\bar{b}} = \frac{1}{6}\frac{\alpha_s \hbar c}{r},$$ was offensichtlich eine abstoßende Kraft ist. Griffiths berechnet auch andere Wechselwirkungen. Zum Beispiel Quark-Antiquark-Singulett-Wechselwirkungen, $(1/\sqrt{3})(r\bar{r}+b\bar{b}+g\bar{g})$, die Farbfaktor haben $f=\frac{4}{3}$und sind daher attraktiv , was die Beschränkung von Quarks auf Farb-Singulett-Zustände und das Fehlen von Beobachtungen für farbige Zustände erklärt. Er berechnet auch Quark-Quark-Wechselwirkungen, die ein etwas anderes Potential haben, $$V_{qq}=f\frac{\alpha_s \hbar c}{r}.$$ Als Beispiel berechnet er die Rot-Rot-Wechselwirkung; es hat den Faktor 1/3, ist also abstoßend.

Davon gibt es eine Menge in diesem sehr wunderbaren Buch, aber das reicht aus, um meine Neugier zu befriedigen, was Farbladung ist und wie sie funktioniert. Hoffentlich ist es für andere hilfreich. Natürlich war dies wegen meines eigenen vereinfachten Gehirns stark vereinfacht und ärgert zweifellos Pedanten auf diesem Gebiet, aber wenn Sie eine bessere Erklärung und ein besseres Verständnis wünschen, wurde dies alles aus Kapitel 8.4 von Introduction to Elementary Particles von David entnommen Griffiths, herausgegeben von Wiley-VCH, Second Revised Edition – nur um Quellen zu zitieren.

Probieren Sie dies für die Größe an: Farbladung ist ein Name für einen Satz von drei verwandten Ladungen, die willkürlich mit Rot, Grün und Blau gekennzeichnet sind. Jede der einzelnen Ladungen funktioniert ähnlich wie eine elektromagnetische Ladung, insofern Sie positive und negative Werte haben: rot und antirot, grün und antigrün, blau und antiblau. Es ist also so etwas wie ein dreidimensionaler Ladungsraum mit drei unabhängigen Ladungen auf den Achsen. Somit würde die Farbladung eines Teilchens durch einen Vektor dargestellt$(c_1, c_2, c_3)$.

Der einzige große Unterschied, der dies zu keinem regulären 3D-Ladungsraum macht, besteht darin, dass eine gleiche Kombination aller drei Ladungen überhaupt keiner Farbladung entspricht. Sie können sich also vorstellen, diesen 3D-Raum der Farbladung zu nehmen und ihn auf die 2D-Ebene orthogonal zur neutralen Farbachse zu projizieren. Das heißt, wenn Sie ein Teilchen haben, dessen Farbladung ist$(c_1, c_2, c_3)$, das entspricht der Projektion dieses Vektors auf die Ebene senkrecht zu$(1,1,1)$.

Nun zu den Details. Ich weiß nicht ohne weiteres, was die Formel wäre, die zB dem Coulombschen Gesetz für die starke Kraft entspricht; da ist sehr komplizierte mathematik dabei. Aber qualitativ kann ich Ihnen sagen, dass Farbladungen immer versuchen, in neutralen Gruppen zu bleiben. (Singlets, in der Sprache der Gruppentheorie) Wenn Sie zum Beispiel rote, grüne und blaue Partikel zusammen haben, werden sie sehr schwer auseinander zu brechen sein. In ähnlicher Weise lassen sich Rot und Antirot nur schwer voneinander trennen, sodass Sie sagen können, dass sie sich gegenseitig anziehen. Wenn Sie ein rotes und ein antiblaues Partikel zusammenfügen, bilden sie kein farbneutrales Paar, daher denke ich, dass es eine gewisse Abstoßung geben wird, es sei denn, die beiden kommen mit einem dritten Partikel zusammen, das die richtige Farbladung hat um sie farbneutral zu gruppieren (was eigentlich nur eine Mischung aus Antirot und Blau wäre).