Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

Question

Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

Physik
Eigenwert
Quantenmechanik
Laplace-runge-lenz-vektor

Emilio Pisanty

Der Hamiltonianer für das Wasserstoffatom,

H. = \frac{p^{2}}{2 m} - - \frac{k}{r}

ist sphärisch symmetrisch und pendelt daher mit dem Drehimpuls

L

L

L.

;; Dies verursacht alle seine Eigenfunktionen mit gleicher Drehimpulszahl

l

l

l

aber beliebige magnetische Quantenzahl

m

m

m

in der Energie entartet sein.

Das Wasserstoffatom weist auch eine weitere Entartung auf, da es bei jedem Drehimpuls normalerweise andere gibt $l$ $l$ $l$ s mit der gleichen Energie. Diese Entartung ist auf die Existenz einer zweiten Bewegungskonstante zurückzuführen, die üblicherweise als Laplace-Runge-Lenz- Vektor bezeichnet wird.

EIN = \frac{1}{2 m} (p \times L. - - L. \times p) - - k \frac{r}{r},

Dies ist der Generator einer noch größeren Symmetrie, die für gebundene Zustände an die Gruppe isomorph ist

S O (4)

S O (4)

S. Ö (4)

von Rotationen in vier Dimensionen, des Kepler-Problems.

Der Runge-Lenz-Vektor hat auch eine reichhaltige geometrische Interpretation. Bei einer klassischen elliptischen Umlaufbahn zeigt sie vom Fokus zur Periapsis und ihre Größe ist proportional zur Exzentrizität der Umlaufbahn. Bei kreisförmigen Bahnen verschwindet es.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

^{Bildquelle: Wikipedia}

Das Wasserstoffatom wird normalerweise in der gemeinsamen Eigenbasis des Hamilton- und des Drehimpulses mit den bekannten und beliebten Quantenzahlen beschrieben $| n l m ⟩$ $| n l m ⟩$ $| n l m ⟩$ $| n l m ⟩$ . Allerdings ist der Runge-Lenz-Vektor $A$ $A$ $EIN$ ist auch eine Konstante der Bewegung.

Wie sehen seine Eigenfunktionen aus?

Genauer gesagt suche ich nach der räumlichen Struktur der gemeinsamen Eigenfunktionen von $H$ $H$ $H.$ und mindestens eine Komponente von $A$ $A$ $EIN$ und möglicherweise auch von $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${EIN}^{2}$ (die in Analogie zu den gemeinsamen Eigenfunktionen von $H$ $H$ $H.$ , $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ ${L.}^{2}$ und $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ ${L.}_{z}$ ist das Höchste, was man erwarten kann), und wenn dies nicht möglich ist, dann eine Erklärung des Grundes und eine Beschreibung geeigneter dritter Quantenzahlen, um einen CSCO zu vervollständigen. Ich würde gerne wissen, was ihre entsprechenden Eigenwerte sind und wie unsicher die anderen Komponenten sind, ob man dem Orbital eine klassische Exzentrizität zuweisen kann und allgemeiner in Bezug auf die entsprechende klassische Geometrie.

Olof

Sie sind ausdrücklich in Robert Gilmore, "Lügengruppen, Physik und Geometrie", Kapitel 14 (was ich gerade durch ein kurzes Googeln nach einem Tipp von Trimok gefunden habe) angegeben.

Emilio Pisanty

@Olof Während dieser Link tatsächlich solche Eigenfunktionen enthält, interessiert mich hauptsächlich die räumliche Struktur der Eigenfunktionen, die zugehörigen Eigenwerte, der Erwartungswert und die Unsicherheit von

A

A

EIN

in diesen Staaten und allgemeiner auf das räumliche Bild und die Intuition dahinter.

Antworten (2)

Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

Sie sind ausdrücklich in Robert Gilmore, "Lügengruppen, Physik und Geometrie", Kapitel 14 (was ich gerade durch ein kurzes Googeln nach einem Tipp von Trimok gefunden habe) angegeben.
@Olof Während dieser Link tatsächlich solche Eigenfunktionen enthält, interessiert mich hauptsächlich die räumliche Struktur der Eigenfunktionen, die zugehörigen Eigenwerte, der Erwartungswert und die Unsicherheit von $A$ $A$ $EIN$ in diesen Staaten und allgemeiner auf das räumliche Bild und die Intuition dahinter.

Olof · Answer 1

Ihr Kommentar hat mich dazu inspiriert, in Mathematica zu zeichnen :)

Nach der Diskussion in Kapitel 14 von Robert Gilmores "Lie Groups, Physics and Geometry" werden die Eigenzustände durch Zustände angegeben $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S. U. (2) \times S. U. (2)$ Zustände mit Quantenzahlen $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1};; j_{2}, m_{2} ⟩$ mit der weiteren Bedingung $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ . (Beachten Sie, dass der radiale Teil für die Diskussion irrelevant ist). Die Generatoren der beiden $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S. U. (2)$ : s sind gegeben durch $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ ${J.}_{1} = \frac{1}{2} (L. + {EIN}^{'})$ und $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ ${J.}_{2} = \frac{1}{2} (L. - - {EIN}^{'})$ , wo

{EIN}^{'} = \sqrt{- - \frac{m}{2 H.}} EIN

Der Staat

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1};; j_{2}, m_{2} ⟩

hat dann Eigenwerte

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

und

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

unter

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

{J.}_{1}^{2}

und

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

{J.}_{2}^{2}

während

m_{1}

m_{1}

m_{1}

m_{1}

m_{1}

und

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

sind die Eigenwerte unter dem

z

z

z

-Komponenten von

J_{1}

J_{1}

J_{1}

J_{1}

{J.}_{1}

und

J_{2}

J_{2}

J_{2}

J_{2}

{J.}_{2}

.

Es ist einfach, einen solchen Zustand in Eigenzustände der Diagonale zu zerlegen $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S. U. (2)$ Symmetrie entsprechend dem Drehimpuls, wobei die Koeffizienten die Standard- Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind . Es ist ziemlich langweilig, dies von Hand zu tun, aber zum Glück kann es mit Mathematica vollständig automatisiert werden. Der folgende Code erstellt den Eigenzustand $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J., {M.}_{1};; J., {M.}_{2} ⟩$ in Bezug auf sphärische Harmonische (die Warnung, die es manchmal erzeugt, ist hoffentlich nichts Ernstes).

 eigenstate[J_, M1_, M2_] := Sum[ClebschGordan[{J, M1}, {J, M2}, {j, M1 + M2}] SphericalHarmonicY[j, M1 + M2, \[Theta], \[Phi]], {j, 0, 2 J}]

Wir müssen es jetzt nur noch mit dem Code zeichnen

 SphericalPlot3D[Abs[eigenstate[1, 1, -1]]^2, {\[Theta], 0, \[Pi]}, {\[Phi], 0, 2 \[Pi]}, PlotRange -> {{-0.25, 0.25}, {-0.25, 0.25}, {-0.7, 0.7}}]

Dies ergibt das folgende Diagramm für die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Zustand $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1;; 1, - - 1 ⟩$ ::

Auftragung von | 1,1; 1, -1>

Hier sind die Staaten $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 /. 2, - - 1 /. 2;; 1 /. 2, 1 /. 2 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1;; 1, 0 ⟩$ , $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0;; 1, 0 ⟩$ und $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0;; 1, 1 ⟩$ ::

Auftragung von | 1/2, -1 / 2; 1/2 / 1/2> Plot von | 1,1; 1,0> Plot von | 1,0; 1,0> Plot von | 1,0; 1,1>

Der vierte Zustand ist das Spiegelbild des zweiten. Beachten Sie, dass die Achsen auf der ersten etwas anders sind als auf den anderen drei.

Während es einfach ist, mehr Diagramme zu erstellen, macht es mehr Spaß, in Mathematica mit ihnen herumzuspielen, wo Sie sie drehen und die Details leichter sehen können.

Könnten Sie kommentieren, welche Komponente von $A$ $A$ $EIN$ das sind Eigenzustände von und was sind ihre Eigenwerte?
@EmilioPisanty: Die Eigenwerte sind die Gesamtspins und Z-Komponenten von $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 /. 2 (L. \pm {EIN}^{'})$ , wo $A^{'}$ $A^{'}$ $A^{'}$ $A^{'}$ ${EIN}^{'}$ ist $A$ $A$ $EIN$ bis zu einer Neuskalierung.
@EmilioPisanty: Also merke ich jetzt, dass ich deine Frage falsch verstanden habe. Sie wollten die Eigenfunktionen von $A$ $A$ $EIN$ , nicht von der $S O (4)$ $S O (4)$ $S O (4)$ $S O (4)$ $S. Ö (4)$ Symmetrie...

suresh · Answer 2

Ich denke, es macht keinen Sinn, nach Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors zu fragen. Der Grund ist, dass der Kommutator zweier Komponenten des Runge-Lenz-Vektors, $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[{EIN}_{x}, {EIN}_{y}]]$ ist proportional zu $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ ${L.}_{z}$ . Das Beste, was man tun kann, ist, dass es eine Eigenfunktion einer der Komponenten ist, sagen wir $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${EIN}_{z}$ zusammen mit den beiden Casimirs $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ ${J.}_{1}^{2}$ und $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ ${J.}_{2}^{2}$ . Olofs Antwort oben ist also das Beste, was man tun kann. Es ist eine einfache, möglicherweise mühsame Übung, den Erwartungswert zu berechnen $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ {EIN}_{x} ⟩$ in einem dieser Staaten. Das verallgemeinerte Unsicherheitsprinzip (auch bekannt als Robertson-Schrödinger-Beziehung) kann zur Schätzung verwendet werden $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ {EIN}_{x} Δ {EIN}_{y}$ in jedem Zustand.

Das ist natürlich zu erwarten. Genauso wie $H$ $H$ $H.$ hat nur gemeinsame Eigenfunktionen mit $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ ${L.}^{2}$ und sag, $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ ${L.}_{z}$ würde man die gemeinsamen Eigenfunktionen von erwarten $H$ $H$ $H.$ und " $A$ $A$ $EIN$ "Eigenzustände sein von $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${EIN}_{z}$ und möglicherweise $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${EIN}^{2}$ . Es ist eine perfekt formulierte Frage, zusammen mit der Frage, wie sich die Geometrie dieser Eigenfunktionen auf die entsprechenden klassischen Bahnen bezieht. Natürlich können Sie die Frage auch nicht interessant finden.
Mein Kommentar ist ein technischer und es geht nicht darum, ob Ihre Frage interessant ist oder nicht. Es wäre schön wenn $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${EIN}^{2}$ pendelte mit $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${EIN}_{z}$ aber das tut es nicht. Wenn es so wäre, wäre es ein Kasimir, mit dem er pendelt $L$ $L$ $L.$ .
@Emilio Wenn es dir hilft, in Olofs Notation, im Staat $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1};; j_{2}, m_{2} ⟩$ , der Eigenwert von $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ ${EIN}_{z}^{'}$ ist $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - - m_{2})$ während der Eigenwert von $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ ${L.}_{z}$ ist $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ .
Betreff: Ihr erster Kommentar: Das ist ziemlich interessant. Ich denke, die einzig mögliche dritte Quantenzahl ist $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ ${L.}^{2}$ , die mit allen Vektorgrößen pendeln muss.
$L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ ${L.}^{2}$ funktioniert auch nicht als gute Quantenzahl, wenn Sie etwas verwenden, das den Runge-Lenz-Vektor betrifft. Addieren und Subtrahieren $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ ${J.}_{2}^{2}$ zu $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ ${J.}_{1}^{2}$ gibt $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ ${L.}^{2} + {EIN}^{'}^{2}$ und $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L. \cdot {EIN}^{'}$ bis zu multiplikativen Konstanten. So $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L. \cdot {EIN}^{'}$ kann als eine andere Quantenzahl verwendet werden.

Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

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