Messung von Observablen mit kontinuierlichem Spektrum: Zustand des Systems danach

Question

Messung von Observablen mit kontinuierlichem Spektrum: Zustand des Systems danach

Geno-Wirbel

Angenommen mein System, beschrieben durch einen separierbaren Hilbert-Raum $H$ , ist im Staat $\Psi$ wenn ich eine Observable messe, die nur ein kontinuierliches Spektrum hat. Wie ist der Zustand des Systems nach der Messung?

Sagen wir der Bestimmtheit halber, dass wir den Impuls eines Teilchens messen, dessen Zustand ist $\Psi \in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$ . Wird es den Raum "verlassen". $L^{2}(\mathbb{R}^{3})$ und eine Welle "werden"?

Wenn stattdessen meine Messung nur teilweise genau ist und besagt, dass der Impuls des Teilchens in einer Menge ist $\Delta =(a_x,b_x)\times(a_y,b_y)\times(a_z,b_z)$ , wird die Messung die Wellenfunktion in kollabieren $P\Psi$ (Wo $P$ ist der Spektralprojektor des Impulsoperators am Set $\Delta$ )?

Was ist die korrekte Beschreibung des Systems nach einer solchen Maßnahme?

Antworten (1)

Messung von Observablen mit kontinuierlichem Spektrum: Zustand des Systems danach

Emilio Pisanty · Answer 1

Deine Intuition das

Wenn stattdessen meine Messung nur teilweise genau ist und besagt, dass der Impuls des Teilchens in einer Menge ist $\Delta =(a_x,b_x)\times(a_y,b_y)\times(a_z,b_z)$ , wird die Messung die Wellenfunktion in kollabieren $P\Psi$ (Wo $P$ ist der Spektralprojektor des Impulsoperators am Set $\Delta$ )?

ist genau richtig. Messungen, die auf unphysikalische Zustände wie Impuls-Eigenzustände projizieren, sind physikalisch nicht realisierbar; wir können nur mit endlicher Auflösung auf Kontinuumszustände projizieren, und die entsprechenden Messprojektoren sind die entsprechenden Spektralprojektoren $P$ . Nach der Messung ist der Zustand des Systems der projizierte Vektor $P\Psi$ .

Wenn Sie einen etwas ausgefeilteren Ansatz wünschen, können Sie sich Ihren Detektor so vorstellen, dass er eine Reihe von "Pixeln" hat, von denen jedes eine variable Empfindlichkeit hat $f_j(\mathbf p)$ zu unterschiedlichen Impulsen, und die einem Projektionsoperator zugeordnet ist

P_{J} = \int D P F_{J} (P) | P ⟩ ⟨ P | .

$P_j=\int\text d\mathbf p \, f_j(\mathbf p) \,|\mathbf p⟩⟨\mathbf p|.$ Der

f_{j} (p)

$f_j(\mathbf p)$ sollten eine Teilung der Einheit sein, in dem Sinne, dass sie real, positiv und sind

\sum_{j} f_{j} (p)

$\sum_j f_j(\mathbf p)$ sollte identisch 1 sein. Das macht dann die

P_{j}

$P_j$ in ein POVM , das gehorcht

\sum_{J} P_{J} = ICH .

$\sum_j P_j=\mathbb I.$ Nach dem Messen auf Pixel

j

$j$ , ist der Zustand des Systems

P_{j} Ψ

$P_j\Psi$ .

Warum ist das notwendig? Ihr ursprüngliches Schema passt in das neue Schema, weist jedoch Diskontinuitäten auf $f_j$ . Dies bedeutet, dass Sie spektrales Clipping in Ihren Zustand einführen, mit dem Ergebnis, dass $P\Psi$ ist immer noch nicht physisch und wird im Allgemeinen ~ haben $\sin(x)/x$ Klingeln, die es unphysikalisch machen (obwohl es immer noch integrierbar ist). Nur wenn die $f_j$ sind glatt und haben eine kompakte Unterstützung $P_j\Psi$ ganz körperlich sein. (Hier meine ich mit „physischem Zustand“ einen, der endlich ist $⟨\hat x^n⟩$ Und $⟨\hat p^n⟩$ für alle $n$ .)

Offensichtlich schließt dieses Kriterium derartige Funktionen aus $f_j(\mathbf p)=\delta(\mathbf p)$ , und die Projektion auf einen reinen Impuls-Eigenzustand ist keine physikalische Sache. Wenn Sie das getan haben, geht der Staat $L^2$ zu einer (ebenen!) Welle werden. Das ist keine besonders lästige Idee, denn um die Wellenlänge einer Funktion wirklich auf eine exakte reelle Zahl festlegen zu können, braucht man ein physikalisches Verfahren, das sie an jeder Position dazwischen bewertet $-\infty$ Und $\infty$ , was bedeutet, dass die Unbeschränktheit des resultierenden Zustands nicht besonders überraschend ist. (Offensichtlich gilt eine analoge Version dieses Arguments für die "beliebige Impulspräzision" und die für die Messung erforderliche "zunehmend größere räumliche Ausdehnung", die für den resultierenden Postprojektionszustand gilt.)

Um mehr über die Rolle von physikalischen Zuständen, wie ich sie definiert habe, und ihre Beziehung zu kontinuierlichen Spektren zu lesen, ist das Schlüsselkonzept, das Sie nachschlagen sollten, „ manipulierte Hilbert-Räume“ . Eine gute Referenz dazu, von einer oberflächlichen Lektüre, ist

Die Rolle des manipulierten Hilbert-Raums in der Quantenmechanik. R. de la Madrid. EUR. J. Phys. 26 nr. 2, 287-312 (2005) . arXiv:quant-ph/0502053 .

Würden Sie mir dieses spektrale Clipping bitte näher erklären ? Die spektrale Projektion $P$ oben beschrieben ist eine orthogonale Projektion und daher ein beschränkter Operator. Wie könnte es den Zustandsvektor rendern? $\Psi$ nicht integrierbar?
„Spektrales Abschneiden“ bezieht sich auf das Einfügen von Diskontinuitäten in das Spektrum einer Funktion. Die wesentliche Intuition ist, dass dies die Funktion zu einer Stufenfunktion im Impulsraum macht, sodass ihre Fourier-Transformation wie eine Sinc-Funktion ist (dh die Transformation einer Stufenfunktion). Dies ist tatsächlich integrierbar (und ich habe meine Antwort geändert), aber es ist immer noch nicht physisch, da es keine genau definierten Positionsmomente hat. Daher $P$ nimmt nicht $\Psi$ aus $L^2$ , aber es nimmt es aus dem Innenraum heraus $\Phi\subsetneq L^2$ von physikalischen Zuständen.

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Emilio Pisanty

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