Kann man in der Quantenmechanik einen Beschleunigungsoperator definieren?

Es scheint, dass die meisten Bücher über QM nur über Positions- und Impulsoperatoren sprechen. Aber kann man nicht auch einen Beschleunigungsoperator definieren?

Ausgehend von der Definition des Impulsoperators habe ich mir folgendes überlegt:

p ^ = − ich ℏ ∂ ∂ x

Dann definieren wir in Analogie zur klassischen Mechanik einen Geschwindigkeitsoperator, indem wir den Impuls durch die Masse dividieren m

v ^ = − ich ℏ m ∂ ∂ x

In der klassischen Mechanik ist die Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit definiert, also wäre meine Vermutung für einen Beschleunigungsoperator in QM

a ^ = − ich ℏ m ∂ ∂ t ∂ ∂ x

Ist das die allgemein richtige Definition des Beschleunigungsoperators in QM? Wie wäre es mit relativistischer Quantenmechanik?

Keine sehr gute Idee. Zeit ist in der Quantenmechanik ein Parameter, keine Variable. Wenn Sie eine Wellenfunktion erhalten ψ ( x ) (oder ψ ( p ) ) wissen Sie nicht, was Sie tun sollen, um die Beschleunigung mit Ihrem Operator zu erhalten. Sie könnten aus der Geschichte Ihres Systems eine Art Durchschnittswert ableiten, aber Sie könnten keine Eigenwerte / Eigenvektoren erhalten. Es ist also besser, in Bezug auf die Kraft zu denken, die Sie erhalten können als (minus) den Gradienten des Potentials dividiert durch das Mas.

Antworten (1)

Ich denke, Sie könnten versuchen, sich dem im Heisenberg-Bild anzunähern.

Die Zeitableitung des Positionsoperators ist:

d x ^ d t = ich ℏ [ H ^ , x ^ ]

was ein vernünftiger Geschwindigkeitsoperator ist. Die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsoperators ist dann:

d 2 x ^ d t 2 = ich ℏ [ H ^ , d x ^ d t ]

Betrachten Sie zum Beispiel ein freies Teilchen, so dass H ^ = P ^ 2 2 m . Der Geschwindigkeitsoperator wäre dann P ^ m . Dies sieht sicherlich vernünftig aus, da es die Form des Klassikers hat v → = p → m Beziehung.

Beachten Sie jedoch, dass der Geschwindigkeitsoperator mit diesem Hamilton-Operator pendelt, sodass der Kommutator in der Definition des Beschleunigungsoperators 0 ist. Aber das muss es sein, da wir den Hamilton-Operator eines freien Teilchens annehmen, was bedeutet, dass keine Kraft wirkt es.

Betrachten Sie nun ein Teilchen in einem Potential, so dass H ^ = P ^ 2 2 m + U ^ . Der Geschwindigkeitsoperator für dieses System ist dann P ^ m + ich ℏ [ U ^ , x ^ ] .

Unter der Annahme, dass das Potential keine Funktion des Impulses ist, ist der Kommutator Null und der Geschwindigkeitsoperator ist derselbe wie für das freie Teilchen.

Der Beschleunigungsoperator ist dann ich ℏ [ U ^ , P ^ m ] .

In der Positionsbasis ist dieser Operator gerecht − ∇ U ( x → ) m was wie die Beschleunigung eines klassischen Teilchens der Masse m in einem durch gegebenen Potential aussieht U ( x → ) .

So, d 2 x ^ d t 2 = − 1 ℏ 2 ( H ^ 2 x ^ − 2 H ^ x ^ H ^ + x ^ H ^ 2 )
Ist nicht ich ℏ [ U ^ , P ^ m ] = U ( x → ) m ∇ − ∇ U ( x → ) m ?
@asmaier, nach der Produktregel gibt es einen anderen Begriff, der den ersten aufhebt.
Könnte ⟨ ψ x ^ ψ ⟩ bewertet werden, auch wenn U ^ und somit H ^ waren (noch) nicht bekannt? Könnte d 2 / d t 2 [ ⟨ ψ x ^ ψ ⟩ ] dann bestimmt werden? Könnte also mal ein Operator sein a ^ so definiert werden, dass ⟨ ψ a ^ ψ ⟩ := d 2 / d t 2 [ ⟨ ψ x ^ ψ ⟩ ] für alle ψ ?
@Trimok, das sieht für mich richtig aus.
@ user12262, ich denke, das ist dein a ^ ist nur der in meiner Antwort definierte Beschleunigungsoperator.
Kann man in der Quantenmechanik einen Beschleunigungsoperator definieren?
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