Berechnung der Exzentrizität eines Exoplaneten

Ich frage mich, wie man die Exzentrizität eines Exoplaneten anhand seines Radialgeschwindigkeits-gegen-Phasen-Diagramms berechnet. Um meine Frage zu klären, nehme ich als Beispiel einen Exoplaneten namens WASP-14b 2 ( http://exoplanets.org/detail/WASP-14_b ).

Ein Diagramm der Radialgeschwindigkeit des Sterns über der Phase wird in der oberen linken Ecke angezeigt. Ich frage mich, wie ich möglicherweise die Exzentrizität des Exoplaneten mit diesem Diagramm (oder einigen anderen Werten aus den Originalmessungen) berechnen könnte. Ich habe ein paar Möglichkeiten gefunden, die Exzentrizität zu berechnen:

e = | e |

Dies verwendet den Exzentrizitätsvektor, der mit dieser Formel berechnet wird:

e = v × H μ − R | R |

Das Problem dabei ist, dass diese Formel den spezifischen Drehimpulsvektor und den Positionsvektor benötigt, die ich aufgrund der Messungen nicht kenne. Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit, die Exzentrizität zu berechnen:

e = 1 − 2 ( R A / R P ) + 1

Wo R A ist der Radius der Apoapsis und R P der Radius der Periose. Diese Werte sind nicht nur anhand der Messungen bekannt, aber ich glaube, es sollte möglich sein, sie zu berechnen, indem man das Integral der Sinusfunktion (Radialgeschwindigkeit vs. Phase) nimmt. Dies würde mir die Position des Sterns zu jedem beliebigen Zeitpunkt geben. Das Problem ist, dass ich die genauen Punkte, die in der Grafik angezeigt werden, nirgendwo finden kann, geschweige denn eine Sinusfunktion, die dazu passen würde.

Wenn ich ein Integral der Funktion bekomme, muss ich noch eines für den Planeten selbst erstellen, da dies die Bewegung des Sterns beschreibt. Ich kann die Masse des Planeten mit der folgenden Formel berechnen:

R 3 = G M S T A R 4 π 2 P S T A R 2

was mir die Entfernung zwischen dem Stern und dem Planeten gibt. Als nächstes kann ich die Geschwindigkeit des Planeten berechnen mit:

v P L = G M S T A R / R

Und danach kann ich die Masse des Planeten mit dieser Formel berechnen:

M P L = M S T A R v S T A R v P L

Aber hier taucht ein weiteres Problem auf, wie es in einem Wikipedia-Artikel über Doppler-Spektroskopie heißt: „Beobachtungen eines echten Sterns würden ein ähnliches Diagramm erzeugen, obwohl Exzentrizität in der Umlaufbahn die Kurve verzerren und die Berechnungen unten erschweren wird.“

Wo finde ich die korrigierten Berechnungen und wie kann ich möglicherweise die Exzentrizität dieses Planeten nur mit diesen Werten berechnen ( M S T A R und die Handlung, von der ich die genauen Punkte nicht finden kann)?

Weitere Quellen: http://adsabs.harvard.edu/abs/2009MNRAS.392.1532J

Wirklich nicht sicher, was Sie zu tun versuchen. Sie passen ein exzentrisches Radialgeschwindigkeitskurvenmodell an die Daten an.

Antworten (1)

Es gibt eine Reihe von Optionen, wenn Sie eine Standardlösung zum Anpassen von RV-Kurven wünschen. Die vielleicht beste kostenlose ist Systemic Console .

Es ist jedoch nicht allzu schwer, etwas Grundlegendes selbst zu tun.

Definiere zunächst einige Begriffe:

v ( T ) ist die wahre Anomalie - der Winkel zwischen dem Perizentrum und der Position des Körpers um seine Umlaufbahn, gemessen vom Massenschwerpunkt der Ellipse.

E ( T ) ist die exzentrische Anomalie und wird durch die Gleichung definiert

bräunen ⁡ E ( T ) 2 = ( 1 + e 1 − e ) − 1 / 2 bräunen ⁡ v ( T ) 2

Die mittlere Anomalie M ( T ) wird von gegeben

M ( T ) = 2 π P ( T − τ ) ,
Wo P ist die Umlaufzeit und τ ist die Zeit der Perizentrumspassage.

Das sagt uns die "Keplersche Gleichung".

M ( T ) = E ( T ) − e Sünde ⁡ E ( T )

Schließlich ist die Radialgeschwindigkeit gegeben durch

v R ( T ) = K [ cos ⁡ ( ω + v ( T ) ) + e cos ⁡ ω ] + γ ,
Wo K ist die Halbamplitude, γ ist die Schwerpunktradialgeschwindigkeit und ω ist der übliche Winkel, der das Argument des Perizentrums definiert, gemessen vom aufsteigenden Knoten.

OK, also das Problem ist, dass die Radialgeschwindigkeit nicht explizit davon abhängt T , sondern auf v . Was Sie also tun, ist Folgendes:

  1. Wählen Sie Werte für K , γ , ω , τ , P Und e ; Dies sind Ihre "freien Parameter, die die Umlaufbahn beschreiben. Je näher Sie Ihrer anfänglichen Schätzung kommen, desto besser.

  2. Sie verwenden diese Parameter, um vorherzusagen, wie hoch die Radialgeschwindigkeiten zum Zeitpunkt der Beobachtung Ihrer RV-Datenpunkte sein würden. Sie tun dies, indem Sie rechnen v ( T ) unter Verwendung der obigen Gleichungen. Beginne mit der zweiten Gleichung und rechne M ( T ) . Dann müssen Sie die dritte Gleichung lösen, um zu erhalten E ( T ) . Dies ist transzendent, also müssen Sie eine Newton-Raphson-Methode oder etwas Ähnliches verwenden, um die Lösung zu finden. Sobald du hast E ( T ) dann verwenden Sie die erste Gleichung, um zu finden v ( T ) . Verwenden Sie dann die vierte Gleichung zur Berechnung v R ( T ) zu jeder Ihrer Datenpunktzeiten.

  3. Berechnen Sie ein Chi-Quadrat (oder eine ähnliche Gütezahl) aus dem Vergleich der vorhergesagten und gemessenen Werte von v R ( T ) .

  4. Iterieren Sie die Werte der freien Parameter und gehen Sie zurück zu Schritt 2. Fahren Sie fort, bis Ihre Anpassung konvergiert.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich werde Sie wissen lassen, ob dies es gelöst hat.
Entschuldigung für die Frage, aber wie kann ich die Newton-Raphson-Methode anwenden, wenn ich die Exzentrizität (e) noch nicht kenne?
@kdnooij Sie postulieren eine e (zusammen mit den anderen 4 Parametern), erzeugen Sie die erwartete Radialgeschwindigkeitskurve und vergleichen Sie sie mit Ihren Daten. Passen Sie die Parameter an, bis Sie eine gute Passform erhalten.
Etwas spät, aber ich bin auf diese Frage wieder gestoßen: Bei mir hat es funktioniert und ich konnte die Exzentrizität und alle anderen Parameter fast so genau bestimmen wie in der ursprünglichen Forschungsarbeit. Ich denke, der Chi-Quadrat-Minimierungsalgorithmus kann ein wenig verbessert werden, aber das hat schließlich sehr gut funktioniert!
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