Ist das Schalentheorem nur eine Annäherung?

Wenn Sie ein Teilchen sehr nahe an die Grenze bringen, wird die Kraft von Materie sehr nahe daran sehr stark sein, wie Sie sagen. Aber das ist nur ein kleiner Teil der Schale; der ganze Rest zieht in die andere Richtung, zur Mitte hin. Der Schalensatz garantiert, dass sich diese Kräfte exakt aufheben.

Die meisten mathematischen Formalitäten werden auf der Wikipedia-Seite behandelt, auf die Sie in Ihrer Frage verweisen. Dort wird zum Beweis des Schalensatzes angenommen, dass die Schale eine Masse pro Flächeneinheit hat$\sigma$und in viele koaxiale Ringe aufteilen, wobei die Achse entlang eines Durchmessers verläuft, der durch die Testmasse geht.$\theta$ist der Winkel zwischen dem Durchmesser durch die Testmasse und einer Linie vom Mittelpunkt der Kugel zu einem der Ringe.

Wenn wir zum Hauptpunkt springen, können wir das Gravitationsfeld finden, das von einem der dünnen Ringe an einer entfernten Testposition erzeugt wird$r$vom Mittelpunkt einer Kugel mit Radius$R$und Masse$M$, Wo$s$Der Abstand von der Testposition zu einem Punkt auf dem Ring ist gegeben durch

Für die volle Kugelschale sind die Grenzen$s_{\rm min} = R-r$(Wenn$\theta=0$) Zu$s_{\rm max}=R+r$(Wenn$\theta=\pi$und das Ergebnis ist Null - dies ist das Shell-Theorem und sollte für jeden Wert von funktionieren$r\leq R$.

Um jedoch Ihre spezifische Frage zu beantworten, warum explodiert das Gravitationsfeld aufgrund des Teils der Schale, das dem Testpunkt am nächsten liegt, nicht ins Unendliche, wenn der Testpunkt der Oberfläche der Schale sehr nahe kommt und das Gegenteil überwältigt (aber eindeutig endliches) Feld, das durch die über den Rest der Kugel verteilte Masse erzeugt wird?

Schauen Sie sich die obige Gleichung an und wie sie sich wann verhält$r$ist sehr nah an (aber kleiner als)$R$. In diesem Fall$s_{\rm min} \simeq 0$, Und$(R^2-r^2)/s \simeq 2R$was zu einer endlichen unteren Grenze führt.

In Worten, was passiert, ist, dass die Menge an Masse, die "unendlich nahe" an der Testmasse liegt, unendlich klein wird, wodurch sichergestellt wird, dass die Gravitationswirkung dieser Masse nicht ins Unendliche explodiert.

Der Schalensatz geht von einer kontinuierlichen Materieverteilung in der Schale aus.

Wenn Sie einer realen, physischen Hülle auch nur minimal nahe kämen, würden Sie entdecken, dass sie ebenfalls aus Partikeln besteht. Beim Durchlaufen der Shell würde eines von zwei Dingen passieren:

1. Sie könnten mit einem der Partikel zusammenstoßen und eine Kraft ohne Schwerkraft erfahren.

2. Sie könnten durch ein Loch in der Schale nach außen gelangen.

Interessant ist der zweite Fall. Bei einer durchgehenden Schale gibt es eine Diskontinuität zwischen der inneren Kraft (Null) und der äußeren Kraft (entspricht einer Punktmasse in der Mitte der Schale). Für ein Teilchen, das durch ein kleines Loch in einer Kugelschale geht, wird diese Diskontinuität geglättet. Wenn das Teilchen nicht durch die Mitte des Lochs geht, enthält die geglättete Gravitationskraft eine Komponente parallel zur Oberfläche der Hülle; Die Details hängen davon ab, wie "klumpig" die Schale ist.

Ein paar Dinge ...

1) Ich glaube nicht, dass das Shell-Theorem für einen 2-D-Uniformring gilt, wie im OP angegeben. Wenn Sie die Mathematik des 3D-Sphärenfalls durchgehen, stellen Sie fest, dass es im 3D-Fall einen zusätzlichen "Sünden"-Term gibt. (Oder anders ausgedrückt, eine Kugel ist NICHT gleich einer Sammlung von zweidimensionalen Ringen.)

2) In der rein theoretischen Welt, in der die 3D-Kugel zu 100 % aus gleichmäßig und kontinuierlich verteilter Masse besteht (anstelle von diskreten Partikeln), kann das Diskontinuitätsproblem wie folgt gelöst werden:

2A) Stellen Sie sich vor, dass es ein kleines Loch auf der Kugel gibt (mit Radius x). Angenommen, ein Teilchen bewegt sich in einer geraden Linie vom Inneren der Kugel nach außen durch die Mitte des Lochs. Wenn wir die Netto-Gravitationskraft auf das Teilchen gegen die Entfernung auftragen, die das Teilchen zurücklegt, dann ist es (offensichtlich) eine stetige Funktion.

2B) Betrachten Sie nun diese gezeichnete Funktion, indem wir x --> 0 machen. Der Grenzwert ist eine diskontinuierliche Stufenfunktion, während für jedes x > 0, wie klein auch immer, die Funktion selbst immer stetig ist.

2C) Was passiert nun, wenn es kein Loch gibt? (Oder Sie fragen - was passiert, wenn ich an der Grenze bin?) Mein Verständnis ist, dass das Newtonsche Gesetz nicht gilt, wenn der Abstand zwischen Materie genau bei Null liegt. In der physischen Welt gibt es keine Nulldistanz. Doch in der rein theoretischen mathematischen Welt fordert Sie das Newtonsche Gesetz auch dazu auf, dies nicht zuzulassen.

1. Der Schalensatz leitet sich hauptsächlich aus den Newtonschen Bewegungsgesetzen ab, insbesondere dem zweiten Newtonschen Gesetz , das nur für Teilchen gilt .

2. Die Bedingung, dass das zweite Newtonsche Gesetz gilt, ergibt sich aus der Annahme, dass die Dicke der Schale im Vergleich zum Radius der Schale vernachlässigbar ist, sodass der kleine Teil der Schale als Teilchen behandelt wird und das Newtonsche Gesetz gilt.

3. Ein weiterer wichtiger Grund für die obige Annahme ist, dass es einen Widerspruch bei der Anwendung von Mathematik gibt, da die Integralrechnung mit einer kleinen Menge beginnt und Sie die Schale nicht als "klein" behandeln können, wenn sich das Objektteilchen sehr nahe an der Schale befindet. Dies kann man sich als unendliches Zoomen vorstellen.

4. Das Shell-Theorem ist nur ein ideales Modell in der Physik wie alle anderen Gesetze, es gibt oft einige Annahmen, die wir ignorieren können, und physikalische Gesetze sind oft Annäherungen an die reale Welt.

Dies erklärt, dass das Schalentheorem nicht anwendbar ist, wenn sich das Partikelobjekt sehr nahe an der Schale befindet. Da die Hülle nicht als Zusammensetzung von Partikeln mit Kalkül behandelt werden kann, wenn sich das Partikelobjekt sehr nahe an der Hülle befindet.

Als ich das Theorem mithilfe von Kalkül herleitete, fand ich es schwierig zu wissen, welche Kraft auf die Oberfläche der Schale wirken wird, und es stellt sich heraus, dass sie demselben Prinzip unterliegen. Diese Frage bezieht sich auf das Gravitationsfeld auf der Oberfläche der Kugelschale .

Viele meiner Gedanken entstammen dem BuchAn Introduction to Mechanics (Kleppner, Kolenkow) (1973)