Wasserstoff-Radialwellenfunktion unendlich bei r=0r=0r=0

Die infinitesimale Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron im Volumen befindet$dV$um einen Punkt$(r,\theta,\phi)\leftrightarrow (x,y,z)$wird von gegeben

So$|R(r)|^2$kann noch so gehen$1/r^2$für klein$r$und in diesem fall$dV$wird proportional sein$dr$mal eine Funktion, für die endlich ist$r\to 0$. Solch$dP$kann integriert werden und es gibt keine Divergenz in der Nähe$r=0$.

Deshalb sollte man die Wellenfunktion wie gehen lassen$1/r$nahe$r=0$Dies ist das wahre Gegenstück dazu, dass eine eindimensionale Wellenfunktion in der Nähe eines Punktes endlich ist. Allerdings nutzt die Natur dieses spezielle Schlupfloch wegen der Wellenfunktion nicht$\psi$für klein$r$tatsächlich skaliert wie$r^l$Wo$l$ist die Orbitalquantenzahl und die Wellenfunktion divergiert eigentlich nie, obwohl sie könnte.

Update 2016: Ich hätte es vor vier Jahren schreiben sollen und können, aber ich habe es nicht getan. Während die Normalisierbarkeit dies zulässt$1/r$um$r=0$, können solche singulären Funktionen aus dem folgenden Grund, der sich von verschiedenen Gründen oben und denen in den Kommentaren unterscheidet, letztendlich nicht in stationären oder nahezu stationären Zuständen sein.

Jemand hat das zum Beispiel erwähnt$1/r$könnte zu einem kontinuierlichen Spektrum oder einigen überraschenden Entartungen führen. Aber wenn die richtigen Wellenfunktionen ein kontinuierliches oder entartetes Spektrum in einer Box vorhersagen würden, dann wäre es so, wie die Natur funktioniert. Der eigentliche Grund dafür$1/r$ist schließlich nicht als stehende Wellenfunktion in der Nähe erlaubt$r=0$ist, dass der Laplace-Operator dieser Wellenfunktion (und die Schrödinger-Gleichung enthält einen solchen Laplace-Operator) proportional zu einer Delta-Funktion am Ursprung ist (oder einen solchen Term enthält) und kein anderer Term in der Schrödinger-Gleichung diese Delta-Funktion aufheben kann, also der Die Schrödinger-Gleichung muss verletzt werden.

Die physikalische Observable ist nicht die Wellenfunktion, sondern ihr Integral über eine endliche Fläche. In sphärischen Koordinaten ist dies:

Dieser Integrand ist bei offensichtlich endlich$r=0$, selbst wenn$R(r)$hat ein$\frac{1}{r}$Abweichungen.

Für ein wasserstoffähnliches Atom in 3 räumlichen Dimensionen das Umschreiben des radialen Teils

wird nicht durchgeführt, um die zu halten$u(r)$Teil regelmäßig, wie OP vorschlägt, aber normalerweise, weil die 3D-Radialgleichung in Bezug auf die$u$Funktion hat die gleiche Form wie eine 1D-Schrödinger-Gleichung.

Stellen Sie sich vor, die radiale Wellenfunktion geht als Potenz

Aus allgemeinen Gründen kann man die folgende Liste von Konsistenzbedingungen auferlegen, wobei die schwächste Bedingung zuerst und die stärkste Bedingung zuletzt aufgeführt wird.

1. Normierbarkeit der Wellenfunktion

   $$\infty~>~\langle\psi|\psi\rangle~=~\int d^3r~|\psi(\vec{r})|^2 ~\propto~ \int_0^{\infty} r^{2}dr~|R(r)|^2 .$$ Integrierbarkeit bei$r=0$ergibt, dass die Macht$p>-\frac{3}{2}$. Mit anderen Worten, diese Normalisierbarkeitsbedingung impliziert dies nicht von sich aus$R(r)$oder$u(r)$sollte regelmäßig sein$r=0$, was auch die Schlussfolgerung vieler anderer Antworten ist.

2. Der Erwartungswert der potentiellen Energie$V$soll von unten begrenzt werden,

   $$-\infty~<~\langle\psi| V|\psi\rangle~=~\int d^3r~V(r)|\psi(\vec{r})|^2~\propto~-\int_0^{\infty} rdr~|R(r)|^2.$$ Integrierbarkeit bei$r=0$ergibt, dass die Macht$p>-1$. Mit anderen Worten,$u(r)$sollte regelmäßig sein$r\to 0$.

3. Der kinetische Energieoperator (oder äquivalent der Laplace-Operator$\Delta$) sollte sich für zwei Wellenfunktionen selbstadjungiert verhalten$\psi_1(\vec{r})$Und$\psi_2(\vec{r})$,

   $$\langle\psi_1| \Delta\psi_2\rangle~=~-\langle\vec{\nabla}\psi_1| \cdot\vec{\nabla}\psi_2\rangle,$$ ohne pathologische Beiträge aufzuheben$r=0$. Eine detaillierte Analyse zeigt, dass die Kräfte der radialen Teile von$\psi_1(\vec{r})$Und$\psi_2(\vec{r})$befriedigen soll$p>-\frac{1}{2}$.

Im Vergleich dazu sind die tatsächlichen Lösungen im gebundenen Zustand nicht negativ$p=\ell\in \mathbb{N}_0$, und erfüllen daher diese drei Bedingungen.

Zusätzlich zu den einfachen geometrischen Einschränkungen, über die Jerry und Lubos sprechen, geht die Ableitung, die zur Veranschaulichung des Problems verwendet wird, fast immer davon aus, dass das Proton ein Punktteilchen ist, was eine ziemlich gute Annäherung ist, aber nicht ganz richtig ist. Eine erneute Bearbeitung des Problems mit einer realistischen Protonenladungsdichtefunktion (ungefähr konstant innerhalb eines Radius von etwa 1 fm) wäre eine weitere Möglichkeit, die Singularität zu beseitigen.

Wohlgemerkt, dieses Argument gilt nicht für das Positronium, also brauchen Sie immer noch die geometrische Beschränkung.

Für Wasserstoff,$R(r)$weicht nicht ab, wie$U(r)$verschwindet so schnell wie (oder schneller als)$r$als$r\rightarrow 0$. Eigentlich nur für die$s$Orbitale, bei denen die Wellenfunktion nicht Null ist$r=0$. Aber wie bereits erwähnt, bedeutet eine radiale Wellenfunktion ungleich Null keine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, das Elektron im Zentrum zu finden.