Was ist die Definition einer zeitartigen und raumartigen Singularität?

Was ist die Definition einer zeitartigen und raumartigen Singularität ?

Ich versuche herauszufinden, was die Definitionen sind, habe es aber noch nicht getan.

Antworten (2)

Eine Singularität ist ein Zustand, in dem Geodäten unvollständig sind. Wenn Sie sich zum Beispiel in ein Schwarzes Loch fallen lassen, endet Ihre Weltlinie an der Singularität. Du bist nicht nur zerstört. Sie (und die subatomaren Teilchen, aus denen Sie bestehen) haben keine zukünftigen Weltlinien. Eine sorgfältige Definition der geodätischen Unvollständigkeit ist ein wenig schwierig, weil wir über Geodäten sprechen wollen, die nicht über eine bestimmte Länge hinaus ausgedehnt werden können, aber die Länge wird durch die Metrik gemessen, und die Metrik spielt bei einer Singularität verrückt, sodass die Länge undefiniert wird . Um dies zu umgehen, verwenden Sie einen affinen Parameter, der ohne Metrik definiert werden kann. Geodätische Unvollständigkeit bedeutet, dass es eine Geodäte gibt, die nicht über einen bestimmten affinen Parameter hinaus erweitert werden kann. (Dies gilt auch für lichtähnliche Geodäten, die eine metrische Länge von Null haben.)

Es gibt zwei Arten von Singularitäten, Krümmungssingularitäten und konische Singularitäten.

Eine Singularität eines Schwarzen Lochs ist ein Beispiel für eine Krümmungssingularität; Wenn Sie sich der Singularität nähern, divergiert die Krümmung der Raumzeit ins Unendliche, gemessen mit einer Krümmungsinvariante wie dem Ricci-Skalar. Ein weiteres Beispiel für eine Krümmungssingularität ist die Urknall-Singularität.

Eine konische Singularität ist wie die an der Spitze eines Kegels. Geodäten sind dort im Grunde unvollständig, weil es keine Möglichkeit gibt zu sagen, in welche Richtung die Geodäten gehen sollen, wenn sie die Spitze treffen. Im 2+1-dimensionalen GR verschwindet die Krümmung identisch, und die einzige Art von Gravitation, die existiert, sind konische Singularitäten. Ich glaube nicht, dass konische Singularitäten in unserem Universum von Bedeutung sein werden, zB glaube ich nicht, dass sie durch Gravitationskollaps entstehen können.

Tatsächliche Singularitäten mit geodätischer Unvollständigkeit sind von Koordinatensingularitäten zu unterscheiden, die eigentlich gar keine Singularitäten sind. In der Schwarzschild-Raumzeit, wie in Schwarzschilds Originalkoordinaten beschrieben, explodieren einige Komponenten der Metrik am Ereignishorizont, aber dies ist keine tatsächliche Singularität. Dieses Koordinatensystem kann durch ein anderes ersetzt werden, in dem sich die Metrik gut verhält.

Der Grund, warum Krümmungsskalare als Tests für eine tatsächliche Krümmungssingularität nützlich sind, besteht darin, dass sie, da sie Skalare sind, in einem Koordinatensystem nicht divergieren können, aber in einem anderen endlich bleiben. Sie sind jedoch aus mehreren Gründen keine endgültigen Tests: (1) Ein Krümmungsskalar kann an einem Punkt divergieren, der sich in einer unendlichen affinen Entfernung befindet, sodass er keine geodätische Unvollständigkeit verursacht; (2) Krümmungsskalare erkennen keine konischen Singularitäten; (3) Es gibt unendlich viele Krümmungsskalare, die konstruiert werden können, und einige könnten explodieren, während andere dies nicht tun. Eine gute Behandlung von Singularitäten findet sich im Online-Buch von Winitzki, Abschnitt 4.1.1.

Die Definition einer Singularität wird in WP und in allen Standard-GR-Lehrbüchern behandelt. Ich nehme an, das eigentliche Problem, mit dem Sie zu kämpfen hatten, war die Definition von zeitähnlich und raumähnlich.

In GR ist eine Singularität kein Punkt in einer Raumzeit; es ist wie ein Loch in der Topologie der Mannigfaltigkeit. Zum Beispiel hat der Urknall zu keinem Zeitpunkt stattgefunden. Da eine Singularität weder ein Punkt noch eine Punktmenge ist, können Sie ihren zeit- oder raumähnlichen Charakter nicht so definieren, wie Sie es beispielsweise mit einer Kurve tun würden. Eine zeitähnliche Singularität ist eine, die in der Zukunft ein Lichtkegel eines Punktes A, aber in der Vergangenheit ein Lichtkegel eines anderen Punktes B ist, so dass eine zeitähnliche Weltlinie A mit B verbinden kann. Schwarze Löcher und Urknall-Singularitäten sind nicht zeitähnlich , sie sind raumartig, und so werden sie in einem Penrose-Diagramm dargestellt. (Beachten Sie, dass in der Schwarzschild-Metrik die Schwarzschild-Koordinaten r und t ihre zeitlichen und räumlichen Charaktere innerhalb des Ereignishorizonts vertauschen.)

Es gibt einige Unterschiede in den Definitionen, aber eine zeitähnliche Singularität ist im Wesentlichen das, was die Leute mit einer nackten Singularität meinen. Es ist eine Einzigartigkeit, die Sie auf Ihrem Schreibtisch haben können, wo Sie sie betrachten und mit einem Stock anstoßen können. Für weitere Einzelheiten siehe Penrose 1973. Zusätzlich zu der lokalen Definition, die ich gegeben habe, gibt es auch einen globalen Begriff, Rudnicki, 2006, der im Wesentlichen darin besteht, dass er nicht hinter einem Ereignishorizont verborgen ist (daher der Begriff „nackt“). Was formalisiert wird, ist der Begriff einer Singularität, die sich durch Gravitationskollaps aus nicht singulären Anfangsbedingungen bilden kann (im Gegensatz zu einer Urknall-Singularität) und von der Signale ins Unendliche entweichen können (im Gegensatz zu einer Singularität eines Schwarzen Lochs).

Penrose, Gravitationsstrahlung und Gravitationskollaps; Proceedings of the Symposium, Warschau, 1973. Dordrecht, D. Reidel Publishing Co. S. 82-91, kostenlos online unter http://adsabs.harvard.edu/full/1974IAUS...64...82P

Rudnicki, Verallgemeinerte starke Krümmungssingularitäten und schwache kosmische Zensur in kosmologischen Raumzeiten, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606007

Winitzki, Themen der allgemeinen Relativitätstheorie, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity

Das ist exzellent. Ja, meine Hauptfrage war, was Sie in Ihren letzten beiden Absätzen erklärt haben, nicht was die einzigartige Raumzeit war, aber das ist auch schön geschrieben.
Behauptungen wie "es gibt zwei Arten von Singularitäten, Krümmung und konische", sind wirklich veraltet, und obwohl Ihre Absicht bewundernswert war, lehren solche Kommentare viel mehr falsche als richtige Dinge. Viele Singularitäten, zB in Conifolds, mischen die singuläre Krümmung und die konische Struktur, die singuläre Krümmung ist fast allgegenwärtig, während der konische Charakter so ungewöhnlich sein kann, dass die Singularität nicht im nützlichen Sinne konisch ist.
Aber der Hauptgrund, warum ich dies abgelehnt habe, ist, dass Sie vorgaben, die kurvenartige Definition von Raumähnlichkeit oder Zeitähnlichkeit von Singularitäten wie Mannigfaltigkeiten (im Koordinatenraum) sei nicht ausreichend streng und genau - aber was Sie tatsächlich ersetzt haben diese selbstverständliche Definition durch ist reines Handschwenken über Objekte auf dem Tisch und zirkuläre Verweise auf andere Phrasen wie nackte Singularitäten. Das erklärt und beantwortet nichts. Das OP und alle anderen können nicht verstehen, warum Sie eine Urknall-Singularität oder Schwarzschild-Singularität nicht "auf den Tisch legen" oder nackt ausziehen würden.
@LubošMotl: Danke für deine Kommentare, aber ich stimme ihnen nicht zu. In Bezug auf Ihren ersten Kommentar war die Definition der Singularität, die Sie in Ihrer Antwort angegeben haben, falsch, da eine konische Singularität nicht als Singularität definiert wurde. Die, die ich gegeben habe, behebt dieses Problem.
[...] Zu Ihrem zweiten Kommentar haben Sie eine falsche Definition gegeben. Ich habe die richtige im Penrose-Papier angegeben. Der Satz, in dem ich die Penrose-Definition erklärt habe, war dieser: „Eine zeitähnliche Singularität ist eine, die in einigen Punkten der Raumzeit im Lichtkegel der Vergangenheit liegt, in anderen jedoch im Lichtkegel der Zukunft.“ Das spätere Material über das Aufstellen auf einen Tisch usw. wurde als Interpretation präsentiert, nicht als Definition. Das Material über nackte Singularitäten war ebenfalls Interpretation, und sein Zweck war zu erklären, warum uns die Vorstellung einer zeitähnlichen Singularität interessieren würde.
Wenn Sie sagen "Im 2 + 1-dimensionalen GR verschwindet die Krümmung identisch", meinen Sie nicht, dass sie im Vakuum identisch verschwindet? Sie können sicherlich einen Ricci-Tensor ungleich Null und daher eine Krümmung in 2 + 1D in Gegenwart von Materiefeldern haben.
Jede Transformation, die die Schwarzschild-Koordinaten durch diese „gut erzogenen“ „ersetzt“, ist notwendigerweise singulär am Horizont und daher mathematisch verboten. Ein Punkt am Horizont in irgendwelchen "wohlerzogenen" Koordinaten entspricht keinem Ereignis in der physikalischen Raumzeit und fehlt daher in der Mannigfaltigkeit. Daher sind Geodäten am Horizont unterbrochen und unvollständig, was sie per Definition zu einer physikalischen Singularität macht. Durch die Verwendung einer singulären Transformation können Sie Singularitäten überall nach Belieben erzeugen oder entfernen. Es ist kein gültiges mathematisches Verfahren und seine Ergebnisse sind wie erläutert unphysikalisch.
Auch wenn eine Singularität nicht Teil derselben metrischen Mannigfaltigkeit ist, hat @LubošMotl recht, dass eine Singularität im allgemeineren Sinne als Mannigfaltigkeit angesehen werden kann, z. B. als Punktmenge in einem Koordinatenraum, obwohl es sich tatsächlich nicht um eine Punktmenge handelt von Ereignissen in der Raumzeit. Beispielsweise ist die Schwarzschild-Singularität eine Koordinatenpunktmenge ( r = 0 , − ∞ < t < + ∞ ) , die eine raumähnliche gerade Linie in den Schwarzschild-Koordinaten ist, die von der Schwarzschild-Raumzeit entfernt ist. Die Definition des Urknalls als Punktmenge oder Punkt in einigen (zB einbettungsaffinen) Koordinaten hängt vom kosmologischen Modell ab.
Schließlich kann eine Singularität für einige Geodäten nicht durch einen affinen Parameter offenbart werden. Betrachten Sie zur Veranschaulichung ρ = 1 / φ n in Polarkoordinaten. Hier ρ = 0 ist eine Singularität, auch wenn der affine Parameter ungebunden ist.
Diese Antwort definiert, was eine Timeline-Singularität ist, aber keine raumartige Singularität.

Zeitliche und raumartige Singularitäten sind Mengen von Punkten in der Raumzeit, an denen einige Krümmungsinvarianten, wie z Singularität), so dass die benachbarten Punkte in der Menge zeitartig bzw. raumartig voneinander getrennt sind.

Man kann also verstehen, was eine zeitähnliche oder raumähnliche Singularität ist, indem man die Wörter „zeitähnlich“, „raumähnlich“ und „Singularität" separat versteht. Es gibt nichts wirklich Neues in den Ausdrücken; das Ganze ist so ziemlich die Summe seiner Teile. Eine Singularität ist eine Mannigfaltigkeit – Untermannigfaltigkeit der Raumzeit – und die Raum- und Zeitähnlichkeit bestimmt sich wie bei allen Kurven oder Flächen etc. in der Raumzeit aus dem Vorzeichen von d s 2 .

Wenn die Dimension der singulären Menge größer als eins ist, ist die tatsächliche Zeitähnlichkeit oder Raumähnlichkeit komplizierter und man muss über die gesamte Signatur sprechen – Anzahl positiver, negativer und Nullrichtungen im Raum. Es ist immer noch wahr, dass die Leute, wenn zumindest einige Richtungen entlang des Sets zeitähnlich sind, es wahrscheinlich eine zeitähnliche Singularität nennen werden, obwohl es eine gemischte ist.

Danke, das hilft. Mein Problem war, dass der Name zeitähnliche Singularität mich fälschlicherweise zu der Annahme verleitete, dass es sich um eine Singularität aufgrund der Unvollständigkeit zeitähnlicher Geodäten handelt, beispielsweise das Zentrum eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs, während alle diese als raumähnlich bezeichnen. Danke noch einmal.
Eine weitere Frage, was ist, wenn es nur ein Punkt ist, dann können Sie nicht sagen, dass die nahe gelegenen Punkte in der Menge raumartig/zeitlich sind?
Eine Singularität ist keine Mannigfaltigkeit. Beispielsweise ist eine Singularität eines Schwarzen Lochs keine Punktmenge. Topologisch ist die Singularität etwas, das der Mannigfaltigkeit fehlt. Deshalb kann man nicht sagen, dass eine Singularität eine Untermannigfaltigkeit der Raumzeit ist und ihren zeit- oder raumähnlichen Charakter so beschreiben, wie man es mit einer Punktmenge tun würde. Wie in meiner Antwort erläutert, ist die Definition deshalb etwas heikler und muss in Bezug auf Lichtkegel nahe gelegener Punkte erfolgen.
@ user23071: Singularitäten sind keine Punktmengen, daher macht es keinen Sinn, von einer Singularität als einem Punkt zu sprechen. Es kann jedoch möglich sein, die Dimension einer Singularität formal zu definieren: physicalforums.com/showthread.php?t=511813 Informell ist eine Singularität eines Schwarzen Lochs in einem Penrose-Diagramm eindeutig eindimensional (nicht nulldimensional) und groß Die Bang-Singularität ist dreidimensional.
Ja, ich weiß, dass sie keine Teilmenge der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sind. Ich nahm an, dass Lubos absichtlich ungenau war, um eine nicht strenge Intuition darüber zu geben, was es bedeutet, dass eine Singularität zeitähnlich ist.
Ich möchte nur sagen, dass ich zustimme, dass Singularitäten wie die Singularitäten des Schwarzen Lochs gemäß mathematischer Standarddefinitionen keine Mannigfaltigkeiten sind, zumindest nicht gemäß der Topologie, die durch die tatsächliche Raumzeitmetrik induziert wird (die häufig auf den Singularitätsorten singulär ist, ohnehin). Sie sind immer noch Bereiche des Koordinatenraums, die Mannigfaltigkeiten wären, wenn der Koordinatenraum mit einer nicht-singulären Metrik ausgestattet wäre.
Ich bin froh, dass wir uns auf die Standarddefinitionen einigen. Ich bin skeptisch, ob es machbar oder eine gute Idee wäre, eine alternative Definition in der von Ihnen vorgeschlagenen Richtung zu entwickeln. Ein besonderes Problem bei Ihrem vorgeschlagenen Ansatz ist, wenn Sie sagen: "Die Raumähnlichkeit und Zeitähnlichkeit wird genau wie für alle Kurven oder Flächen usw. in der Raumzeit aus dem Vorzeichen von bestimmt d s 2 " Das funktioniert nicht, weil die Metrik an den Koordinaten, an denen die Singularität auftritt, nicht gut definiert ist. Abgesehen von diesem Problem mit Ihrem Vorschlag bezweifle ich, dass die Inspektion der Koordinaten überhaupt ausreicht [...]
[...] um eine Untermannigfaltigkeit ohne Metrik für die Singularität zu definieren. Nehmen Sie zum Beispiel einen 2-dimensionalen Riemannschen Raum, der überall flach ist und eine konische Singularität bei hat r = 0 in den üblichen Polarkoordinaten, so dass es sich topologisch um eine Ebene mit entferntem Punkt handelt. In diesen Koordinaten sieht die Singularität wie eine 0- oder 1-dimensionale Mannigfaltigkeit aus. Aber wenn ich die Koordinaten ändere r ' = r + c , wo c > 0 konst. ist, wird die Singularität zu einer 2-Mannigfaltigkeit in ( r ' , θ ) Raum koordinieren. Vielleicht ist das nicht das, was Sie sich vorgestellt haben, aber da Ihre Definition nicht standardisiert ist, liegt die Last bei Ihnen, sie zu entwickeln.
Ein paar Monate nach dem obigen Dialog stieß ich auf eine Definition, wie eine Singularität als Punktmenge definiert werden kann, indem ideale Punkte an die Mannigfaltigkeit angefügt werden. Es war in demselben Artikel von Penrose, auf den ich mich in meiner Antwort auf S. 85. Die Definition ist koordinatenunabhängig und beinhaltet einen von Geroch definierten Begriff, der als endständige unzerlegbare Vergangenheits- und Zukunftsmengen bezeichnet wird.
Was ist die Definition einer zeitartigen und raumartigen Singularität?
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