Saturns polare versus äquatoriale Schwerkraft

Es scheint, dass Britannica genauer ist.

Die Britannica-Werte von$g$kann auf Tabelle 2 dieses Papiers zurückgeführt werden: Die Atmosphäre des Saturn - eine Analyse der Voyager-Radiookkultationsmessungen , Lindal et al (1985). Wie im Titel angegeben, stammen diese Werte aus den Voyager-Messungen.

Zuerst dachte ich, dass der Wiki/Nasa-Wert auf den neueren Casini-Messungen basiert. Es stellt sich jedoch heraus, dass dieser Wert tatsächlich aus einer vereinfachten (und ungenauen) Berechnung stammt.

Ich habe keinen expliziten aktuellen Wert von gefunden$g$in der Literatur, aber ich habe herausgefunden, wie man es berechnet: Auf Seite 3 des Artikels Interior Models of Saturn: Inclusion the Uncertainties in Shape and Rotation (Helled & Guillot, 2013) wird angegeben, dass das effektive Potenzial einer Rotation Planet ist

$$U(r,\varphi) = \frac{GM}{r}\!\left(1 - \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{r_\text{s}}{r}\right)^{2n}J_{2n}P_{2n}(\sin\varphi)\right) + \frac{1}{2}\omega^2r^2\cos^2\varphi,$$ Wo$M$ist die Masse des Planeten,$r_\text{s}$ist ein Referenzäquatorialradius,$\varphi$ist der Breitengrad,$\omega=2\pi/P$ist die Winkelgeschwindigkeit (und$P$ist die Rotationsperiode),$P_{2n}(x)$sind Legendre-Polynome und$J_{2n}$sind Koeffizienten, die die Abweichung des Planeten von einer perfekten Kugel ausdrücken. Die Erdbeschleunigung$\mathbf{g}$ist dann ein Vektor mit Komponenten $$\begin{align} g_r(r,\varphi) &= -\frac{\partial U}{\partial r},\\ g_\varphi(r,\varphi) &= -\frac{\partial U}{\partial \varphi}. \end{align}$$ Seit$g_\varphi=0$an den Polen und am Äquator, konzentrieren wir uns auf$g_r$nur. Wir finden $$g_r = \frac{GM}{r^2}\!\left(1 - \sum_{n=1}^\infty(2n+1)\left(\frac{r_\text{s}}{r}\right)^{2n}J_{2n}P_{2n}(\sin\varphi)\right) - \omega^2r\cos^2\varphi,$$ was mit der im Anhang von Lindal et al. (1985) angegebenen Formel identisch ist. Lassen Sie uns nun einige Zahlen einfügen: von Helled & Guillot haben wir $$\begin{align} r_\text{s} &= 60,330\;\text{km},\\ J_2 &= 16,290.71\times 10^{-6}, \end{align}$$ Ignorieren der kleineren Koeffizienten höherer Ordnung$J_4$,$J_6$,...

In Tabelle 2 von Anderson & Schubert (2006) finden wir:

$$\begin{align} a &= 60,357.3\;\text{km},\\ q &= 0.158904,\\ P &= 10^\text{h}32^\text{m}35^\text{s} = 37,955\;\text{s}, \end{align}$$ Wo$a$ist der Äquatorialradius und$q$der sogenannte Kleinheitsparameter. Daraus erhalten wir $$\begin{align} \omega &= 2\pi/P = 1.65543\times 10^{-4}\;\text{rad}\,\text{s}^{-1},\\ GM &= \omega^2a^3/q = 3.79207\times 10^{16}\;\text{m}^3\,\text{s}^{-2}. \end{align}$$ Schließlich brauchen wir den Äquatorial- und Polarradius bei 1 bar. Gemäß dem IAU-Bericht über kartografische Koordinaten und Rotationselemente (2006) , pag. 173, finden wir $$\begin{align} r_\text{eq} &= 60,268\;\text{km},\\ r_\text{pol} &= 54,364\;\text{km}. \end{align}$$ Am Äquator haben wir also (ohne Berücksichtigung von Termen höherer Ordnung) $$\begin{align} g_r(r_\text{eq},0^\circ) &= g_1 + g_2 + g_3\\ &= \frac{GM}{r_\text{eq}^2} + \frac{GM}{r_\text{eq}^2}\frac{3}{2}\!\frac{r_\text{s}^2}{r_\text{eq}^2}\!J_2 - \omega^2r_\text{eq}, \end{align}$$ Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich also aus drei Beiträgen: der Schwerkraft eines kugelförmigen Planeten, einer Korrektur aufgrund von Nichtkugelförmigkeit und einem Zentrifugaleinfluss aufgrund der Rotation. Wir erhalten $$\begin{align} g_1 &= 10.44\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_2 &= 0.256\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_3 &= -1.652\;\text{m}\,\text{s}^{-2}, \end{align}$$ so dass die Beschleunigung in einem mit dem Planeten rotierenden Bezugssystem ist $$g_r(r_\text{eq},0^\circ) = 9.04\;\text{m}\,\text{s}^{-2}.$$ Beiträge der$J_4$,$J_6$Begriffe können die letzte Ziffer ändern.

Jetzt sehen wir, woher der Wert 10,44 kommt: Es ist nur der sphärische Begriff, der fälschlicherweise die Auswirkungen von Nicht-Sphärizität und Rotation ignoriert. An den Polen haben wir

$$\begin{align} g_r(r_\text{pol},90^\circ) &= g_1 + g_2\\ &= \frac{GM}{r_\text{pol}^2} - \frac{GM}{r_\text{pol}^2}\!3\!\frac{r_\text{s}^2}{r_\text{pol}^2}\!J_2, \end{align}$$ was dazu führt $$\begin{align} g_1 &= 12.83\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_2 &= -0.772\;\text{m}\,\text{s}^{-2},\\ g_r(r_\text{pol},90^\circ) &= 12.06\;\text{m}\,\text{s}^{-2}. \end{align}$$ Die äquatoriale Beschleunigung beträgt also tatsächlich etwa 75 % der Beschleunigung an den Polen. Fazit: Britannica ist genauer, obwohl die Werte nicht aktuell sind.

Obwohl etwas tangential, möchte ich einen separaten Ansatz zeigen, um gültige Zahlen für die Schwerkraft des Saturn zu erhalten. Dazu werde ich das Gauß'sche Gesetz für Gravitation und Rotation verwenden, um die durchschnittliche Schwerkraft des Planeten zu erhalten. Ich habe hier einige Methoden zusammengefasst , deshalb gehe ich jetzt nicht darauf ein.

Für die durchschnittliche scheinbare Schwerkraft (d. h. einschließlich Rotationsbeschleunigung) können wir den gesamten scheinbaren Gravitationsfluss durch die Oberfläche dividieren. Dieser Gravitationsfluss (oder vielleicht genauer „Beschleunigungsfluss“) setzt sich aus zwei Termen zusammen, einem von der Materie und einem von der Rotation. Die scheinbare Schwerkraft ist immer normal zur "Oberfläche" und zur Oberfläche die isobare 1-Bar-Oberfläche. Somit ist dieser Mittelwert die flächengemittelte Abwärtsbeschleunigung.

$$g_{avg} = \frac{ 4 \pi G M - 2 \omega^2 V}{ SA }$$

Der Wert dieses Ansatzes kann diskutiert werden, denn wenn Sie die lokale Schwerkraft zur Ableitung der Masse oder Dichte verwendet haben, dann berechnen Sie möglicherweise nur die gemessene Größe, die Sie ursprünglich erhalten haben. Es besteht jedoch immer noch Hoffnung, dass die Masse des Saturn aus großräumiger Orbitaldynamik abgeleitet wurde (wahrscheinlich) und dass Oberfläche und Volumen aus reinen Beobachtungs-/geometrischen Beweisen erhalten wurden (ebenfalls wahrscheinlich). Anhand des Wikipedia-Datensatzes (der, wie wir gezeigt haben, fragwürdig ist) erhalte ich dieses Ergebnis:

$$g_{avg} = \frac{ 4 \pi G \left( 5.6846 \times 10^{26} kg \right) - 2 \left( \frac{2 \pi}{10.57 hr} \right)^2 \left(8.27 \times 10^{14} km^3 \right) }{ 4.27 \times 10^{10} km^2 } = 10.109 \frac{m}{s^2}$$

Vergleichen Sie mit bekannten korrekten Zahlen, die sich bewegen$9.0 m/s^2$für den Äquator u$12.1 m/s^2$für die Stange. Dies sind die nächste signifikante Zahl und der ungefähre Durchschnitt für die Zahlen, die von der Britannica Encyclopedia und dem Benutzer Pulsar angegeben werden. Ersteres mag vorzuziehen sein, aber dies sind insgesamt gute Konsenszahlen. Alle Zahlen, die ich hier zitiere, sind das, was ich "scheinbare" Schwerkraft nenne, was die Subtraktion aufgrund der Rotation einschließt.

Wir stellen fest, dass meine Berechnung für die durchschnittliche scheinbare Oberflächengravitation ungefähr ist$35.4 \text{%}$zwischen den beiden. Das heißt, meine durchschnittliche Gravitationsberechnung liegt näher an der erfahrenen äquatorialen Gravitation als an der polaren Gravitation. Dies klingt konsistent mit einem flächengemittelten Wert. Wenn die Rotation der einzige Faktor wäre (unabhängig von der Umverteilung), könnten wir integrieren$\sqrt{x^2+y^2}$auf der Einheitskugel, um den Durchschnittswert zu finden, und dabei finde ich, dass der Durchschnitt wäre$21 \text{%}$die Differenz zwischen den äquatorialen und polaren Schwerkraftwerten. Ich glaube, dies zeigt Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Frage „Warum ist die Erde so fett“, bei der die Leute durchweg herausfanden, dass Modelle, die keine Umverteilung von Materie enthielten, um einen signifikanten Faktor abweichten.

Mit Zuversicht würde ich diese Schwerkraftzahlen mit eingeschlossener Drehung in melden$m/s^2$

• Äquator 9.0
• Durchschnitt 10.1
• Pol 12.1

Um die Zahlen ohne Drehung zu erhalten, können Sie meine Berechnung ohne die wiederholen$-2 \omega^2 V$Begriff. Die Polarzahl ist für beide gleich, da sie keine Rotationsbeschleunigung hat. Dann ist die Äquatornummer kniffliger, aber andere haben das für mich herausgefunden.

• Durchschnitt 11.2
• Äquator 10.7 (von Pulsar)

In gewisser Weise sind dies alles gültige Zahlen für die Schwerkraft des Saturn für verschiedene Bedingungen. Nicht darunter ist die Zahl 10,44, die keine gültige physikalische Interpretation hat.