Warum ist die Schwerkraft der Erde an den Polen stärker?

Der Punkt ist, dass, wenn wir uns der Erde mit einem abgeflachten Ellipsoid annähern, die Erdoberfläche eine Äquipotentialfläche ist .$^1$siehe zB diesen Phys.SE Beitrag.

Da nun der Polarradius kleiner ist als der Äquatorialradius, muss die Dichte der Äquipotentialflächen an den Polen größer sein als am Äquator.

Oder äquivalent die Feldstärke$^2$ $g$an den Polen muss größer sein als am Äquator.

--

$^1$Beachten Sie, dass sich das Potenzial hier auf die kombinierte Wirkung von Gravitations- und Zentrifugalkräften bezieht. Wenn wir etwas Wasser auf eine Äquipotentialfläche gießen, gäbe es keine bevorzugte Fließrichtung.

$^2$Ebenso wenig ist die Feldstärke bekannt $g$, bezieht sich auf die kombinierte Wirkung von Gravitations- und Zentrifugalkräften, auch wenn$g$wird oft (beiläufig und etwas irreführend) als Gravitationskonstante auf der Erdoberfläche bezeichnet.

An vielen Stellen wird angegeben, dass die Schwerkraft der Erde an den Polen stärker ist als am Äquator, und zwar aus zwei Gründen:

1. Die Zentrifugalkraft hebt die Gravitation minimal auf, mehr am Äquator als an den Polen.
2. Die Pole sind durch die äquatoriale Wölbung näher am Zentrum und haben daher ein stärkeres Gravitationsfeld.

TL;DR-Version: Es gibt drei Gründe. In der Größenordnung,

1. Die Pole sind aufgrund der äquatorialen Wölbung näher am Erdmittelpunkt. Dadurch wird die Gravitation an den Polen verstärkt und am Äquator geschwächt.

2. Die äquatoriale Wölbung verändert die Anziehungskraft der Erde. Dadurch wird die Gravitation an den Polen geschwächt und am Äquator verstärkt.

3. Die Erde dreht sich, also sieht ein erdgebundener Beobachter eine Zentrifugalkraft. Dies hat an den Polen keine Wirkung und schwächt die Gravitation am Äquator.

Mal sehen, wie sich die beiden Erklärungen in der Frage mit der Beobachtung vergleichen lassen. Die folgende Tabelle vergleicht, was ein sphärisches Gravitationsmodell abzüglich der Zentrifugalbeschleunigung für die Gravitationsbeschleunigung auf Meereshöhe am Äquator vorhersagt ($g_{\text{eq}}$) und der Nordpol ($g_{\text{p}}$) im Vergleich zu den Werten, die unter Verwendung der etablierten Somigliana-Gravitationsformel berechnet wurden$g = g_{\text{eq}}(1+\kappa \sin^2\lambda)/\sqrt{1-e^2\sin^2 \lambda}$.

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \phantom{-}0.03213 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \phantom{-}0.04809 \end{matrix}$

Dieses einfache Modell funktioniert qualitativ. Es zeigt, dass die Gravitation am Nordpol höher ist als am Äquator. Quantitativ ist dieses einfache Modell nicht sehr gut. Es überschätzt den Unterschied zwischen der Gravitation am Nordpol und am Äquator erheblich, fast um den Faktor zwei.

Das Problem ist, dass dieses einfache Modell den Gravitationseinfluss der Äquatorialwölbung nicht berücksichtigt. Eine einfache Art, sich diese Ausbuchtung vorzustellen, ist, dass sie am Äquator positive Masse hinzufügt, aber an den Polen negative Masse hinzufügt, für eine Netto-Massenänderung von Null. Die negative Masse am Pol verringert die Gravitation in der Nähe des Pols, während die positive Masse am Äquator die äquatoriale Gravitation erhöht. Genau das hat der Arzt verordnet.

Mathematisch gesehen erzeugt diese Bewegung von Massen ein Quadrupolmoment im Gravitationsfeld der Erde. Ohne auf die Details der sphärischen Harmonischen einzugehen, fügt dies einen Begriff gleich hinzu$3 J_2 \frac {GMa^2}{r^4}\left(\frac 3 2 \cos^2 \lambda - 1\right)$zur Gravitationskraft, wo$\lambda$ist die geozentrische Breite und$J_2$ist die zweite dynamische Form der Erde. Das Hinzufügen dieses Quadrupolterms zur obigen Tabelle ergibt Folgendes:

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & J_2\,\text{term} & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & \phantom{-}0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & -0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \end{matrix}$

Diese einfache Hinzufügung des Quadrupols ergibt nun eine sehr schöne Übereinstimmung.

Die Zahlen, die ich oben verwendet habe:

• $\mu_E = 398600.0982\,\text{km}^3/\text{s}^2$, der Gravitationsparameter der Erde abzüglich des atmosphärischen Beitrags.

• $R_\text{eq} = 6378.13672\,\text{km}$, der Äquatorradius der Erde (mittlerer Tidenwert).

• $1/f = 298.25231$, die Abflachung der Erde (mittlerer Gezeitenwert).

• $\omega = 7.292115855 \times 10^{-5}\,\text{rad}/\text{s}$, die Rotationsgeschwindigkeit der Erde.

• $J_2 = 0.0010826359$, der zweite dynamische Formfaktor der Erde.

• $g_{\text{eq}} = 9.7803267714\,\text{m}/\text{s}^2$, Gravitation auf Meereshöhe am Äquator.

• $\kappa = 0.00193185138639$, was den beobachteten Unterschied zwischen der Gravitation am Äquator und den Polen widerspiegelt.

• $e^2 = 0.00669437999013$, das Quadrat der Exzentrizität der Figur der Erde.

Diese Werte stammen hauptsächlich von Groten, "Fundamental parameters and current (2004) bestschätzen der Parameter von gemeinsamer Relevanz für Astronomie, Geodäsie und Geodynamik". Journal of Geodesy , 77:10-11 724-797 (2004) , wobei der standardmäßige Gravitationsparameter modifiziert wurde, um die Masse der Atmosphäre auszuschließen. Die Erdatmosphäre hat eine Gravitationswirkung auf den Mond und auf Satelliten, aber nicht so sehr auf Menschen, die auf der Erdoberfläche stehen.

Hier ist ein einfaches Argument, das keine Kenntnisse über ausgefallene Dinge wie Äquipotentiale oder rotierende Referenzrahmen erfordert. Stellen Sie sich vor, wir könnten die Erde allmählich immer schneller drehen. Irgendwann würde es auseinander fliegen. In dem Moment, in dem es auseinander zu fliegen begann, würde passieren, dass die Teile der Erde am Äquator Umlaufgeschwindigkeit hätten. Im Orbit erleben Sie scheinbare Schwerelosigkeit, genau wie die Astronauten auf der Raumstation.

Also an einem Punkt am Äquator die scheinbare Erdbeschleunigung$g$(dh was Sie in einem Labor messen, das an der Erdoberfläche befestigt ist) geht auf Null zurück, wenn sich die Erde schnell genug dreht. Durch Interpolation erwarten wir, dass der Effekt des tatsächlichen Spins abnehmen sollte$g$am Äquator, relativ zu dem Wert, den er hätte, wenn sich die Erde nicht drehen würde.

Beachten Sie, dass dieses Argument automatisch die Verzerrung der Erde weg von der Sphärizität berücksichtigt. Die abgeflachte Form ist nur ein Teil der Interpolation zwischen Sphärizität und Aufbrechen.

An den Polen ist das anders. Egal wie schnell Sie die Erde drehen, ein Teil der Erde am Nordpol wird sich niemals im Orbit befinden. Der Wert von$g$wird sich aufgrund der Veränderung der Erdform ändern, aber dieser Effekt muss relativ schwach sein, weil er niemals zu einer Auflösung führen kann.

Der Unterschied in der Beschleunigung im freien Fall zwischen den Polen und dem Äquator hat zwei Faktoren, die dazu beitragen. Ich werde sie einzeln besprechen.

An den Polen beträgt die gemessene Fallbeschleunigung 9,8322$m/s^2$
Am Äquator beträgt die gemessene Fallbeschleunigung 9,7805$m/s^2$

Anhand des Äquatorradius der Erde und der Rotationsgeschwindigkeit der Erde können Sie berechnen, wie viel Zentripetalbeschleunigung erforderlich ist, um sich mit der Erde mitzudrehen, wenn Sie sich auf dem Äquator befinden. Das ergibt 0,0339$m/s^2$

Diese erforderliche Zentripetalbeschleunigung (am Äquator) geht zu Lasten der wahren Erdbeschleunigung am Äquator.

So können wir rekonstruieren, was die äquatoriale Gravitationsbeschleunigung auf einem Himmelskörper mit der gleichen Größe und Dichte und äquatorialer Wölbung wie die Erde wäre, aber nicht rotiert.

Wahre Erdbeschleunigung: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144$m/s^2$

Es bleibt also immer noch eine Differenz von 0,0178$m/s^2$

Der verbleibende Unterschied ist auf die Abflachung der Erde zurückzuführen: Am Äquator ist man weiter vom Anziehungspunkt der Erde entfernt als an den Polen.

Der Punkt ist, ob alle Effekte berücksichtigt wurden. Mathe würde zusammenfassen, dass der Effekt von mehr Masse unter Ihren Füßen immer noch geringer ist als der Effekt der Entfernung vom Massenmittelpunkt

Eine andere Ansicht ist. Am Äquator gibt es Ausbuchtungen in Ihrer Nähe. Aber von allen anderen Seiten der Erde ist die Ausbuchtung weit von dir entfernt. Vergleichen Sie mit der Stange, dass alle Wölbungen gleich weit von Ihnen entfernt sind, das macht den Unterschied aus