Gleichung für Geschwindigkeit und Entfernung von der Sonne eines mit Sonnensegeln angetriebenen Raumfahrzeugs

Die Mathematik wird sehr schnell sehr kompliziert. Bevor Sie überhaupt den Schub in Betracht ziehen, erinnern Sie sich, dass die Kepler-Zweikörper-Umlaufbahnlösung selbst keine explizite Funktion der Zeit ist: Der Radius wird als Funktion des Winkels angegeben (wahre Anomalie), aber die Zeit ist proportional zur mittleren Anomalie, die in exzentrisch umgewandelt werden muss Anomalie und dann wahre Anomalie durch numerische Lösung der transzendentalen Kepler-Gleichung .

Selbst in den einfachsten Fällen sprechen Sie von Reihen- oder Kettenbruchentwicklungen von elliptischen Integralen. Wenn Sie jedoch Battins Buch über Astrodynamik haben, zeigt er auf den Seiten 408 bis 418, wie man es von Hand macht, wie es Leute wie Gauss und Legendre taten und für die alle seine Studenten am MIT sich durchkämpfen sollten. er beginnt den Abschnitt mit

Eine der möglichen störenden Beschleunigungen, die auf ein Raumfahrzeug einwirken, ist die Schubbeschleunigung, die von den Triebwerken des Fahrzeugs erzeugt wird. Die Trajektorienbestimmung erfordert unter diesen Umständen, wie bei fast allen Problemen mit gestörter Bewegung, im Allgemeinen die Anwendung spezieller numerischer Techniken. Es gibt jedoch mehrere Beispiele von praktischem Interesse, für die umfangreiche Analysen durchgeführt werden können. Insbesondere wenn die Schubbeschleunigung eine konstante Größe hat und radial, tangential oder in Umfangsrichtung gerichtet ist, dann ist es möglich, zumindest teilweise einige ziemlich interessante mathematische Ergebnisse zu erhalten.

Eine Übersicht über einige weitere Methoden, die genau berücksichtigen, wie Sie die Spirale herausführen möchten, die ich in diesem Fall insgesamt zugänglicher und nützlicher finde, ist Petropoulos und Sims 2002 , "A Review of Some Exact Solutions to the Planar Equations der Bewegung eines Schubraumfahrzeugs". Beachten Sie, dass sie am meisten an der Verwendung von Sonnenkollektoren zum Antrieb eines Ionentriebwerks interessiert sind, sodass Sie in die vorteilhafteste Richtung stoßen können, die sehr weit von der Radialrichtung entfernt ist!

Nur teilweise Antwort, ich weiß nicht genau, was ich tue, aber ich werde es versuchen.

Update: Raketen funktionieren, weil ihre spektakulären Fehlschläge im Licht des Tages untersucht und nicht versteckt wurden. Während dieser Kommentar Bedenken ausdrückt, dass die folgende Mathematik die Leser nachteilig verwirren könnte, bin ich zuversichtlich, dass den Lesern hier klar sein wird, dass es nicht die richtige Antwort gibt und dass die Technik des Vergleichens einer mathematischen Lösung mit einer numerischen Lösung funktioniert als gutes Beispiel dafür, wie eine Antwort verifiziert werden kann.

Mathematik

Gegeben ist eine Anfangsbeschleunigung von 1 AU$8.17 \times 10^{-4} m/s^2$.

Neigen Sie es um 45 Grad, um den Schub tangential zu machen, dividieren Sie durch$\sqrt{2}$da es jetzt schräg zur Sonne steht und den Abfall mit der Entfernung von der Sonne berücksichtigt:

in der prograden Richtung (gleiche Richtung wie die aktuelle Geschwindigkeit).

Vis-Viva-Gleichung :

Jetzt

Wo$GM$ist der Standard-Gravitationsparameter der Sonne $1.327 \times 10^{20} m^3/s^2$. Das Minuszeichen kommt ins Spiel, weil wir wissen, dass wir entgegen unserem ersten Instinkt, wenn wir eine Beschleunigungskraft in Vorwärtsrichtung haben, wir entgegen der Intuition um den gleichen Betrag verlangsamen . Dies wird auch in mehreren anderen Beiträgen hier zitiert, ich werde nach anderen Antworten suchen, die ich zitieren kann ...

Umschreiben und lösen:

Wenn wir setzen$t(v_0) = 0$mit anderen Worten, zum Zeitpunkt Null bewegen wir uns mit Umlaufgeschwindigkeit$v_0 = \sqrt{GM/AU}$ wir erhalten 0,408 Jahre.

Numerisch

Interessanterweise erhalte ich, wenn ich versuche, dasselbe numerisch zu simulieren, eine Fluchtzeit von 0,515 Jahren! Das überrascht mich aus zwei Gründen:

1. Die Geschwindigkeit erreicht niemals Null, was bedeutet, dass die obige Mathematik falsch ist!
2. Und doch ist es ziemlich nah!

Abschluss

Es wird ungefähr ein halbes Jahr dauern, um zu entkommen, aber ich habe noch nicht die vollständige Gleichung.

Weiterlesen:

• Ist es möglich, die Sonne zu erreichen, ohne Brennstoff/Reaktionsmasse zu verbrauchen?
• Was ist der optimale Winkel für ein Sonnensegel, das sich der Sonne zuwendet, wenn der Radialschub einbezogen wird? (derzeit unbeantwortet)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

AU = 150E+06 * 1000   # meters
GM = 1.327E+20   # m^3/s^2
a0 = 8.17E-04 / np.sqrt(2)  # dv/dt at 1 AU
year = 365.2564 * 24 * 3600 

coef = ( GM**2 / (4 * a0 * AU**2) )

v0 = np.sqrt(GM/AU)
print('v0: ', v0)
print('coef: ', coef)

t0 = coef / v0**3
print('t0 / year: ', t0 / year)

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    vhat = v / np.sqrt((v**2).sum())
    rsq = (x**2).sum()
    acc_thrust = vhat * a0 * rsq / AU**2
    acc = acc_thrust - GM * x * rsq**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

X0 = np.array([AU, 0, 0, v0])

time = np.linspace(0, 0.6, 10001) * year  # half year

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

print(answer.shape)

x, y, vx, vy = answer.T
r, speed = [np.sqrt((thing**2).sum(axis=0))
            for thing in answer.T.reshape(2, 2, -1)]

E = 0.5 * speed**2 - GM/r
E_norm = np.abs(E[0])

i_esc = np.argmax(E>=0)
things = time, r, x, y, speed, E
t_esc, r_esc, x_esc, y_esc, s_esc, E_esc = [thing[i_esc]
                                            for thing in things]

print('t_esc / year: ', t_esc / year)

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(2, 2, 1)
    plt.plot(time/year, r/AU)
    plt.plot([t_esc/year], [r_esc/AU], 'ok')
    plt.ylabel('r/AU')
    plt.xlabel('time (years)')
    
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.plot(time/year, speed/1000)
    plt.plot([t_esc/year], [s_esc/1000], 'ok')
    plt.ylabel('speed (km/s)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 3)
    plt.plot(time/year, E/E_norm)
    plt.plot([t_esc/year], [E_esc/E_norm], 'ok')
    plt.plot(time/year, np.zeros_like(time), '-k')
    plt.ylabel('Energy (norm)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.plot(x/AU, y/AU)
    plt.plot([x_esc/AU], [y_esc/AU], 'ok')
    plt.plot([0], [0], 'oy')
    th = np.linspace(0, 2*np.pi, 201)
    plt.plot(np.cos(th), np.sin(th), '-r', linewidth=0.5)
    plt.ylim(-1, 1.5)
    plt.gca().set_aspect('equal')
    plt.xlabel('AU')
    plt.ylabel('AU')
    plt.show()